《线性代数》电子教程之一.ppt

1 线性代数 电子教案之一 2 第一讲 阶行列式的定义及其性质 主要内容 二 三阶行列式的定义 全排列及其逆序数 n阶行列式的定义及其性质 排列对换 n阶行列式的第二种定义 基本要求 会用对角线法则计算2阶和3阶行列式 知道n阶行列式的定义及其性质 3 一 二阶行列式的引入 第一节2阶和3阶行列式 用消元法解二元线性方程组 两式相减消去 得 4 方程组的解为 由方程组的四个系数确定 类似地 消去 得 当时 5 二 二阶行列式的定义 定义由四个数排成二行二列 横排称行 竖排称列 的数表 即 6 二阶行列式的计算 对角线法则 主对角线 副对角线 对于二元线性方程组 若记 系数行列式 7 8 9 10 则二元线性方程组的解为 注意分母都为原方程组的系数行列式 11 解 例1 12 三 三阶行列式的定义 定义 记 6 式称为数表 5 所确定的三阶行列式 13 三阶行列式的计算 对角线法则 注意红线上三元素的乘积冠以正号 黄线上三元素的乘积冠以负号 说明对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 14 利用三阶行列式求解三元线性方程组 如果三元线性方程组 的系数行列式 15 若记 或 16 记 即 17 18 得 19 得 20 则三元线性方程组的解为 21 例 解 按对角线法则 有 22 例3 解 方程左端 23 例4解线性方程组 解 由于方程组的系数行列式 24 同理可得 故方程组的解为 25 四 小结 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的 26 AboutDeterminant Adeterminantisanumberthatisassignedtoasquarearrayofnumberinacertainway Thisideawasconsideredasearlyas1683byTheJapanesemathematicianSekiTakakazuAndindependentlyin1693bytheGermanmathematicianGottfriedLeibniz about160yearsbeforeaseparatetheoryofmatricesdeveloped Formanyyears determinantsappearedmainlyindiscussionsofsystemsofLinearequations 27 一 有关概念 第二节全排列及其逆序数 引例 用1 2 3三个数字 可以组成多少个没有重复数字的三位数 解 123 1 2 3 百位 3种放法 十位 1 2 3 1 个位 1 2 3 2种放法 1种放法 种放法 共有 1 概念的引入 28 2 全排列及其逆序数 问题 定义 把个不同的元素排成一列 叫做这个元素的全排列 或排列 个不同的元素的所有排列的种数 通常用表示 由引例 同理 29 排列的逆序数 在一个排列中 若数 例如排列32514中 定义 我们规定各元素之间有一个标准次序 n个不同的自然数 规定由小到大为标准次序 32514 则称这两个数组成一个逆序 30 定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数 逆序数为零的排列称为标准排列 例如排列32514中 32514 故此排列的逆序数为3 1 0 1 0 5 逆序数为1 逆序数为3 3 排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列 31 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数 即算出排列中每个元素的逆序数 每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数 例1求排列32514的逆序数 解 在排列32514中 3排在首位 逆序数为0 2的前面比2大的数只有一个3 故逆序数为1 二 计算排列逆序数的方法 分别计算出排在前面比它大的数的个数 即分别算出这个元素的逆序数 这个元素的逆序数的总和即为所排列的逆序数 32 32514 于是排列32514的逆序数为 5的前面没有比5大的数 其逆序数为0 1的前面比1大的数有3个 故逆序数为3 4的前面比4大的数有1个 故逆序数为1 33 例2计算下列排列的逆序数 并讨论它们的奇偶性 解 此排列为偶排列 34 解 当时为偶排列 当时为奇排列 根据方法2 35 解 当为偶数时 排列为偶排列 当为奇数时 排列为奇排列 36 三 小结 3 计算排列的逆序数的方法有两种 1 个不同元素的所有排列种数 2 排列具有奇偶性 37 一 概念的引入 第三节阶行列式的定义和性质 