第二章：应用光学——高斯光学.ppt

第二章高斯光学 本章是本课程的理论基础也是本课程的重点 2 2 1近轴光学系统的光路计算 大多数光学系统都是由折 反射球面或平面组成的共轴球面光学系统折射球面系统具有普遍意义所以首先讨论单个折射球面折射的光路计算问题 再过渡到整个光学系统 3 一基本概念和符号规则 1 基本概念子午面 通过物点和光轴的截面一条光线 可以用两个量来确定位置 截距和孔径角物方截距 L OA 像方截距 L OA 物方孔径角 U 像方孔径角 U 入射光线 出射光线 4 2 符号规则 线段 方向 自左向右为正 由下向上为正起点 沿轴 以顶点O为原点 L r L 角度 方向 顺时针为正起始轴 光线与光轴的夹角 光轴转向光线 U U 光线与法线的夹角 光线转向法线I I 光轴与法线的夹角 光轴转向法线 反射情况 P26 注 几何图形上所有值标注绝对值 5 或 2 1 在E点 由折射定律得 2 2 由图可知 在给定单个折射球面的结构参量n n 和r时 由已知入射光线坐标L和U 计算折射后出射光线的坐标L 和U 在 AEC中 应用正弦定理有 二单个折射球面的光路计算 A E L L n n h A O D C U U I I r 6 所以 2 3 同样 在三角形A EC中应用正弦定理有 化简后得像方截距 2 4 2 1 2 4 式就是计算光线光路的基本公式 给出一组L U 可计算L U 7 由公式可知 L 是U的函数 不同U的光线经折射后不能相交于一点 点 斑 单个折射球面对轴上物点成像是不完善的 这种成像缺陷称为像差 是以后将会讨论到的球差 8 三单个折射球面近轴光线的光路计算 1 近轴光 如果限制U角在一个很小的范围内 即从A点发出的光线都离光轴很近 这样的光线称为近轴光光轴附近的一个小区域称为近轴区 研究近轴区的物象关系的光学称为近轴光学 在近轴几何光学中 经常用到以下近似公式 一级泰勒展开 9 l 和u无关 i i u 和u成线性关系 很小 cos 1 光程和 无关在近轴区内 对一给定l值 不论u为何值 l 均为定值 表明由物点发出的一束细光束经折射后仍交于一点 其像是完善的像 又称为高斯像 通过高斯像点且垂直于光轴的像面 称为高斯像面 2 近轴光路计算公式 2 11 10 2 12 2 14 1 13 一个公式的三种不同表示形式 便于不同场合的应用 3 近轴光线经折射球面计算的其他形式 11 近轴区物像大小关系式 垂轴放大率 B BC对于该球面来说也是光轴 称为辅轴AB y A B y ABC和 A B C相似 得 1 当求得一对共轭点的截距l和l 后 可求得通过该共轭点的一对共轭面上的垂轴放大率 仅和共轭面位置有关 根据 确定物体的成像特性 即像的正倒 虚实 放大缩小 当 1 为放大像 当 1 为缩小像 2 3 球面反射镜 在折射面的公式中 只要使n n 便可直接得到反射球面的相应公式 1 球面反射镜的物象位置公式 将n n代入 2 13 式 可得 14 3 球面反射镜的放大率公式 将n n代入下式 可得 15 2 轴向放大率指光轴上一对共轭点沿轴移动量之间的关系物点沿轴移动一微小量dl 相应的像移动dl 由 1 20 式微分得到 讨论 恒为正 当物点沿轴向移动时 像点沿轴同向移动 一般 即空间物体成像后要变形 如正方体 只有在dl很小时才适用 16 如果物点沿轴移动有限距离 如图所示 此距离显然可以用物点移动的始末两点A1和A2的截距差l2 l1来表示 相应于像点移动的距离应为l2 l1 17 对A1和A2点分别用 1 20 可得 移项整理得 即 其中 1和 2分别为物在A1和A2两点的垂轴放大率 3 角放大率 共轭光线与光轴夹角u 和u的比值 称为角放大率 4 三个放大率之间的关系 5 拉亥不变量J 在公式 y y nl n l中 利用公式 l l u u 此式称为拉格朗日 亥姆霍兹恒等式 简称拉亥公式 其表示为不变量形式 用J表示 简称拉亥不变量 J表征了这个光学系统的性能 即能以多高的物 多大孔径角的光线入射成像 J值大 表明系统能对物体成像的范围大 成像的孔径角大 传输光能多 同时 孔径角还与光学系统分辨微细结构的能力有关 所以J大的系统具有高的性能 