第八章向量代数与空间解析几何习题.pdf

第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数 7 1 空间直角坐标系空间直角坐标系 7 2 向量及其加减法 向量与数的乘法向量及其加减法 向量与数的乘法 一 判断题 1 点 1 2 3 是在第八卦限 2 任何向量都有确定的方向 3 任二向量ba 若ba 则a b同向 4 若二向量ba 满足关系ba a b 则ba 同向 5 若二向量ba 满足关系ba a b 则ba 反向 6 若caba 则cb 7 向量ba 满足 a a b b 则ba 同向 二 填空题 1 点 2 1 3 关于坐标原点对称的点是 2 点 4 3 5 在 坐标面上的投影点是 M 0 3 5 3 点 5 3 2 关于 的对称点是 M 5 3 2 4 设向量a与b有共同的始点 则与ba 共面且平分a与b的夹角的向量为 5 已知向量a与b方向相反 且 2 ab 则b由a表示为b 6 设ba 有共同的始点 则以ba 为邻边的平行四边形的两条对角线的向量分别为 三 选择题 1 点 4 3 5 到轴的距离为 oy A 222 5 3 4 B 22 5 3 C 22 3 4 D 22 54 2 已知梯形 OABC OA且CB 2 1 OA设OA a OC b 则AB CB A 2 1 B ba 2 1 C ab 2 1 D ab 2 1 ba 3 设有非零向量ba 若a b 则必有 A ba a b B ba ba C ba ba 三 试证明以三点 A 4 1 9 B 10 1 6 C 2 4 3 为顶点的三角形为等腰直 角三角形 四 在平面上求与三个已知点 A 3 1 2 B 4 2 2 C 0 5 1 等距离的 点 D yoz 六 用向量方法证明 三角形两边中点的连线平行与第三边 且长度为第三边的一半 7 3 向量的坐标向量的坐标 一 判断题 1 若一向量在另一向量上的投影为零 则此二向量共线 2 零向量在任一轴上投影为零 3 设向量a的方向角 0 则a必垂直于yoz面 4 若 是向量a的方向角 则 cos cos cos 是单位向量 5 若a 则平行于向量 zyx aaa a的单位向量为 a ax a ay a az 二 填空题 1 设a 4 a与轴l的夹角为 6 则 a l prj 2 已知向量a 4 4 7 的终点坐标为 2 1 7 则a的始点坐标为 3 设三角形的三个顶点 A 2 1 4 B 3 2 6 C 5 0 2 则 AB 边的中点坐 标为 ABC 的重心坐标为 4 已知平行四边形 ABCD 的两个顶点 A 2 3 5 B 1 3 2 以及它的对角线交 点 E 4 1 7 则顶点 C 的坐标为 则顶点 D 的坐标为 5 设向量a与坐标轴正向的夹角为 且已知 60 120 则 6 设a的方向角为 满足 cos 1 时 a垂直于 坐标面 三 设 A 4 2 1 B 3 0 2 求AB的方向余弦及与AB反向的单位向量 五 已知OA 2 3 6 OB 1 2 2 OD 为AOB 的平分线 在 OD 上求一长度 为 342的向量 五 设 1 F 2 3 5 2 F 5 1 3 3 F 1 2 4 这三个力作用于点 P 1 1 1 它们的合力为F PQ 求 1 点 Q 的坐标 2 PQ的大小 3 PQ的方向余弦 7 4 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积 一 判断题 1 22 2 baba 2 a ba 2 ab 3 若a 且 则 b ca 0 acb 4 若ba 1 则ba 1 5 2 ba 22 2bbaa 6 abba 7 cba acb 8 当a 3 b时 cba 0 9 若满足cba acbcba 则cba 两两垂直 10 设非零向量ba 的方向角分别为 111 和 222 则 cosba 212121 coscoscoscoscoscos 二 填空题 1 设 ba 3 8 5 ba 则ba 2 若24 19 13 baba 则ba 3 若 3 2 b a 且2 1 ba 则ba 4 已知72 26 3 baba 