2013年全国各地中考数学试卷分类汇编尺规作图.pdf

2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 1 13 尺规作图尺规作图 一 选择题 1 2013 四四川遂宁川遂宁 10 4 分分 如图 在 ABC 中 C 90 B 30 以 A 为圆心 任 意长为半径画弧分别交 AB AC 于点 M 和 N 再分别以 M N 为圆心 大于 MN 的长为半 径画弧 两弧交于点 P 连结 AP 并延长交 BC 于点 D 则下列说法中正确的个数是 AD是 BAC的平分线 ADC 60 点D在AB的中垂线上 S DAC S ABC 1 3 A 1 B 2 C 3 D 4 考点 角平分线的性质 线段垂直平分线的性质 作图 基本作图 分析 根据作图的过程可以判定 AD 是 BAC 的角平分线 利用角平分线的定义可以推知 CAD 30 则由直角三角形的性质来求 ADC 的 度数 利用等角对等边可以证得 ADB 的等腰三角形 由等腰三角形的 三合一 的性质 可以证明点 D 在 AB 的中垂线上 利用 30 度角所对的直角边是斜边的一半 三角形的面积计算公式来求两个三角形 的面积之比 解答 解 根据作图的过程可知 AD 是 BAC 的平分线 故 正确 如图 在 ABC 中 C 90 B 30 CAB 60 又 AD 是 BAC 的平分线 1 2 CAB 30 3 90 2 60 即 ADC 60 故 正确 1 B 30 AD BD 点 D 在 AB 的中垂线上 故 正确 如图 在直角 ACD 中 2 30 CD AD BC CD BD AD AD AD S DAC AC CD AC AD S ABC AC BC AC AD AC AD S DAC S ABC AC AD AC AD 1 3 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 2 13 故 正确 综上所述 正确的结论是 共有 4 个 故选 D 点评 本题考查了角平分线的性质 线段垂直平分线的性质以及作图 基本作图 解题时 需要熟悉等腰三角形的判定与性质 2 2013 湖北省咸宁市 1 3 分 如图 在平面直角坐标系中 以 O 为圆心 适当长为半 径画弧 交 x 轴于点 M 交 y 轴于点 N 再分别以点 M N 为圆心 大于 MN 的长为半径画 弧 两弧在第二象限交于点 P 若点 P 的坐标为 2a b 1 则 a 与 b 的数量关系为 A a b B 2a b 1 C 2a b 1 D 2a b 1 考点 作图 基本作图 坐标与图形性质 角平分线的性质 分析 根据作图过程可得 P 在第二象限角平分线上 有角平分线的性质 角的平分线上的点 到角的两边的距离相等可得 2a b 1 再根据 P 点所在象限可得横纵坐标的和为 0 进而得到 a 与 b 的数量关系 解答 解 根据作图方法可得点 P 在第二象限角平分线上 则 P 点横纵坐标的和为 0 故 2a b 1 0 整理得 2a b 1 故选 B 点评 此题主要考查了每个象限内点的坐标特点 以及角平分线的性质 关键是掌握各象限 角平分线上的点的坐标特点 横坐标 纵坐标 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 3 13 3 2013 福建福州福建福州 8 4 分分 如图 已知 ABC 以点 B 为圆心 AC 长为半径画弧 以 点 C 为圆心 AB 长为半径画弧 两弧交于点 D 且点 A 点 D 在 BC 异侧 连结 AD 量一量线段 AD 的长 约为 A 2 5cm B 3 0cm C 3 5cm D 4 0cm 答案 B 解析 首先根据题意画出图形 由 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 可知四 边形 ABCD 是平行四边形 再根据平行四边形的性质对角线相等 得出 AD BC 最后利用 刻度尺进行测量即可 方法指导 此题主要考查了复杂作图以及平行四边形的判定和性质 关键是正确理解题意 画出图形 二 填空题 三 解答题 1 2013 白银 21 8 分 两个城镇A B与两条公路l1 l2位置如图所示 电信部门需在C 处修建一座信号反射塔 要求发射塔到两个城镇A B的距离必须相等 