三共轴球面系统 2 2球面光学成像系统 已知 1 各球面曲率半径r1 r2 rk 2 各表面顶点的间隔d1 d2 dk 1 3 折射率n1 n2 nk 1讨论经共轴球面系统成像的几个光路计算问题 21 1 由入射光线求出射光线对一个面的操作 过渡上面讨论的单个折 反射球面的光路计算及成像特性 对构成光学系统的每个球面都适用 只要找到相邻两个球面之间的光路关系 过渡公式 就可以解决整个光学系统的光路计算问题 并分析成像特性 22 单面公式 1 33 各面截距的过渡公式 1 34 公式 1 33 和 1 34 对近轴光适用 对远轴光也同样适用 23 光线在折射面上入射高度h的过渡公式 利用 1 33 式的第二式和 1 34 式的对应项相乘 1 35 1 35 2 共轴球面系统的拉亥公式 1 42 拉亥不变量J不仅对一个折射面的两个空间是不变量 而且对整个光学系统的每一个面的每一个空间都是不变量 J是光学系统的一个重要特征量 和单个折射球面的相同 J值越大 光学系统就具有更高的功能 25 3 成像放大率 总的放大率为各折射球面放大率的乘积例如照相机的变焦镜头通常是由四部分组成 前固定组 变倍组 补偿组和后固定组 变焦镜头的放大率就等于四部分放大率之积 三个放大率之间的关系与单个折射球面的完全一致 26 1 理想光学系统定义球面系统只有在近轴区范围时 才能够成完善像 J 实际使用的光学仪器把光学系统在近轴区成完善像的理论认为推广到任意大的空间 即任意宽的光束成完善像的光学系统称理想光学系统 2 3理想光学系统PerfectOpticalSystem 27 2 成像性质 点 共轭点 直线 共轭直线 平面 共轭面 主光轴上任一点的共轭点仍在主光轴上 任何垂直于主光轴的平面 其共轭面仍与主光轴垂直 对垂直于光轴的共轭平面 横向放大率为常量只有垂直于光轴的平面才具有物像相似的性质 一个共轴理想光学系统 如果已知两对共轭面的位置和放大率 或者一对共轭面的位置和放大率 以及轴上的两对共轭点的位置 则其他一切物点的像点都可以根据这些已知的共轭面和共轭点来表示 28 注意 理想光学系统是一种假设用作实际光学系统设计的初步计算 用它近似地表示实际光学系统所成像的位置和大小理想光学系统的像可作为衡量光学系统成像质量的标准把理想光学系统计算公式计算出来的像 称为实际光学系统的理想像 实际像与理想像的差别就是像差 29 2 4基点与基面 只要知道了两对共轭面的位置和放大率 或者一对共轭面的位置和放大率以及轴上两对共轭点的位置 则任意物点的像点就可以根据这些已知的共轭面和共轭点求得因此 该光学系统的成像性质就可以用这些已知的共轭面和共轭点来表示 称为共轴系统的基点和基面一般选择特殊的面和共轭点作为基面和基点 30 F 及F 面的性质平行于光轴入射的任一条光线 经系统出射后必通过F 点斜平行光束 经系统出射后 交于F 面上一点F及F面的性质过F点入射的任一光线 经系统后平行于光轴出射过F面上任一点发出的光线 经系统后为一斜平行光束出射注意 F和F 彼此之间不共轭 F面和F 面之间不共轭 一焦点和焦面 FocuslengthandPlanes 31 物 像方主面是一对 1的物像共轭面主平面的性质物空间任一条光线与物方主平面的交点为Q 则它的共轭出射光线和像方主平面交于Q 且Q与Q 距光轴同侧等高 焦距f f 的正负是以相应的主点为原点来确定的 二主点和主面 PrinciplePointsandPlanes 32 一个光学系统不管什么结构 只要知道了一对主点和一对焦点的位置 其物像关系特性也就确定了 不同的光学系统 只表现为这些基点的相对位置不同而已 它们构成了一个光学系统的基本模型 总是用一对主平面和两个焦点的位置来代表一个光学系统 单个折射球面球面镜薄透镜 为什么讨论基点与基面 33 可供选择的典型光线平行于光轴的光线过物方焦点的光线倾斜于光轴入射的平行光束自物方焦平面上一点共轭光线在主平面上的投射高度相等 2 5理想光学系统的物像关系ImageFormationofPerfectCoaxialSystem 34 1 轴外物点B或一垂轴线段AB的图解法求像过B点作两条入射光线 2 轴上点A发出的任意光线 