计算方法第三章方程的近似解法实验报告张琳.doc

数值分析实验报告题目名称: 方程的近似解法 学 号: 42120825 姓 名: 张琳 _ 任课教师:_于延_ 第三章 方程的近似解法1、 实验目的：编写用迭代法、牛顿法、对分区间法、弦线法解非线性方程的程序；2、实验分析：计算方法分析：3.1 二分法二分法或称对分法是求方程近似解的一种简单直观的方法。问题：设函数(x)在a, b上连续，且(a) (b)0，则(x)=0在a, b内至少有一零点，a, b称有根区间，若(x)=0在a, b内有唯一根x*，求满足精度e要求的近似根。二分法的基本思想：计算中通过对分区间、缩小区间范围的步骤搜索零点的位置。二分法的计算过程如下：（1）把a,b二等分，分点x0=(a+b)/2,若(x0)=0, 则实根x*=x0，计算结束，否则若(x0) (a)0, 则x*(a,x0), 取a1=a,b1=x0, 否则x*(x0,b), 取a1=x0,b1=b,得有根区a1,b1, 其长度是原a,b的一半。（2） 重复上述步骤，把a1,b1二等分，分点x1=(a1+b1)/2,若(x1)0, 又的得有根区a2,b2, 其长度是a1,b1的一半。（3）如此反复下去，若(xk)0, 则可的一列有根区间：a,ba1,b1 a1,b1 ak,bk 其中ak,bk的长度是ak-1,bk-1的一半, lin(bk-ak)=0, limxk=x*实际计算时，可按精度e要求结束二分法过程：(1) 当bk+1-ak+1e时，有x*-xke,计算结束(2) 要x*-xk所以 作k+1次二分法，计算结束。实现代码：#include #include math.h#include using namespace std;double f(double x)return pow(x,3)-1.8*pow(x,2)+0.15*x+0.65; void average(int n,double a,double b)double x=(a+b)/2; printf(n%4d: %8.6f,%8.6f %8.6f %c %8.6f,n,a,b,x,f(x)0?+:-,b-a);int main()double a,b,x;int n=0;a=0.5; b=1.25;printf(n N a,b x f(x) |b-a|); average(n+,a,b);while(fabs(b-a)1e-2)x=(a+b)/2.0;if(f(x)*f(a)0) a=x;if(f(x)*f(b)0) b=x;average(n+,a,b);coutendl方程的近似值为x*=(a+b)/2;system(pause);return 0;3.2 迭代法（逐次逼近法）问题：若(x)=0在a, b内有一根x*，求(x)=0满足精度e 要求的近似根。迭代法思想方法：将(x)=0转换成等价形式：x=g(x), (g(x)称迭代函数)给定初值x0，构造迭代序列: xx+1=g(xx) , k=0.1.2. limx k+1=limg(xk)=a时迭代法收敛(否则发散), 则a就是方程(x)=0的根。k k在计算中, 当xk+1-xke 时取a=xk+1为方程的根。迭代法的实现过程如下：（1）选取初值x0，并确定方程f(x)=0的等价形式x=(x)；（2）计算x1=(x0)；（3）如果|x1-x0|则停止计算；否则用x1代替x0，重复步骤（2）和（3）的过程；几何意义(1) 将求(x)=0的根转换成求：y=x, y=g(x) 的交点P*(x, g(x)(2) 构造点列：Pk (xk,g(xk) 逼近交点P*(x, g(x) 例 用迭代法求 的解实现代码：#include#includeusing namespace std;#define E 2.71828float fun(float x)return (1.0/2)*log(4-x);int main()float x0 = 1;float x1,x2;int i = 2;/double bj;x1=fun(x0);coutx0=x0endl;coutx1=x1endl;dox2 = fun(x1);coutxi=x2endl;i+;if(x1 = x2)coutx*=x2endl;break;x1 = x2;while(1);system(pause);return 0;3.3 牛顿迭代法牛顿迭代法对方程(x)=0, 可构造多种迭代公式xk+1=g(xk), 牛顿迭代法是借助于对函数(x) 作一阶泰勒展开而构造的一种迭代格式。