2012中考数学专题复习 几何图形证明与计算题分析.doc

2012中考数学专题复习 几何图形证明与计算题分析几何计算问题常见的有：求线段的长、求角的度数， 求图形的面积等。研究几何图形及其和相关的问题时，“几何计算”具有广泛的意义：一、几何图形的大小及形状、几何图形间的位置关系，在许多时候本来就需要运用相关的数量来表示，无疑地就会涉及到几何量的计算；二、当我们注重研究图形的动点问题，图形的变换及运动问题，在坐标系里研究图形的一些问题时，就愈是不可避免地要借助几何量的计算；三、那些基于实际而模型化为几何图形的应用类问题，更是必须依靠几何量的计算来解决。几何计算是深入研究图形性质和图形间关系的重要手段，是用代数形式刻划变动中图形性质的主要凭借。也就是说，许多以图形为基础的研究性问题，许多几何与代数相结合的问题，许多图形的变换及其它形式运动的问题，都是以计算为基础，为依据，为桥梁。因此几何计算问题就成了中考中不得不考的一类问题，在填空选择各类题型中都可以体现，且往往会多处出现。几何图形线段长度计算三大方法： “勾股定理” “相似比例计算” “直角三角形中的三角函数计算”【2011中考真题回顾与思考】（2011深圳20题）如图9，已知在O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CDCA，连接DB并延长交O于点E，连接AE。 （1）求证：AE是O的直径；OAECBD图10OAECBD图9（2）如图10，连接EC，O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和。（结果保留与根号）（1）证明：如图2，连接AB、BC，点C是劣弧AB上的中点 CACB 又CDCA CBCDCAOAECBD图2 在ABD中， ABD90 ABE90 AE是O的直径 （2）解：如图3，由（1）可知，AE是O的直径 OAECBD图3ACE90 O的半径为5，AC4 AE10，O的面积为25 在RtACE中，ACE90，由勾股定理，得： SACES阴影SOSACE （2011深圳中考21题）如图11，一张矩形纸片ABCD，其中AD8cm，AB6cm，先沿对角线BD对折，21世纪教育网点C落在点C的位置，BC交AD于点G。（1）求证：AGCG；（2）如图12，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长。图4ABDCCG图11ABDCCGG图12ABDCECNM（1）证明：如图4，由对折和图形的对称性可知，CDCD，CC90 在矩形ABCD中，ABCD，AC90 AB CD，AC 在ABG和CDG中，AB CD，AC，AGBCGD ABGCDG（AAS） G图5ABDCECNMAGCG （2）解：如图5，设EMx，AGy，则有：CGy，DG8y，在RtCDG中，DCG90，CDCD6， CG2CD2DG2 即：y262（8y）2 解得： CGcm，DGcm 又DMEDCG ， 即：解得：， 即：EM（cm） 所求的EM长为cm。 【典型例题分析】1. （2011四川凉山 ）已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是 . 解答：解：菱形ABCD的边长是8，ADBC8，ADBC，如图1：当E在线段AD上时，AEADDE835，MAEMCB，； 如图2，当E在AD的延长线上时，AEADDE8311， MAEMCB， 的值是或故答案为：或2. （2011重庆江津区 ）如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B （8，0），D （0，4），若将ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处则E点的坐标是 解答：解：连接BE，与AC交于G，作EFAB，ABAE，BACEAC，AEB是等腰三角形，AG是BE边上的高，EGGB，EB2EG， BG，设D（x，y），则有：ODOFADAF，AEAFBEBF即：8x（2BG）（8x），解得：x， yEF， E点的坐标为： 故答案为：ABCDFPEQGABCDFPEQ3. 如图，在边长为8的正方形ABCD中，P为AD上一点，且BP的垂直平分线分别交正方形的边于点E，F，Q为垂足，则EQ：EF的值是（ ）A、 B、 C、 D、 解答：分析：容易看出得即。而根据正方形的性质，易知，如图，把FE平移至CG的位置，由有， 解：选C。4. （2011泰安）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）A、23B、232 C、3D、6解答：解：CED是CEB翻折而成，BC=CD，BE=DE，O是矩形ABCD的中心，OE是AC的垂直平分线，AC=2BC=23=6，AE=CE，在RtABC中，AC2=AB2+BC2，即62=AB2+32，解得AB=33，在RtAOE中，设OE=x，则AE=33x，AE2=AO2+OE2，即（33x）2=（33）2+32，解得x=3，AE=EC=333=23故选A5. （2011潍坊）已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为 解答：解：连接EB， BD垂直平分EF，ED=EB， 设AE=xcm，则DE=EB=（4x）cm，在RtAEB中， AE2+AB2=BE2， 即：x2+32=（4x）2，解得：x=78 故答案为：78cm6.如图，在中，。将绕点C逆时针旋转30得到， 与AB相交于点D。求BD的长。解：如图（2），作于点G，设BD=，中，在中，。即解得。的长为。7.如图，在等腰梯形ABCD中，AB/CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结CE，若于点F，且AF平分求的值。ABEDCFG解答：首先，在中，剩下的任务就是去求CF和AC之间的数量关系，如去求出CF用AC表示的代数式。为此，去研究相应的条件：由ABCD为等腰梯形，BECD为平行四边形（BE/CD，BE=CD），可知：AC=BD=EC；由知 且AF平分得是等腰三角形，设AF交BD于点G，则 由BG/EC，知, 如此一来， 当然就有。8.如图，把一副三角板如图（1）放置，其中，斜边把三角板DCE绕点C顺时针旋转15得到如图（2）， 这时AB与相交于点，与AB相交于点F。（1）求的度数；（2）求线段的长；（3）若把三角形绕着点C顺时针再旋转30得到，这时点B在的内部，外部，还是边上？证明你的判断。 解答：分析：对于（1），如图（3），设CB与相交于点G，则可通过与内角的关系，求得的值；对于（2），可先推出，并导出的长；对于（3），设直线CB交于，应在中计算出的长，为此为基础进行判断。解：（1）设CB与相交于点G，如图（3），则： ACBFOG 。（2）连结，又。在 （3）。（3）点B在内部，理由如下：设BC（或延长线）交于点，在，又，即点B在内部。9.