认为是由无限远轴外物点发出的倾斜光束平行光束中的一条 认为光线是由物方焦平面上的点B发出的 一图解法求像 35 二解析法 1 牛顿公式以F F 为原点 M M 36 2 高斯公式以H H 为原点 代入牛顿公式 37 共轴球面系统的过渡公式 上节回顾 38 理想光学系统理想光学系统的基点与基面 例 实际光学系统的基点位置和焦距的计算 P19长60mm 折射率为1 5的玻璃棒 在其两端磨成曲率半径为10mm的凸球面 试球其焦距及基点位置 39 2 5理想光学系统的物像关系ImageFormationofPerfectCoaxialSystem 作图法轴外点B或者垂轴线段轴上点A发出的任意光线 H F H F B 例 H 在H前 H F H F A 40 H F B H F B A B B K K H H A F F 41 解析法1 牛顿公式 42 2 高斯公式以H H 为原点 代入牛顿公式 后面会看到 和单折射球面公式的联系 43 3 两焦距间的关系与拉赫公式 把x yf y x y f y代入上式得 44 近轴区 若n n 则f f 如空气中折射系统 若n n 则f f 如反射球面 若包括k个反射面 理想光学系统的拉赫公式 与薄透镜公式同 45 4 光束的会聚度与光焦度 光焦度等于像方光束会聚度与物方光束会聚度之差它表征光学系统偏折光线的能力 单位 屈光度 以米为单位的焦距的倒数 眼镜的度数 屈光度数 100 折合物距 折合像距 倒数 会聚度 VV 表示发散光束 表示会聚光束 折合焦距 倒数 光焦度 表起发散作用 表其会聚作用 回忆单个折射球面时讲述的光焦度 46 各种表面的光焦度 f 0 f 0 47 2 5理想光学系统的放大率 1 垂轴放大率Lateralmagnification2 Longitudinal 像与物沿轴移动量之比 与l l 有关 当l一定时 与y的大小无关 立体物像不再相似 48 3 Angular 像方与物方倾角的正切之比 角放大率只和物体的位置有关 而与孔径角无关在同一对共轭面上 任一对共轭光线与光轴的夹角正切之比恒为常数 49 讨论 依然成立三种放大率都与共轭面的位置有关 故对于同一光学系统来说 物 像 面位置的不同 对应的放大率是不同的n n时 对某一共轭面 只要给定任意一个放大率 其它两个放大率便随之确定 50 2 6节点Nodalpoints 1 定义系统光轴上角放大率为1的一对共轭点 51 2 性质 52 当处于同一种介质中时 节点和主点重合重合的该点同时具有主点和节点性质置于空气中的薄透镜有一条特殊光线 它通过光心不发生偏折 过物方节点入射的光线 从像方节点平行射出 53 3 应用 作图求像过节点J入射的光线 出射光线过J点 且与入射光线平行 利用节点性质测量系统的主点位置 作图求像过节点J入射的光线 出射光线过J点 光学系统绕J 左右摆动 J P 不动 像点不会左右移动 测量方法 一边摆动光学系统 同时连续改变转轴位置 并观察像点 当像点不动时 转轴的位置便是像方节点的位置 54 转机摄影 只能使小部分A1B1成像于底片上的A1 B1 物镜的转轴与J 不重合 物镜转动时A点的像将在A1 上移动 照片模糊 摄影方法 物镜绕J 转动 可把整个对象AB成像在底片A B 上 55 上节回顾 H 在H前 H F H F A 一 理想光学系统的物象关系1 作图法 平行于光轴的入射光线 过物方焦点的入射光线 倾斜于光轴入射的平行光束 自物方焦平面上一点发出的光线 共轭光线在主平面上的投射高度相等 过节点的共轭光线方向相同 56 2 解析法 3 两焦距间的关系与拉赫公式 57 二理想光学系统的放大率 1 垂轴放大率Lateralmagnification2 Longitudinal 像与物沿轴移动量之比 58 3 Angular 像方与物方倾角的正切之比 59 三节点 1 过物方节点入射的光线 从像方节点平行射出2 当处于同一种介质中时 节点和主点重合 60 测定焦距 用左图 可得到F 但f 必须用轴外平行光 61 焦距测定必须提供一定角度的平行光 平行光管在平行光管物镜的焦平面上设置一刻有几对已知间隔线条的分划板 用以产生平行光束 