三阶行列式 说明 1 三阶行列式共有项 即项 2 每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积 3 每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列 38 列标排列的逆序数为 偶排列 奇排列 例如 列标排列的逆序数为 39 二 阶行列式的定义 定义 40 第一定义式 41 说明 1 行列式是一种特定的算式 它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的 2 阶行列式是项的代数和 3 阶行列式的每项都是位于不同行 不同列个元素的乘积 4 一阶行列式不要与绝对值记号相混淆 5 的符号为 42 例题 例1计算对角行列式 分析 解 在阶行列式的定义中 行列式的元素记作 记号不仅代表一个数 还表明这个数在行列式中的位置 本例中是具体数 不能显示它们在行列式中的位置 因此 需要把数在行列式中的位置标示出来 从而得到乘积中各元素的列标排列为 43 即行列式中不为零的项为 所以只能等于 同理可得 从而这个项为零 展开式中项的一般形式是 44 例 证明对角行列式 45 证明 第一式是显然的 下面证第二式 若记 则依行列式定义 证毕 46 例 计算上三角行列式 分析根据行列式的定义 展开式中项的一般形式是 所以不为零的项只有 解 当时 此项等于零 因此 对于 当时 从而此项也等于零 因此 47 同理可得下三角行列式 48 例 49 三 行列式的第二种定义 1 对换 在排列中 将任意两个元素对调 其余元素不动 这种做出新排列的手续叫做对换 将相邻两个元素对换 叫做相邻对换 例如 对换 相邻对换 50 2 对换与排列的奇偶性的关系 定理1 一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性 推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数 证明 51 3 行列式的第二种定义 对于行列式展开式的任意一项 其中行标排列为自然排列 为列标排列 的逆序数 交换与的位置得 这时 这一项的值不变 而行标排列与列标排列同作了一次相应的对换 52 由于行标排列和列标排列都作了一次对换 因此它们逆序数之和的奇偶性没有改变 则和的奇偶性相同 从而 这表明 行列式的展开式中每一项前的符号由行标排列和列标排列的逆序数之和的奇偶性确定 当列标排列变为标准排列时 行标排列相应的变为一个新的排列 设为 其逆序数为 则 53 定理2 阶行列式也可定义为 第二种定义式 54 四 行列式的性质 记 性质1 行列式与它的转置行列式相等 说明 此性质表明 行列式中的行和列具有同等的地位 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 反之亦然 证明 55 性质2 互换行列式的两行 列 行列式变号 推论 如果行列式有两行 列 完全相同 则此行列式等于零 证明 性质3 证明 行列式的某一行 列 中所有的元素都乘以同一数 等于用数称此行列式 性质4 推论 行列式中如果有两行 列 元素成比例 则此行列式等于零 行列式中某一行 列 的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 举例 56 性质5 若行列式的某一行 列 的元素都是两数之和 例如第列的元素都是两数之和 则等于下列两个行列式之和 说明 此性质表明行列式可以按照某一行 列 分拆成两个行列式 57 性质6 把行列式的某一列 行 的各元素乘以同一数然后加到另一列 行 对应的元素上去 行列式的值不变 例如 以数k乘第1列加到第3列 58 五 小结 1 行列式是一种特定的算式 它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的 2 阶行列式共有项 每项都是位于不同行 不同列的个元素的乘积 正负号由下标排列的逆序数决定 3 行列式共有6条性质和两条推论 59 思考题 2 分别用两种方法求排列16352487的逆序数 1 求一个二次多项式 使 3 已知 60 思考题解答 61 2 解 用方法1 16352487 用方法2 由前向后求每个数的逆序数 62 3 解 含的项有两项 即 对应于 又 63 作业 P261 2 4 2 1 3 5 6 3 64 定理1的证明 先证相邻对换的情形 设排列为 变为 这些元素的逆序数经过对换并不改变 而两元素的逆序改变为 当时 经过对换后的逆序数增加1而的逆序数不变 当时 经过对换后的逆序数不变而的逆序数减少1 所以这两个排列的奇偶性不同 再证一般对换的情形 65 邻对换 变成 次相邻对换 变成 总之 次相邻