2013年北京市中考数学试卷.doc

菁优网2013年北京市中考数学试卷8（4分）（2013北京）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2设弦AP的长为x，APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）ABCD解答解：作OCAP，如图，则AC=AP=x，在RtAOC中，OA=1，OC=，所以y=OCAP=x（0x2），所以y与x的函数关系的图象为A故选A补：很显然，并非二次函数，排除B；采用特殊位置法；当P点与A点重合时，此时AP=x=0，SPAO=0；当P点与B点重合时，此时AP=x=2，SPAO=0；当AP=x=1时，此时APO为等边三角形，SPAO=；排除B、C、D故选A二、填空题（本题共16分，每小题4分）12（4分）（2013北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=x1，双曲线y=，在l上取一点A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交l于点A2，请继续操作并探究：过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交l于点A3，这样依次得到l上的点A1，A2，A3，An，记点An的横坐标为an，若a1=2，则a2=，a2013=；若要将上述操作无限次地进行下去，则a1不可能取的值是0、1解答：解：当a1=2时，B1的纵坐标为，B1的纵坐标和A2的纵坐标相同，则A2的横坐标为a2=，A2的横坐标和B2的横坐标相同，则B2的纵坐标为b2=，B2的纵坐标和A3的纵坐标相同，则A3的横坐标为a3=，A3的横坐标和B3的横坐标相同，则B3的纵坐标为b3=3，B3的纵坐标和A4的纵坐标相同，则A4的横坐标为a4=2，A4的横坐标和B4的横坐标相同，则B4的纵坐标为b4=，即当a1=2时，a2=，a3=，a4=2，a5=，b1=，b2=，b3=3，b4=，b5=，=671，a2013=a3=；点A1不能在y轴上（此时找不到B1），即x0，点A1不能在x轴上（此时A2，在y轴上，找不到B2），即y=x10，解得：x1；综上可得a1不可取0、1故答案为：、；0、1三、解答题（本题共30分，每小题5分）13（5分）（2013北京）已知：如图，D是AC上一点，AB=DA，DEAB，B=DAE求证：BC=AE解答：证明：DEAB，CAB=ADE，在ABC和DAE中，ABCDAE（ASA），BC=AE四、解答题（本题共20分，每小题5分）19（5分）（2013北京）如图，在ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB=4，AD=6，B=60，求DE的长解答：（1）证明：在ABCD中，ADBC，且AD=BCF是AD的中点，DF=又CE=BC，DF=CE，且DFCE，四边形CEDF是平行四边形；（2）解：如图，过点D作DHBE于点H在ABCD中，B=60，DCE=60AB=4，CD=AB=4，CH=2，DH=2在CEDF中，CE=DF=AD=3，则EH=1在RtDHE中，根据勾股定理知DE=20（5分）（2013北京）如图AB是O的直径，PA，PC与O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DEPO交PO的延长线于点E（1）求证：EPD=EDO；（2）若PC=6，tanPDA=，求OE的长解答：（1）证明：PA，PC与O分别相切于点A，C，APO=EPD且PAAO，PAO=90，AOP=EOD，PAO=E=90，APO=EDO，EPD=EDO；（2）解：连接OC，PA=PC=6tanPDA=，在RtPAD中，AD=8，PD=10，CD=4，tanPDA=，在RtOCD中，OC=OA=3，OD=5，EPD=ODE，OEDDEP，=2，在RtOED中，OE2+DE2=52，OE=22（5分）（2013北京）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当AFQ=BGM=CHN=DEP=45时，求正方形MNPQ的面积小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得RQF，SMG，TNH，WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）请回答：（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为a；（2）求正方形MNPQ的面积（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边RPQ若SRPQ=，则AD的长为解答：解：（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为a，每个等腰直角三角形的面积为：aa=a2，则拼成的新正方形面积为：4a2=a2，即与原正方形ABCD面积相等，这个新正方形的边长为a；（2）四个等腰直角三角形的面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2，S正方形MNPQ=SARE+SDWH+SGCT+SSBF=