62 无限远物体的理想成像公式 无限远的轴外像点对应的物高 注意 当节点与主点不重合时不能直接使用公式 是否所有光学系统对无限远物体成像时 都适用呢 单折射球面 节点在球心 63 2 7理想光学系统的组合 一双光组组合问题 已知F1 F1 H1 H1 F2 F2 H2 H2 以及d 光学间隔 求总光组的F F H H 解决 图解组合 找出分光组与等效总光组之间的关系 求出f f 确定H H F F 的位置合成光组的像方参量xF xH lF lH 以F2 H2 为起始点合成光组的物方参量xF xH lF lH 以F1 H1为起始点 64 1 作图平行光轴入射的光线 出射光线与光轴的交点就是F 平行光轴的入射光线和出射光线的交点Q 一定位于象方主平面上2 求F F 的位置 65 3 求焦距 66 4 求主点 5 求组合放大率 对于两个光组组合的系统 其垂轴放大率亦可由物点对应于第一光组的物距x1直接求得 67 5 组合光焦度 当两个系统位于同一种介质中时 两个有一定焦距的系统组合 系统的总焦距或光焦度除与各自的光焦度有关外 还与间隔d及介质n有关 68 二多光组组合 为求组合系统的焦距 可以追迹一条投射高度为h的平行光轴的光线 关键是求出hk Uk 69 正切计算法 通常取tgu1 0 h1 f1 计算方便 70 2 8透镜 71 一 单个折射球面的主点和焦距 折射球面的两个主点H H 和球面顶点重合 H H 共轭 72 二单透镜的基点与基面 已知r1 r2 d nn1 1 n1 n2 n n2 1 73 由光组组合公式可得透镜的焦距 设 r 2 r2把上式写成光焦度的形式 74 75 讨论 不同类型透镜基点位置的讨论 76 可看成正透镜 平行平板 77 H H 位于透镜之外 78 79 实际应用中的透镜其厚度都是比较小的 80 三薄透镜 透镜厚度为零的透镜称为薄透镜 实际中d r或d f 81 作业 9 10 12 15 82 2 9矩阵运算在几何光学中的应用 一平移矩阵TranslationMatrix子午光线 与光轴同处一平面的光线对子午光线 光线的状态可用它与参考平面交点的坐标 和该光线与光轴的夹角来完全确定 0 z y Q RP1 y n 考虑介质折射率情况 设光线所在平面为yz平面 光轴为z轴 参考面为RP 则y和 就决定了光线在面RP中的位置 方向 83 光线由一个参考面射向另一个参考面 在后一个参考面上的坐标发生变化 可用平移矩阵 过渡矩阵 来表示 0 z y M Q n n n y y 定义 为平移矩阵 也可写为 传递矩阵表示出了光线在同一介质内直线传播时的关系 RP1 RP2 d 设光从M点传到Q点 84 二折射矩阵 RefractionMatrix n n y y A O D C U I I r 85 折射矩阵表征了光线在介质界面上的传输情况 折射矩阵 86 三系统矩阵Systemmatrix 设 A系统矩阵当已知系统的结构参数 r d n 即可求得矩阵元 他们是光学系统的r d n的常数 用这四个量可以表示光学系统的高斯光学性质 基点位置 焦距等 矩阵元即为系统的高斯常数 光线在光学系统中的传播 介质内的直线传播 界面上的折射如光在一个透镜的传播情况 87 则 对一光学系统而言 系统矩阵是所有折射矩阵和传递矩阵的连乘积 且按光线的变换次序 从右到左相乘 系统定 则系统矩阵A就定 88 89 四物象矩阵Object imageMatrix 物像矩阵 90 y 与 有关 但按理想成像的关系 y 应与 无关 S21 0 91 物象大小 垂轴放大率可由 S 直观知晓 S21 0 det S 1 92 五用高斯常数表示系统的基点位置和焦距1 主点 H H F F Ok O1 lH llH llF lF f f 93 2 焦点焦点的截距 焦点到球面顶点的距离 4 节点 3 焦距 94 六透镜系统的矩阵运算 1 Thicklens 设两球面的光焦度分别为P1 P2 而间距为d 透镜介质折射率为n2 95 带入上面几式 设n n 1 2 Thinlens 96 结论 平移矩阵 表示光线经过一段间隔 透镜厚度 透镜间间隔 物距和像距等 后在不同参考面上的交点坐标的变化