（2009年清远）如图，已知是的直径，过点作弦的平行线，交过点的切线于点，连结（1）求证：；（2）若，求的长【答案】（1）证明：是直径 是的切线，切点为 （2） AEDBCFG10（2010河南） （1）操作发现 ：如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE，且点G在矩形ABCD内部小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由（2）问题解决保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值；（3）类比探求：保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值【答案】同意，连接EF，则EGFD90，EGAEED，EFEF RtEGFRtEDF GFDF 由知，GFDF设DFx，BCy，则有GFx，ADy.DC2DF，CFx，DCABBG2x BFBGGF3x在RtBCF中，BC2CF2BF2，即y2x2(3x)2 y2x，由知，GF=DF，设DFx，BCy，则有GFx，ADyDCnDF，DCABBGnxCF(n1)x，BFBGGF(n1)x在RtBCF中，BC2CF2BF2，即y2(n1)x2(n1)x2y2x（或）11.如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CHAB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.（1）求证：点F是BD中点；（2）求证：CG是O的切线；（3）若FB=FE=2，求O的半径解析 (1)证明：CHAB，DBAB，AEHAFB，ACEADF，HEEC，BFFD (2)方法一：连接CB、OC，AB是直径，ACB90F是BD中点，BCF=CBF=90-CBA=CAB=ACOOCF=90,CG是O的切线 (3)解：由FC=FB=FE得：FCE=FEC 可证得：FAFG，且ABBG由切割线定理得：（2FG）2BGAG=2BG2 在RtBGF中，由勾股定理得：BG2FG2BF2 由、得：FG2-4FG-12=0解之得：FG16，FG22（舍去） ABBG O半径为212 . .如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为弧CF的中点，连接交于点，为ABC的角平分线，且，BDAOAHACAEAMAFAA垂足为点.（1）求证：是半圆的切线；（2）若，求的长.解答：（1）证明：连接EC，ADBE于H，12， 34 453， 又E为弧CF中点， 67，BC是直径， E90， 5690， 又AHME90， ADCE， 261， 3790， 又BC是直径， AB是半圆O的切线； （2），。由（1）知，.在中，于，平分， ，.由，得. ， 13（2011成都）已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作O，O经过B、D两点，过点B作BKAC，垂足为K过D作DHKB，DH分别与AC、ABO及CB的延长线相交于点E、F、G、H（1）求证：AECK；（2）如果ABa，AD（a为大于零的常数），求BK的长：（3）若F是EG的中点，且DE6，求O的半径和GH的长解答：（1）证明：四边形据ABCD是矩形，ADBC，BKAC，DHKB，BKCAED90，BKCADE，AECK；（2）ABa，ADBC，BKAC，BKCABC， ， BKa，BKa（3）连接OF，ABCD为矩形， ， EFED63，F是EG的中点，GFEF3，AFDHBF，HFFE369，GH6，DHKB，ABCD为矩形，AE2EFED3618，AE3，AEDHEC，AEAC，AC 则AO14.（2011綦江县）如图，等边ABC中，AO是BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边CDE，连接BE（1）求证：ACDBCE；（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长解答：解：（1）ABC与DCE是等边三角形，AC=BC，DC=EC，ACB=DCE=60，ACD+DCB=ECB+DCB=60，ACD=BCE， ACDBCE（SAS）；（2）过点C作CHBQ于H，ABC是等边三角形，AO是角平分线，DAC=30， ACDBCE，QBC=DAC=30， CH=12BC=128=4，PC=CQ=5，CH=4， PH=QH=3， PQ=615. (2010湖北省荆门 ) 如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BCCA43，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点 (1)求证：ACCDPCBC；第15题图(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；(3)当点P运动到什么位置时，PCD的面积最大？并求这个最大面积S答案23解：(1)AB为直径，ACB90又PCCD，PCD90而CABCPD，ABCPCDACCDPCBC； (2)当点P运动到AB弧中点时，过点B作BEPC于点EP是AB中点，PCB45，CEBEBC2又CABCPB，tanCPBtanCABPE从而PCPEEC由(1)得CDPC (3)当点P在AB上运动时，SPCDPCCD由(1)可知，CDPCSPCDPC2故PC最大时，SPCD取得最大值； 而PC为直径时最大，SPCD的最大值S52 16（2010 安徽芜湖）如图，BD是O的直径，OAOB,M是劣弧上一点，过点M作O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于点N。（1）求证：PM=PN；（2）若BD=4,PA=AO,过B点作BCMP交O于C点，求BC的长【答案】（1）证明：连结OM, MP是O的切线，OMMP OMD +DMP=90 OAOB，OND +ODM=90MNP=OND, ODN=OMD DMP=MNPPM=PN（2）解：设BC交OM于E, BD=4, OA=OB=2, PA=OA=3PO=5 BCMP, OMMP, OMBC, BE=BCBOM +MOP=90,在RtOMP中，MPO +MOP=90BOM=MPO.又BEO=OMP=90OMPBEO ,BE= BC=EA DB CNM17（2010福建宁德）如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM. 求证：AMBENB； 当M点在何处时，AMCM的值最小；当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由； 当AMBMCM的最小值为时，求正方形的边长.【答案】解：ABE是等边三角形，BABE，ABE60. MBN60， MBNABNABEABN.即BMANBE. 又MBNB，AMBENB（S