4SARE=412=2；（3）如答图1所示，分别延长RD，QF，PE，交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W由题意易得：RSF，QET，PDW均为底角是30的等腰三角形，其底边长均等于ABC的边长不妨设等边三角形边长为a，则SF=AC=a如答图2所示，过点R作RMSF于点M，则MF=SF=a，在RtRMF中，RM=MFtan30=a=a，SRSF=aa=a2过点A作ANSD于点N，设AD=AS=x，则AN=ADsin30=x，SD=2ND=2ADcos30=x，SADS=SDAN=xx=x2三个等腰三角形RSF，QET，PDW的面积和=3SRSF=3a2=a2，SRPQ=SADS+SCFT+SBEW=3SADS，=3x2，得x2=，解得x=或x=（不合题意，舍去）x=，即AD的长为故答案为：a；五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23（7分）（2013北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx22mx2（m0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在2x1这一段位于直线l的上方，并且在2x3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式解答：解：（1）当x=0时，y=2，A（0，2），抛物线的对称轴为直线x=1，B（1，0）；（2）易得A点关于对称轴直线x=1的对称点A（2，2），则直线l经过A、B，设直线l的解析式为y=kx+b（k0），则，解得，所以，直线l的解析式为y=2x+2；（3）抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线在2x3这一段与在1x0这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在2x1这一段位于直线l的上方，在1x0这一段位于直线l的下方，抛物线与直线l的交点的横坐标为1，当x=1时，y=2（1）+2=4，所以，抛物线过点（1，4），当x=1时，m+2m2=4，解得m=2，抛物线的解析式为y=2x24x224（7分）（2013北京）在ABC中，AB=AC，BAC=（060），将线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD（1）如图1，直接写出ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，BCE=150，ABE=60，判断ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若DEC=45，求的值解答：解：（1）AB=AC，A=，ABC=ACB=（180A）=90，ABD=ABCDBC，DBC=60，即ABD=30；（2）ABE是等边三角形，证明：连接AD，CD，ED，线段BC绕B逆时针旋转60得到线段BD，则BC=BD，DBC=60ABE=60，ABD=60DBE=EBC=30，且BCD为等边三角形，在ABD与ACD中ABDACD，BAD=CAD=BAC=，BCE=150，BEC=180（30）150=BAD，在ABD和EBC中ABDEBC，AB=BE，ABE是等边三角形；（3）BCD=60，BCE=150，DCE=15060=90，DEC=45，DEC为等腰直角三角形，DC=CE=BC，BCE=150，EBC=（180150）=15，EBC=30=15，=3025（8分）（2013北京）对于平面直角坐标系xOy中的点P和C，给出如下的定义：若C上存在两个点A、B，使得APB=60，则称P为C的关联点已知点D（，），E（0，2），F（2，0）（1）当O的半径为1时，在点D、E、F中，O的关联点是D，E过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使GFO=30，若直线l上的点P（m，n）是O的关联点，求m的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围解答：解：（1）如图1所示，过点E作O的切线设切点为R，O的半径为1，RO=1，EO=2，OER=30，根据切线长定理得出O的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30，E点是O的关联点，D（，），E（0，2），F（2，0），OFEO，DOEO，D点一定是O的关联点，而在O上不可能找到两点与点F的连线的夹角等于60，故在点D、E、F中，O的关联点是D，E；故答案为：D，E；由题意可知，若P要刚好是C的关联点，需要点P到C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60，由图2可知APB=60，则CPB=30，连接BC，则PC=2BC=2r，若P点为C的关联点，则需点P到圆心的距离d满足0d2r；由上述证明可知，考虑临界点位置的P点，如图3，点P1到原点的距离OP1=21=2，过点O作直线l的垂线OH，垂足为H，tanOGF=，OGF=60，OH=OGsin60=；sinOP1H=，OP1H=60，可得点P1与点G重