则ba 5 三向量的混合积的几何意义是 cba cba 6 设 1 2 2 4 3 4 ba 则 Prj a b 7 设 4 6 4 2 3 2 ba 则 ba 8 设为不共线向量 则当ba 时 baP 5 与baQ 3共线 三 选择题 1 设空间三点的坐标分别为 M 1 3 4 N 2 1 1 P 3 1 1 则 MNP A B 4 3 C 2 D 4 2 下列结论正确的是 A 2 aaa B 若0 ba 则必0 a或 0 b C cabacba D 若0 a 且caba 则 cb 3 设 4 4 1 2 3 bxa 若ba 则 A x 0 5 y 6 B x 0 5 y 6 C x 1 y 7 D x 1 y 3 四 设 求与 1 3 1 1 1 1 2 ba ba 均垂直的单位向量 五 设向量 2 1 2 3 2 1 1 3 2 cba 向量d 与ba 均垂直 且在向量 14dc 求向量上的投影是 六 应用向量证明 当 3 3 2 2 1 1 b a b a b a 时 2 332211 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 babababbbaaa 七 设 AD 为ABC 中 BC 边上的高 记 aCBcAB 证明 2 2a caca SABD 7 5 曲面及其方程曲面及其方程 一 填空题 1 设点P 1 1 a 在曲面x2 y2 z2 2x 4y 0 上 则a 2 以原点为球心 且过点 的球面方程是 设球面的方程为x2 y2 z2 2x 4y 2z 0 则该球面的球心坐标是 球面的 半径 为 将zox面上的抛物线z2 5x 绕ox轴旋转而成的曲面方程是 圆锥为x2 y2 3z2的半顶角 方程y2 z表示的曲面是曲线平行与 轴的 柱面 方程y x 1 在平面解析几何中表示 而在空间解析几何中表示 二 选择题 设球面的方程是x2 y2 z2 x Ey Fz G 0 若该球面与三个坐标系都相切 则方程 的系数应满足条件 XOZ坐标面上的直线x z 1 绕oz轴旋转而成的圆锥面的方程是 x2 y2 z 1 x 2 z 2 y2 x 2 1 z 2 y2 D y 2 1 x 2 z2 3 方程x 2 在空间表示 坐标面 一个点 一条直线 与 面平行的平面 4 下列方程中 表示母线平行与oy轴的双曲柱面 x2 y2 x2 z2 x2 z 1 D xz 1 二 已知两点 点 满足条件 PBPA 求点 的轨迹方程 四 说明下列旋转曲面是怎样形成的 x2 y2 2 4x2 9y2 9z2 36 五 画出下列各曲面的图形 Y2 2px p 0 2 由 x y 1 x2 y2 1 和z 0 所围立体的表面 空间曲线及其方程 空间曲线及其方程 一 填空题 方程组 在平面解析几何中表示 15 32 xy xy 在空间解析几何表示 曲面x2 y2 9 2 z 0 与平面z 3 的交线圆的方程是 其圆心坐标是 圆的半径为 曲线 在 面上的投影曲线为 1 1 2 2 22 2 1 1 y x zy x 螺旋线x acos y asin z b 在 面上的投影曲线为 上半锥面 22 yx 1 z 在 面上的投影为 在 面上的投影为 在 面上的投影为 6 曲线的一般式方程为 12 1 2 tz ty tx 二 选择题 方程 1 94 2 2 y x zy 在空间解析几何中表示 椭圆柱面 椭圆曲线 两个平行平面 两条平行直线 已知曲线 在 坐标面上的投影曲线为 则 2 2 2 2 z y x azyx 1 0 2 2 z y yz x a 参数方程的一般方程是 bz ay ax sin cos x2 y2 a2 B x acos b z C y asin b z D cos sin b z ax b z ay 三 化曲线 为参数方程 9 2 2 2 z y x xy 五 画出下列曲线在第一卦限内的图形 1 2 x y 2 2 2 222 a y x azx 平面及其方程 平面及其方程 一 填空题 过点 且与平面 3x 7y 5z 12 0 平行的平面方程 三平面x 3y z 1 2x y z 0 x 2y 2z 3 的交点坐标是 