到两条公路l1 l2 的距离也必须相等 那么点C应选在何处 请在图中 用尺规作图找出所有符合条件的点 C 不写已知 求作 作法 只保留作图痕迹 考点 作图 应用与设计作图 分析 仔细分析题意 寻求问题的解决方案 到城镇 A B 距离相等的点在线段 AB 的垂直平分线上 到两条公路距离相等的点在 两条公路所夹角的角平分线上 分别作出垂直平分线与角平分线 它们的交点即为所 求作的点 C 由于两条公路所夹角的角平分线有两条 因此点 C 有 2 个 解答 解 1 作出线段 AB 的垂直平分线 2 作出角的平分线 2 条 它们的交点即为所求作的点 C 2 个 A B C 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 4 13 点评 本题借助实际场景 考查了几何基本作图的能力 考查了线段垂直平分线和角平分线 的性质及应用 题中符合条件的点 C 有 2 个 注意避免漏解 2 2013 兰州 22 8 分 如图 两条公路 OA 和 OB 相交于 O 点 在 AOB 的内部有工 厂 C 和 D 现要修建一个货站 P 使货站 P 到两条公路 OA OB 的距离相等 且到两工 厂 C D 的距离相等 用尺规作出货站 P 的位置 要求 不写作法 保留作图痕迹 写 出结论 考点 作图 应用与设计作图 分析 根据点 P 到 AOB 两边距离相等 到点 C D 的距离也相等 点 P 既在 AOB 的角平分线上 又在 CD 垂直平分线上 即 AOB 的角平分线和 CD 垂直平分线的交点 处即为点 P 解答 解 如图所示 作 CD 的垂直平分线 AOB 的角平分线的交点 P 即为所求 点评 此题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法 这些基本作图要熟练掌握 注意保留作图痕迹 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 5 13 3 2013 贵州省六盘水 24 10 分 1 观察发现 如图 1 若点 A B 在直线 m同侧 在直线 m 上找一点 P 使 AP BP 的值最小 做 法如下 作点 B 关于直线 m的对称点 B 连接 AB 与直线 m的交点就是所求的点 P 线段 AB 的长度即为 AP BP 的最小值 如图 2 在等边三角形 ABC 中 AB 2 点 E 是 AB 的中点 AD 是高 在 AD 上找 一点 P 使 BP PE 的值最小 做法如下 作点 B 关于 AD 的对称点 恰好与点 C 重合 连接 CE 交 AD 于一点 则这点就是所求的点 P 故 BP PE 的最小值为 2 实践运用 如图 3 已知 O 的直径 CD 为 2 的度数为 60 点 B 是的中点 在直径 CD 上作出点 P 使 BP AP 的值最小 则 BP AP 的值最小 则 BP AP 的最小值为 3 拓展延伸 如图 4 点 P 是四边形 ABCD 内一点 分别在边 AB BC 上作出点 M 点 N 使 PM PN 的值最小 保留作图痕迹 不写作法 考点 圆的综合题 轴对称 最短路线问题 分析 1 观察发现 利用作法得到 CE 的长为 BP PE 的最小值 由 AB 2 点 E 是 AB 的中点 根据等边三角形的性质得到 CE AB BCE BCA 30 BE 1 再根据 含 30 度的直角三角形三边的关系得 CE 2 实践运用 过 B 点作弦 BE CD 连结 AE 交 CD 于 P 点 连结 OB OE OA PB 根据垂径定理得到 CD 平分 BE 即点 E 与点 B 关于 CD 对称 则 AE 的长就是 BP AP 的最小值 由于的度数为 60 点 B 是的中点得到 BOC 30 AOC 60 所以 AOE 60 30 90 于是可判断 OAE 为等腰直角三角形 则 AE OA 3 拓展延伸 分别作出点 P 关于 AB 和 BC 的对称点 E 和 F 然后连结 EF EF 交 AB 于 M 交 BC 于 N 解答 解 1 观察发现 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 6 13 如图 2 CE 的长为 BP PE 的最小值 在等边三角形 ABC 中 AB 2 点 E 是 AB 的中点 CE AB BCE BCA 