将(x)在(x)=0在近似根x k作一阶泰勒展开： (x)=0可近似表示成： 设其根为x k+1, 有： 当(x k)0，有： （牛顿迭代公式）用此迭代公式求方程的近似根的方法称为牛顿迭代法。牛顿法的实现过程如下：（1）解非线性方程f(x)=0的Newton法是把非线性化的一种近似方法，把f(x)在点x0附近展开成Taylor级数；（2）取其线性部分作为非线性方程f(x)=0的近似方程；（3）再把在附近张开成Taylor级数，也取其线性部分作为f(x)=0的近似方程；(4)对于n=0,1,2,Nmax,求xn+1，并计算f(xn+1)，若或|xn+1-xn|（容许误差）,则停止计算；牛顿法的几何意义作y=(x)在x0点的切线与x轴的交点x1，再作y=(x)在x1点的切线与x轴的交点x2，,这样逐步逼近方程的根x*。如图：牛顿切线法示意图所以牛顿迭代法也称切线法。例 用牛顿法求 的解实现代码：#include #include #include #define E 2.71828double fun1(double x)/原函数return pow(E,2*x)+x-4;double fun2(double x)/一阶导函数return pow(E,2*x)*2+1;int main()int count =1;double x0,x1;x0 = 1.0;x1=x0-fun1(x0)/fun2(x0);printf(x1 = %fn,x1);while (fabs(fun1(x1)1e-8)/允许范围误差内，否则终止迭代count+;x0 = x1;x1=x0-fun1(x0)/fun2(x0);printf(x%d = %fn,count,x1);printf(迭代%d次得到方程的近似根为%f:n,count,x1);system(pause);return 0;3.4 弦截法(割线法)为避免导数的计算，在牛顿迭代公式中：用差商：代替导数(xk)，就得到弦截法迭代公式： 对应的迭代法称为弦截法。弦截法的实现过程如下：（1）选定初始值x0，x1，并计算f（x0），f（x1）。（2）按迭代公式xn+1=xn-f(xn)/f(x1)-f(xn-1)(xn-xn-1);计算x2，再求出f（x2）；（3）判别：如果飞f（x2）0,则迭代停止；否则用（x2，f（x2）和（x1，f（x1）分别替代（x1，f（x1）和（x0，f（x0），重复步骤2和3直至相邻两次迭代值之差在容许范围。弦截法的几何意义过两点P0(x0, (x0)和P1(x1, (x1)的做一条割线（弦），该割线与轴的交点就是生成的迭代点x2，再做过P1(x1, (x1)和P2(x2, (x2)的一条割线，该割线与x轴的交点是x3，继续做下去得到方程(x)=0的根, 如图2.4所示弦截法示意图事实上，差商：是割线的斜率。弦截法迭代与牛顿迭代法比较：（1）都是线性迭代法；（2）牛顿迭代法计算xk+1时，只用到前一步的xk，称单点迭代法，而弦截法迭代，要用到前两步的xk, xk-1, 称多点迭代法，（3）用弦截法迭代求根，每次只需计算一次函数值，而用牛顿迭代法每次要计算一次函数值和一次导数值。（4）弦截法收敛速度稍慢于牛顿迭代法。收敛的阶为1.618例 用弦截法求 的解实现代码：#include #include #include math.h#include using namespace std;#define E 2.71828double fun(double x)return pow(E,2*x)+x-4;int main()double x0,x1,x2;int count =2;x0 = 0.5;x1 = 1;x2=x1-fun(x1)*(x1-x0)/(fun(x1)-fun(x0);coutx0=x0endl;coutx1=x1endl;coutx2=x21e-8)/允许范围误差内，否则终止迭代count+;x0 = x1;x1=x2