过点 且平行与 平面的平面方程是 过点 和 且平行于 轴的平面方程是 点 到平面x 2y 2z 10 0 的距离是 当l 及 m 时 二平面 2x my 3z 5 0 与lx 6y 6z 2 0 互相平行 二 选择题 平面x 2z 0 的位置是 平行 坐标面 平行 轴 垂直于 轴 通过 轴 下列平面中通过坐标原点的平面是 x 1 x 2z 3y 4 0 C 3 x 1 y y 3 0 D x y z 1 3 已知二平面 mx y 3z 1 0 与 x 2y z 0 当m 二平面 x y 11 0 2 3x 8 0 的夹角 2 三 求通过三点 和 的平面方程 四 求通过点 且垂直于平面 2x 3y 5z 6 0 平面方 程 五 求通过 轴且与平面 2x y 5z 7 0 的夹角为 的平面方程 六 证明 二平行平面 x By Cz D1 0 Ax By Cz D2 0 之间的距离公式 d 222 12 CBA DD 空间直线及其方程 空间直线及其方程 一 填空题 过点 且平行于直线 5 1 2 3 2 z y x 的直线方程为 过点 且与直线 垂直的平面方程为 742 1253 zyx zyx 过点 0 2 4 且与二平面 x 2z 1 和 y 3z 2 平行的直线方程是 4 当 m 时 直线 13 2 4 1zyx 与平面 mx 3y 5z 1 0 平行 5 直线 与 x y z 1 0 的夹角为 03 0 zyx zyx 二 选择题 1 下列直线中平行与 XOY 坐标面的是 A 2 3 3 2 1 1 zyx C 10 1 0 1zyx B D 044 04 yx zx 4 3 21 z ty tx 2 直线L1 与L 72 72 zyx zyx 2 的关系是 8363 02 zyx zyx A L1 L2 B L1 L2 C L1与L2相交但不垂直 D L1与L2为异面直线 3 直线 L 37 4 2 3zyx 与平面 4x 2y 2z 3 的关系是 A 平行 B 垂直相交 C L 在 上 D 相交但不垂直 4 设在直线L1 6 32 1 8 2 5 1 1 YX ZY L zyx 与则L1与L2的夹角为 A 6 B 4 C 3 D 2 5 两平行线tztytx 12 1与 1 1 2 1 1 2 zyx 之间的距离是 3 32 三 设直线L通过 且与 1 L zyx236 相交 又与 2 L 4 3 1 2 2 1 zyx 垂直 求直线 L 的方程 四 证明直线 与直线 互相平行 72 72 zyx zyx 8363 02 zyx zyx 五 求通过点 且又通过直线 3 2 12 1 zyx 的平面方程 六 求通过点 且与直线 2 25 23 5 zyx 垂直相交的直线 七 求点 关于直线 的对称点坐标 0124 0322 zyx zyx 八 设直线 032 2 1 1 1 1 zyx zyx 与平面 求证 与 相交 并求交点坐标 求 与 交角 通过 与 交点且与 垂直的平面方程 通过 且与 垂直的平面方程 在 上的投影直线方程 二 二 次次 曲曲 面面 一 填空题 曲线 在 面上的投影曲线方程为 02 3 2 2 x z z y 抛物面Z x2 y2与平面y z 1 的交线在XOY面上的投影曲线方程是 3 当 k 时 平面 x k 与曲面1 494 222 zyx 的交线是一对相交直线 4 椭圆 1 94 2 1 2 2 2 z y x z 的长半轴为 5 圆 的圆心坐标为 25 3 2 2 2 z y x x 半径为 二 选择题 1 方程y2 z2 4x 8 0 表示 A 单叶双曲面 B 双叶双曲面 C 锥面 D 旋转抛物面 2 二次曲面 Z 2 2 2 2 b y a x 与平面 y h 相截其截痕是空间中的 A 抛物线 B 双曲线 C 椭圆 D 直线 3 双曲抛物面x2 y2 z在XOZ坐标面上的截痕是 A x2 z B C D 0 2 x zy 0 2 y zx 0 0 22 z yx 4 曲面x2 y2 z2 a与x2 y2 2 a z a 0 的交线是 A 抛物线 B 双曲线 C 圆周 D 椭圆 5 旋转双叶双曲面1 2 2 2 2 2 2 a z