30 BE 1 CE BE 故答案为 2 实践运用 如图 3 过 B 点作弦 BE CD 连结 AE 交 CD 于 P 点 连结 OB OE OA PB BE CD CD 平分 BE 即点 E 与点 B 关于 CD 对称 的度数为 60 点 B 是的中点 BOC 30 AOC 60 EOC 30 AOE 60 30 90 OA OE 1 AE OA AE 的长就是 BP AP 的最小值 故答案为 3 拓展延伸 如图 4 点评 本题考查了圆的综合题 弧 弦和圆心角之间的关系以及圆周角定理在有关圆的几何 证明中经常用到 同时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称 最短路径问题 4 2013 湖北宜昌 湖北宜昌 18 7 分 分 如图 点 E F 分别是锐角 A 两边上的点 AE AF 分 别以点 E F 为圆心 以 AE 的长为半径画弧 两弧相交于点 D 连接 DE DF 1 请你判断所画四边形的性状 并说明理由 2 连接 EF 若 AE 8 厘米 A 60 求线段 EF 的长 考点 菱形的判定与性质 等边三角形的判定与性质 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 7 13 分析 1 由 AE AF ED DF 根据四条边都相等的四边形是菱形 即可证得 四边形 AEDF 是菱形 2 首先连接 EF 由 AE AF A 60 可证得 EAF 是等边三角形 则可求得线 段 EF 的长 解答 解 1 菱形 理由 根据题意得 AE AF ED DF 四边形 AEDF 是菱形 2 连接 EF AE AF A 60 EAF 是等边三角形 EF AE 8 厘米 点评 此题考查了菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质 此题比较简单 注意掌 握辅助线的作法 注意数形结合思想的应用 5 2013 鞍山 21 6 分 如图 已知线段 a 及 O 只用直尺和圆规 求做 ABC 使 BC a B O C 2 B 在指定作图区域作图 保留作图痕迹 不写作法 考点 作图 复杂作图 分析 先作一个角等于已知角 即 MBN O 在边 BN 上截取 BC a 以射线 CB 为一 边 C 为顶点 作 PCB 2 O CP 交 BM 于点 A ABC 即为所求 解答 解 如图所示 点评 本题主要考查了基本作图 关键是掌握作一个角等于已知角的基本作图方法 6 2013 杭州 8 分 如图 四边形 ABCD 是矩形 用直尺和圆规作出 A 的平分线与 BC 边的垂直平分线的交点 Q 不写作法 保留作图痕迹 连结 QD 在新图形中 你发现 了什么 请写出一条 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 8 13 思路分析 根据角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出 Q 点位置 进而利用垂 直平分线的作法得出答案即可 解析 如图所示 发现 DQ AQ 或者 QAD QDA 等等 方法指导 此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的作法和性质等知识 熟练应用 其性质得出系等量关系是解题关键 2 2013 嘉兴 12 分 小明在做课本 目标与评定 中的一道题 如图 1 直线 a b 所成的角跑 到画板外面去了 你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数 小明的做法是 如图 2 画 PC a 量出直线 b 与 PC 的夹角度数 即直线 a b 所成角的度数 1 请写出这种做法的理由 2 小明在此基础上又进行了如下操作和探究 如图 3 以 P 为圆心 任意长为半径 画圆弧 分别交直线 b PC 于点 A D 连结 AD 并延长交直线 a 于点 B 请写出图 3 中所有与 PAB 相等的角 并说明理由 3 请在图 3 画板内作出 直线 a b 所成的跑到画板外面去的角 的平分线 画板内的部分 只要求作出图形 并保留作图痕迹 思路分析 1 根据平行线的性质得出即可 2 根据题意 有 3 个角与 PAB 相等 