1.3.1利用导数判断函数的单调性.doc

1 3 1利用导数判断函数的单调性 教学目标 1 了解可导函数的单调性与其导数的关系 2 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区间 对多项式函数一般不超过三次 教学重点 利用导数研究函数的单调性 会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点 利用导数研究函数的单调性 会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程 一 创设情景 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型 研究函数时 了解函数的赠与减 增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的 通过研究函数的这些性质 我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解 下面 我们运用导数研究函数的性质 从中体会导数在研究函数中的作用 二 新课讲授 1 问题 图 1 它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像 图 2 表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像 运动员从起跳到最高点 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别 通过观察图像 我们可以发现 1 运动员从起点到最高点 离水面的高度随时间的增加而增加 即是增函数 相应地 2 从最高点到入水 运动员离水面的高度随时间的增加而减少 即是减函数 相应地 2 函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像 探讨函数的单调性与其导数正负的关系 如下图 导数表示函数在点处的切线的斜率 在处 切线是 左下右上 式的 这时 函数在附近单调递增 在处 切线是 左上右下 式的 这时 函数在附近单调递减 结论 函数的单调性与导数的关系 在某个区间内 如果 那么函数在这个区间内单调递增 如果 那么函数在这个区间内单调递减 说明 1 特别的 如果 那么函数在这个区间内是常函数 3 求解函数单调区间的步骤 1 确定函数的定义域 2 求导数 3 解不等式 解集在定义域内的部分为增区间 4 解不等式 解集在定义域内的部分为减区间 三 典例分析 例1 已知导函数的下列信息 当时 当 或时 当 或时 试画出函数图像的大致形状 解 当时 可知在此区间内单调递增 当 或时 可知在此区间内单调递减 当 或时 这两点比较特殊 我们把它称为 临界点 综上 函数图像的大致形状如图3 3 4所示 例2 判断下列函数的单调性 并求出单调区间 1 2 3 4 解 1 因为 所以 因此 在R上单调递增 如图3 3 5 1 所示 2 因为 所以 当 即时 函数单调递增 当 即时 函数单调递减 函数的图像如图3 3 5 2 所示 3 因为 所以 因此 函数在单调递减 如图3 3 5 3 所示 4 因为 所以 当 即 时 函数 当 即 时 函数 函数的图像如图3 3 5 4 所示 注 3 4 生练 例3 如下图 水以常速 即单位时间内注入水的体积相同 注入下面四种底面积相同的容器中 请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像 分析 以容器 2 为例 由于容器上细下粗 所以水以常速注入时 开始阶段高度增加得慢 以后高度增加得越来越快 反映在图像上 A 符合上述变化情况 同理可知其它三种容器的情况 解 思考 例3表明 通过函数图像 不仅可以看出函数的增减 还可以看出其变化的快慢 结合图像 你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗 一般的 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大 那么函数在这个范围内变化的快 这时 函数的图像就比较 陡峭 反之 函数的图像就 平缓 一些 例4 求证 函数在区间内是减函数 证明 因为 当即时 所以函数在区间内是减函数 说明 证明可导函数在内的单调性步骤 1 求导函数 2 判断在内的符号 3 做出结论 为增函数 为减函数 例5 已知函数 在区间上是增函数 求实数的取值范围 解 因为在区间上是增函数 所以对恒成立 即对恒成立 解之得 所以实数的取值范围为 说明 已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型 常利用导数与函数单调性关系 即 若函数单调递增 则 若函数单调递减 则 来求解 注意此时公式中的等号不能省略 否则漏解 例6 已知函数y x 试讨论出此函数的单调区间 解 y x 1 1 x 2 令 0 解得x 1或x 1 y x 的单调增区间是 1 和 1 令 0 解得 1 x 0或0 x 1 y x 的单调减区间是 1 0 和 0 1 四 课堂练习 求下列函数的单调区间 1