导数复习提纲(精简后).doc

新民高中2012届高三备战高考复习提纲-数列 编撰人：关培志 王翯导数基本知识点及解题方法一、 基础知识：1、 函数的平均变化率：已知函数在点及其附近有定义，令,则当时，比值叫做函数 在区间的平均变化率。说明：（1）这里的的值可以是正值,也可以为负值，但是，可以是02、瞬时速度：物体运动路程与时间的关系是,从这段时间内的平均速度当时，常数，则叫做时刻的瞬时速度说明： 当时，常数与无限接近3、函数的瞬时变化率：设函数在及其附近有定义,当自变量在附近改变时，函数值相应地改变，如果当趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数，则常数称为函数在点的瞬时变化率还可以说：当时，函数平均变化率极限等于函数在的瞬时变化率，记作4、函数在处的导数：函数在点的瞬时变化率通常就定义为在处的导数，并记作5、利用定义求函数导数的步骤： 求平均变化率 求导数6、函数在点（）处切线的求法：(1)求切线的斜率k=(2)利用直线的点斜式方程求切线的方程若求过点（）的切线方程的步骤：(1)设切点（）(2)求切线的斜率k=，可求(2)利用直线的点斜式方程求切线的方程7、基本初等函数的导数公式 8、函数和（或差）的求导法则设是可导的，则 = =9、如果在区间内,总有在此区间是增函数如果在区间内,总有在此区间是减函数10、求极值的步骤: (1)求导数(2)求方程的所有实数根(3)列表格考查导数的符号如何变化(4)代入原函数求出极值11、函数定积分的几何意义定积分的几何意义：是介于x轴、函数的图像以及直线x=a,x=b之间各个部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号；在x轴下方的面积取负号。(1)当0时，(2)当 0时，12、微积分基本定理如果，且在a，b上可积，则，其中F（x）叫做f（x）的一个原函数。即由于，F(x)+c也是f(x)的原函数，其中c为常数。13、定积分的性质二、 基本题型：导数的思想方法和基本理论能在许多问题上起到居高临下和化繁为简的作用，因此备考应注意以下几个方面： （1）导数的意义：变化率和切线的斜率，能够设切点坐标求切线方程，函数的单调区间和函数在某区间上单调的区别。 （2）导数作为工具使用，如利用单调性求最值、证明不等式、解决数列、解决不等式恒成立或方程解等问题。 （3）注意各小题之间的承接与提示作用，以及以e为底的指数函数、对数函数与一元多项式函数之间的不等关系（如）。 （4）注意导数与其它知识的交汇，重点知识重点抓，使常见数学思想方法融会贯通。（一 ）考查导数的几何意义例：若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）（A）（B）（C）（D）选（A）例：设函数，曲线在点处的切线方程为.求的解析式；解 ： （二） 考查利用导数判断函数的单调性1、求单调区间或证明单调性单调区间的求解过程：已知 （1）分析 的定义域；（2）求导数 ；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间例： 求下列函数单调区间答案： ，为增区间， 为减区间2、已知单调性求参数例：求满足条件的：（1）使为上增函数（2）使为上增函数解：（1）（2）例：已知函数，（）讨论函数的单调区间；（）设函数在区间内是减函数，求的取值范围解：（1）求导：当时，在上递增当，求得两根为，即在递增，递减，递增。（2）法一：，且列式容易，但不易求解。 法二：运用在区间内恒成立解决比较好。3、证明不等式若，恒成立，为上增 对任意 不等式 恒成立（2）恒成立， 在上减 对任意不等式 恒成立例： 求证下列不等式（1） 证： （1）原式，令 又， ， ， ， 评注：此题考查的是可导函数的单调性与其导数的关系和数形结合思想的应用判断的法则是：设在某个区间内可导，若，则为增函数；若，则为减函数 （三）考查极值问题 例:：设函数，已知是奇函数（）求的值；（）求的单调区间与极值解：（）， ；（）和是函数的单调递增区间；是函数的单调递减区间；在时，取得极大值，极大值为；在时，取得极小值，极小值为例：设函数（）求函数的单调区间； （）已知对任意成立，求实数的取值范围。解 ：(1) 若 则 列表如下 +0-单调增极大值单调减单调减 (2)提示：在 两边取对数, （四）考查最值问题例：已知函数（），其中（）当时，讨论函数的单调性；（）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围（）解： 在，内是增函数，在，内是减函数（）解： 的取值范围是（）解： 点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力。