中考数学最值问题解析_徐友勇.pdf

数学之友 年第期 中考数学最值问题解析 徐友勇 江苏省 泰 州市姜堰区溱潼第二中学 最值型问题广泛出现于近几年的中考试卷中点评 本题问构建 一 次函数的模型 结合自 这是由于这类问题具有很强的探索性 解题时需要 变量的取值范围利用了 一次函数的 单调性求最值 运用动态思维以及数形结合 特殊与 一般 逻辑推理例宿迁如图 在梯形 中 仙 与合情想象相结合等思想方法最值型应用问题贴 况 且仙 点队 近生活 贴近社会 有利于体现数学的人文价值和社 点 出发沿方向运动 过点作 交边 会价值有利于考查学生的分析 猜想 建模和综合 于点 将沿所在的直线折叠得到 应用等各方面的能力 直线 分别交仙于点 当过 最值 问题大都归于以下三类基本模型 点 时 点即停止运动设 与梯形 的重叠部分的面积为 函数模型 函数模型的应用是数学应用问题的主要类型之 从数学角度理解问题 分析问题 将实际问题抽 象成数学问题建立函数模型 再根据函数的性质 结 合自变量的取值范围从而求出最值 例 常州 某饮料厂以千克的 证明是等腰三角形 种果汁和千克的种果汁为原料 配制生产甲 当 过点时 如图求 的值 乙两种新型饮料 已知每千克甲种饮料含千克 将表示成 的函数并求 的最大值 种果汁 含千克种果汁 每千克乙种饮料含 证明如图 尸仙 乙 千克种果汁含千克种果汁 饮料厂计 划生产甲 乙两种新型饮料共千克 设该厂生产与关于对称 甲种饮料玖千克 列出满足题意的关于的不等式组 并求 出的取值范围 厶 是等腰三角形 已知该饮料厂的甲种饮料销售价是每 千 解 如图 作 丄 于点仏 克 元 乙种饮料销售价是每千克元 那么该饮 料厂生产甲 乙两种饮料各多少千克 才能使得这批 又 饮料销售总金额最大 四边形 是矩形 解 设该厂生产甲种饮料无千克 则生产乙种饮料幻千克 根据题意 在 中 由勾股定理得丨 幻 彡 由 得由 得 所以 尤 的取 丁 值范围是 忘 设这批饮料销售总金额为 如图 丁 太 根据题意 得 艮 当工 时 这批饮料销售 总 在 厶 中 金额最大 为元厶 数学之友 年第期 解 作关于 的对 称点込连接 交 卯 于 戶 连接 过 作 丄 在 于则此时 的值 由勾股定理得 力 最小 解得无 当孤过点 时欠 巧 解 当点在梯形内部或边上 时 由勾股定理得 当点 在边仙上时 由三角形耐公式得 欠 此时 尤彡 则当 时 最大值为 当点 在梯形外时 丄 丫 即 由勾股定理得 薦 入 由 知 在二遞中 由勾股定理得 即的最小值是故选 当 文 时最大值为 由于 点评 本题关键是求出点的位置 运用对称 从业 变换法求某些几何图形中的线段的和的最小值时 可釆用轴对称变换的方法将其中条线段变换进 点评 本题分情况讨论当点 不在梯形外 而把两条线段合并成 一条线段从而 求出最值 时和点在梯形之外两种情况求出 与 之间的函 例 武汉 如图 是正方形 数关系式 并 求出相应的自变量的取值范围 在自变 的边几 上两个动点 满足 连接交 量的取值范围内就可以求 出相应的最大值 再比较 于点 连接 交于点若正方形的边 长为 得出结论 则线段 长度的最小值是 几何模型 例 苏州 如 图 在平面直角坐标系中 的顶点在轴的 正半轴上顶点的坐标为 分析 根据正方形的性质可得 点的坐标为 了 点 为斜边 上 乙膽乙乙 然后利用 边角 的 一个动 点 则 的最小值为 边 证明全等 根据全等三角形对 应角相等可得乙 乙 利用 边角边 证明 和 全等 根据全等三角形对应角相等可得 数学之友 年第期 乙乙 从而得到 乙乙 然后 求出 乙細 取的中点 连接 好 根据直角三角形分析 通过数形结合 当从小于到等 于 斜边上的顿軒斜細半可得他 翻大于变化擁巾餓逐議 平 移 线段 长度从大变小再从小变大 因此线段 的长度 利用勾股定理列式求出 以 然后根据三角形的三边 有最小值当且当直线经过原点时 线段 关系可知当 丑三点共线时 的长度最小 的长度取最小值 故选 解 在正方形中 例连云港小明在 一次 数学兴趣小 组活动中 对 一个数学问题作如下探究 问题情境 如图 四边形仙 中 点 为抓边的中点连接 并延长交 的延长线 在 厘和 中 于点求证 四边形删 表示面积 乙 在和中 图图 问题迁移 如图在已知锐角乙内有 一个 定点过点任意作 一 条直线 分别交射线 于点 小明将直线绕着点旋转的过程中发现 的面积存在最小值 请问当直线在什么 取的中点 连接 位置时 的面积最小 并说明理由 则伽 解 问题情境 仙抓 在中 点 为 边的中点 在 和 中 根据三角形的三边关系 好 厶 当 三点共线时 册的长度最小 纖脚 最小值 二芯 故答案为 点评 本题综合运用了正方形的性质全等三角 即 边形 形的判定与性质 直角三角形斜边上的中线等于斜 问题迁移 求出当直线旋胃 边的 一半的 性质 三角形的三边关系 确定出 最 到点是如的中点时 最 小时点輯位置是解题关键 也是本题的难点 小 过点 的另条直 线丑 交 于点 设 合情推理型 过点作交 图 于 象思维最直接的层面是合情推理归纳 和类 自问题情境可以得出当 是 丽 的中点 时 比是常用的合情推理 数学结论 证明思路等的发 现 主要靠合情推理因此 我们不仅要学会证明 也 要学会猜想 四边形 厶 例 江