中考数学压轴题的竞赛数学背景溯源_陈润凯.pdf

收稿日期 作者简介 陈润凯 男 大学本科学历 职称 小学高级教师 中考数学压轴题的竞赛数学背景溯源 陈润凯 高志锋 杨随义 天水市麦积区伯阳中心学校 甘肃 天水 天水市麦积区麦积中心学校 甘肃 天水 天水师范学院 数学与统计学院 甘肃 天水 摘 要 通过对历年中考题的总结 分析了中考压轴题中的几大类型及其竞赛数学背景溯源 关键词 中考数学 压轴题 竞赛数学 中图分类号 近年来 竞赛数学的一些典型问题 知识 点与思想方法逐渐向中考渗透 使得中考数 学压轴题的命题呈现更加多元化发展的趋 势 竞赛数学作为较高层次要求的基础数学 其知识 思想方法 技巧等内容渗透到中考数 学压轴题之中 更强化了中考数学能力考查 的力度 近年来 全国各地的中考数学压轴题 有不少借鉴了竞赛题的内容 与竞赛题相结 合 结合后的特点是内容新颖 方法具有创造 性和研究性 竞赛数学背景的中考数学压轴 题逐渐成为中考数学命题的一个热点方向 因此 把握中考数学考试风向标 加强对竞赛 数学背景的相关中考压轴题的研究 分析和 思考 无论对学生还是教师在初中数学教与 学以及中考数学复习备考中都具有十分积极 的意义 下面就中考压轴题中的几大类型题 及其竞赛数学背景溯源进行分析 函数图像类问题 例 兰州市 年初中毕业生学业 考试数学试卷 如图 某公路隧道横截面为 抛物线 其最大高度为 米 底部宽度 为 米 现以 点为原点 所在直线为 轴建立直角坐标系 图 直 接 写 出 点 及抛物线顶点 的 坐标 求 这 条 抛 物 线的解析式 若 要 搭 建 一 个矩 形 支 撑 架 使 点在抛物线上 点在地 面 上 则这个 支撑架 总长的最大值是 多少 图 例 竞赛背景 原试题 年广东省 竞赛题 如图 所 示 在平面直角坐标系中 抛物线的顶点 到 轴的距离是 抛物线 与 轴相交于 两 点 矩形 的边 在线段 上 点 在抛物线上 写出 两点的坐标 并求出这条 抛物线的解析式 设矩形 的周长为 求 的最 大值 第 卷第 期 年 月 数学教学研究 点评 中考题将竞赛题赋予了公路隧道 的实际含义 加强了对数学建模的能力的考 查 再对数值做了稍许变动但试题框架未改 变 二者均是综合性较强 也是传统型的压轴 题 涉及了二次函数 四边形等大量初中数学 的重要知识 解这类问题要求学生牢固掌握 各个领域的数学知识 中考题改变了竞赛题 中问题的呈现方式 提供新材料 创设新情 景 进而 提出新问题 让学生转换角度 调 整思路 灵活处理变化了的新问题 三角形存在性问题 例 年江西市中考试题数学试 卷 如图 在等腰梯形 中 是 的中点 过点 作 交 于点 略 点 为线段 上的一个动点 过 作 交 于点 过 作 交折线 于点 连结 设 当点 在线段 上时 如图 的形状是否发生改变 若不变 求 出 的周长 若改变 请说明理由 当点 在线段 上时 如图 是 否存在点 使 为等腰三角形 若存 在 请求出所有满足要求的 的值 若不存 在 请说明理由 图 图 图 图 例 竞赛背景原 试题 年全国竞赛 黄冈预赛题 如图 在 直角梯形 中 两点的坐标 分别为 动点 分别从 两点出发 点 以每秒 个单位的速度沿 轴向终点 运 动 点 以每秒 个单位的速度沿 方向 运动 当点 停止运动时 点 也同时停止 运动 线段 和 相交于点 过点 作 轴 交 于点 射线 交 轴于 点 设动点 运动时间为 单位 秒 当 为何值时 四边形 是平 行四边形 的面积是否发生变化 若 变化 请求出 的面积 关于时间 的 函数关系式 若不变 请求出 的面积 随着 两点的运动 的 形状也随之发生了变化 试问何时会出现等 腰 点评 中考题是以 年全国竞赛黄 冈预赛题改编的 属于空间图形版块的综合 性试题 中考题 例 的 中的 与竞赛 题 例 同属运动型探究题 考查了等 腰梯形 平行四边形 三角形面积 点运动变 化后面积的变化等知识 同时 在解题过程中 渗透了数形结合的数学思想 而中考题的 中的 与竞赛题的 都是运动型分类 讨论题 考查了有关等腰梯形 直角三角形勾 股定理 等腰三角形等基础知识 在解题过程 中渗透了分类讨论的数学思想 通过运动变 换 将运动与静止有机结合起来 其中数学思 想是数学解题的灵魂 正确地分类讨论是学 生学习的难点 也是正确解题的关键 操作问题探究类 例 年济南市高中阶段招生考试 数学试卷 如图 有块直角三角形菜地分配给 张 王 李三家农户耕种 已知张 王 李三家人 口分别为 人 人 人 菜地分配办法是按人 口比例 并要求每户土地均有一部分紧靠水渠 点是三家合用肥料仓库 所以 点必须 是三家地的交界处 已知 中 米 数学教学研究 第 卷第 期 年 月 计算出每家应分配的菜地面积 用尺规在图中作出各家菜地的分界 线 保留作图痕迹 不写作法 标出各户 例 竞赛背景原试题 年北京 市迎春杯试题 如图 一块等腰直角三 角形土地 分配给甲 乙 丙三家耕种 已知 甲 乙 丙三家人口分别为 人 人和 人 土地分配办法为按人口比例 并要求每户土 地均有一部分紧靠斜边水渠 请在图中准确 画出分配办法 并标出户名 见图 图 图 图 点评 中考题是竞赛题改编而成 是操 作问题探究类的应用题 属于尺规作图版块 这是初中数学中基础的知识 操作问题探究 类题目一直是竞赛数学的热点 也越来越受 到中考试题的青睐 它改变了单纯依赖与模 仿的学习方式 有助于形成 动手实践 自主 探究与合作交流 的新的学习方式 本文通过对历年与竞赛数学背景相关的 部分典型中考数学压轴试题进进行分析 把 竞赛数学与中考数学的一些交汇热点问题进 行对应分类列举 解答分析 分别从竞赛数学 知识点构成层面与竞赛数学解题方法层面进 行溯源 从而对初中数学教学及中考复习备 考起到一定的参考 参考文献 孟祥赫 陈亮 中考数学压轴题常考的三类问 题 招生考试通讯 中考版 沈占立 陈小红 源于竞赛的中考数学题例说 理科考试研究 初中版 杨志英 黄恩瑞 关于竞赛与中考题型相互渗 透例析 待 续 中 学 理 科 初 中 数 理 化 杨志英 黄恩瑞 关于竞赛与中考题型相互渗 透例析 续 中学理科 初中数理化 左文俊 举例源于竞赛的中考几何题 中小 学数学 初中版 上接第 页 的数学对象的某些内涵 以及数学问题的呈 现形式 使数学内容的非本质特征时隐时现 而本质特征保持不变的教学形式 因此 变式练习是数学习题教学的一个重要方法 有利于揭示数学的本质 参考文献 林夏水 数学本质 认识论 数学观 数学 教育学报 韩建宏 例谈解题过程如何揭示数学的本质 数学教学 何小