借助于导数可以研究函数的最值，利用最值可以研究一类恒成立问题，一般地，f(x)a对xR恒成立 f(x)的最小值a成立；f(x)a对xR恒成立f(x)的最大值a成立。三、导数及其应用中的数学思想1、数形结合思想例：计算曲线与直线所围图形的面积答案：2、函数方程思想例： 已知，求的最大值分析：先求出定积分的值，即将问题转化为关于的二次函数，然后求解解：当时，有最大值3、分类与整合思想分类与整合是一种“化整为零，各个击破”的思想方法，先根据问题要求，确定适当的分类标准，然后对划分的每一类分别求解若有必要可再加以分类，最后进行综合，从而得出结果例 已知，求函数的单调区间分析：本题应用导数来研究函数的单调性，但要在对参数分类讨论的基础上进行解：（1）当时，函数在上为减函数，在上为增函数（2）当时，函数在区间上为增函数，在区间上为减函数，在区间上为增函数（3）当时，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，在区间上为减函数4、化归转化思想化归转化是解决数学问题时经常使用的基本思想方法，是指在研究解决数学问题时采用某种手段将问题变换，进而使问题得到解决例 设函数（1）求函数的单调区间和极值；（2）若当时，恒有，试确定的取值范围分析：（1）利用导数求函数的单调区间和极值；（2）要使恒成立，可化为，将问题转化为求在区间的值域，进而求解解：（1）在区间上是增函数；在区间上是减函数；（2）的取值范围为四、利用导数刻画图象解题例、设为实数，函数. 求的极值；当在什么范围内取值时，方程有且仅有一个根.解析：，实数取值范围或.甲O乙O点评：本题中第1问利用导数求解函数的极值，第2问中由第1问得到的结论，把问题转化为曲线与轴仅有一个交点，利用导数刻画出函数的图象，利用数形结合法求解.例、已知函数（为常数），直线L与函数、 的图象都相切，且L与函数、图象的切点的横坐标为1. 求直线L的方程及的值；当时，试讨论方程的解的个数.解析：由，得直线L的斜率为1，切点为，即.OO1 直线的方程为，又点在，.当时，方程无解； 当或时，方程有两解； 当时，方程有三个解； 当时，方程有四个解.点评：本题利用导数描绘了图象的变化趋势，利用了数形结合法，讨论方程根的情况，同时也体现了转化与化归思想在解题中的应用.五、导数在研究恒成立问题中的应用例已知两个函数其中实数。（）若对任意实数，都有，求的取值范围。（）若对任意实数，都有，求的取值范围。分析及解： （）构造函数，问题转化为在上恒成立，易求。（）由题意，对任意实数，都有，都有，先求的最大值。再求的最小值。从而可求得。评注：本题两小问都是恒成立问题，题目貌似相同，可仔细分析，可发现它们实则不一样。第（）问中若对任意，都有，。此时的能同时使取得最大值和取得最小值。因此，可以用集中变量构造函数的思想求解。第（）中若对任意，都有，。此时的不是同时使取得最大值和取得最小值的。因此，只有分别求出再求解。六、导数为零的点与极值之间的关系利用导数求函数的极值时，应注意导数为0的点与极值点之间的关系，还要注意导数不存在的点也可能是极值点。1、可导函数极值点的导数一定为0例1、已知函数f(x)在x1处有极值2，求a，b的值。解： a1，b3点评：可导函数在极值点的导数值一定等于0，因为函数f(x)在R上可导，x1是极值点，所以。2、导数为0的点不一定是极值点例2、已知函数f(x)在x1处有极值10，求a，b的值。解析： 当a3，b3时，不合题意。a4，b11点评：可导函数在极值点的导数值一定等于0，但导数值等于0的点不一定是极值点。3、导数不存在的点也可能是极值点例3、求函数f(x)在R上的极值(a0)解析：当xa或xa时，f(x)有极小值f(-a)f(a)0当x0时，f(x)有极大值f(0)点评：当xa或xa时，函数f(x)的导数不存在，但函数在xa和xa处取得极小值。所以导数不存在的点也可能是极值点，这样的点称为可疑点。七、导数在函数应用中的六大陷阱陷阱1：忽视函数的定义域例1求函数的单调区间. 错解： 由，得由，得 的单增区间是(2,+)，单减区间是（,2）. 点评：本题错在忽视了函数的定义域. 单调性是函数的局部性质，单调区间应是函数定义域的一个子集. 求单调区间时应先确定函数定义域，再来解不等式和. 正确答案是：函数的的单调递增区间为(，+)，此单调递减区间为(0，)陷阱2：忽视有极值的条件 例2已知在上有极值,求实数的取值范围.错解：由题意知,在上有实数解,所以即点评：本题错在将有极值的必要条件当作充要条件使用.本题应该由确定的取值范围, 正确答案是陷阱3：忽视给定的区间例3求函数在上的最大值与最小值.错解：由得,.当时, ;当时, 因此,是极大值,是极小值. 而=12 , =15 ,