由等腰三角形的性质 可知 PAB PDA 又对 顶角相等 可知 BDC PDA 由平行线性质 可知 PDA 1 因此 PAB PDA BDC 1 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 9 13 3 作出线段 AB 的垂直平分线 EF 由等腰三角形的性质可知 EF 是顶角的平分线 故 EF 即为所求作的图形 解析 1 PC a 两直线平行 同位角相等 2 PAB PDA BDC 1 如图 PA PD PAB PDA BDC PDA 对顶角相等 又 PC a PDA 1 PAB PDA BDC 1 3 如图 作线段 AB 的垂直平分线 EF 则 EF 是所求作的图形 方法指导 本题涉及到的几何基本作图包括 1 过直线外一点作直线的平行线 2 作 线段的垂直平分线 涉及到的考点包括 1 平行线的性质 2 等腰三角形的性质 3 对顶角的性质 4 垂直平分线的性质等 本题借助实际问题场景考查了学生的几何基本作 图能力 是一道好题 题目篇幅较长 需要仔细阅读 理解题意 正确作答 7 2013 山西山西 21 8 分 分 本题 8 分 如图 在 ABC 中 AB AC D 是 BA 延长线上的 一点 点 E 是 AC 的中点 1 实践与操作实践与操作 利用尺规按下列要求作图 并在图中标明相应字母 保留作图痕迹 不 写作法 作 D A C 的平分线 AM 连接 BE 并延长交 AM 于点 F 解析 解 作图正确 并有痕迹 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 10 13 连接 BE 并延长交 AM 于点 F 2 猜想与证明猜想与证明 试猜想 AF 与 BC 有怎样的位置关系和数量关系 并说明理由 解析 解 AF BC且 AF BC 理由如下 A B A C A BC C D A C A BC C 2 C 由作图可知 D A C 2 FA C C FA C A F BC E 是 AC 的中点 A E CE A EF CEB A EF CEB A F BC 8 2013 四川乐山四川乐山 18 9 分分 如图 已知线段 AB 1 用尺规作图的方法作出线段 AB 的垂直平分线 l 保留作图痕迹 不要求写出作法 2 在 1 中所作的直线 l 上任意取两点 M N 线段 AB 的上方 连接 AM AN BM BN 求证 MAN MBN 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 11 13 9 2013 江西南昌 17 6 分 如图 AB 是半圆的直径 图 1 中 点 C 在半圆外 图 2 中 点 C 在半圆内 请仅用无刻度 的直尺按要求画图 1 在图 1 中 画出 ABC 的三条高的交点 2 在图 2 中 画出 ABC 中 AB 边上的高 思路分析 思路分析 图 1 点 C 在圆外 要画三角形的高 就是要过点 B 作 AC 的垂线 过点 A 作 BC 的垂线 但题目限制了作图的工具 无刻度的直尺 只能作直线或连接线段 说明必须 用所给图形本身的性质来画图 这就是创新作图的魅力所在 作高就是要构造 90 度角 显 然由圆的直径就应联想到 直径所对的圆周角为 90 度 设 AC 与圆的交点为 E 连接 BE 就得到 AC 边上的高 BE 同理设 BC 与圆的交点为 D 连接 AD 就得到 BC 边上的高 AD 则 BE 与 AD 的交点就是 ABC 的三条高的交点 题 2 是题 1 的拓展 升华 三角形的 三条高相交于一点 受题 1 的启发 我们能够作出 ABC 的三条高的交点 P 再作射线 PC 与 AB 交于点 D 则 CD 就是所求作的 AB 边上的高 解解 在图 1 中 点 P 即为所求 在图 2 中 CD 即为所求 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 12 13 方法指导方法指导 本题属创新作图题 是江西近年热点题型之一 考查考生对圆的性质的理解 读图能力 题 1 是要作点 题 2 是要作高 都是要解决直角问题 用到的知识就是 直 径所对的圆周角为直角 10 2013 山东德州山东德州 23 10 分 分 1 如图 1 已知 ABC 以 AB AC 为边向 ABC 外做等边 A