2013年高考数学预测新课标数学考点预测(19)几何证明选讲.pdf

20132013 年高考数学预测年高考数学预测新课标数学考点预测新课标数学考点预测 几何证明选讲几何证明选讲 一 考点介绍一 考点介绍一 考点介绍一 考点介绍 1 理解相似三角形的定义与性质 了解平行截割定理 2 会证以下定理 直角三角形射影定理 圆周角定理 圆的切线判定定理与 性质定理 相交弦定理 圆内接四边形的性质定理与判定定理 切割线定理 二 高考真题二 高考真题二 高考真题二 高考真题 2007200720072007 广东卷理广东卷理广东卷理广东卷理 14 14 14 14 如图 1 所示 圆O的直径6AB C为圆周上一点 3BC 过C作圆的切线l 过A作l的垂线AD AD分别与直线l 圆交于点 DE 则DAC 线段AE的长为 解析解析 如右图所示如右图所示 因为因为 OCl AD l 所以AD OC 由3BC 知 OBC为等边三角形 60 0 B 则 30 0 CAB 所以 30 0 ACO 进而 30 0 DAC 60 0 EAO 连接OE 于是 OAE为等边三 角形 故AE 3 答案答案 30 0 DAC AE 3 2 2007200720072007 海南海南海南海南 宁夏卷理宁夏卷理宁夏卷理宁夏卷理 22222222 如图 已知AP是 O 的切线 P为切点 AC是 O 的 割线 与 O 交于BC 两点 圆心O在PAC 的内部 点M是BC的中点 证明APOM 四点共圆 求OAMAPM 的大小 解析解析 证明 连结OPOM 因为AP与 O 相切于点P 所以OPAP 因为M是 O 的弦BC的中点 所以OMBC 于是180OPAOMA 由圆心O在PAC 的内部 可知四边形APOM的对角互补 所以APOM 四点共圆 解 由 得APOM 四点共圆 所以OAMOPM 由 得OPAP 图 1 AB C D E O l A P O M C B 由圆心O在PAC 的内部 可知90OPMAPM 所以90OAMAPM 答案答案 90OAMAPM 3 3 3 3 2008200820082008 广东卷理广东卷理广东卷理广东卷理 15 15 15 15 已知PA是圆O的切线 切点为A 2PA AC是圆O的直径 PC与圆O交于点B 1PB 则圆O的半径 R 解析解析 依题意 我们知道 PBA PAC 由相似三角形的性质我们有 2 PAPB RAB 即 22 221 3 22 1 PA AB R PB 答案答案 3 R 4 4 4 4 2008200820082008 海南 宁夏卷理海南 宁夏卷理海南 宁夏卷理海南 宁夏卷理 22222222 如图 过圆O外一点M作它的一条切线 切点为A 过A点作直线AP垂直直线OM 垂足为P 证明 OA OPOM 2 N为线段AP上一点 直线NB垂直直线ON 且交圆O于B点 过B点的切线交 直线ON于K 证明 90OKM 解析解析 证明 因为MA是圆O的切线 所以OAAM 又因为APOM 在RtOAM 中 由射影定理知 OA OPOM 2 证明 因为BK是圆O的切线 BNOK 同 有OKON OB 2 又OBOA 所以OKONOMOP 即 ONOM OPOK 又NOPMOK 所以ONPOMK 故90OKMOPN 5 5 5 5 2008200820082008 江苏卷理江苏卷理江苏卷理江苏卷理21 21 21 21 如图 设 ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E BAC的平分线与BC交于点D 求证 ECEB ED 2 解析解析 如图 因为AE是圆的切线 A P O M C B BCED A 所以 ABCCAE 又因为AD是BAC 的平分线 所以BADCAD 从而ABCBADCAECAD 因为ADEABCBAD DAECADCAE 所以ADEDAE 故EAED 因为EA是圆的切线 所以由切割线定理知 2 EAEC EB 而EAED 所以ECEB ED 2 三 名校试题三 名校试题 考点一 考点一 考点一 考点一 相似三角形的定义与性质及相似三角形的定义与性质及圆的切线判定定理与性质定理圆的切线判定定理与性质定理 1 2008200820082008年江苏省盐城中学高三上学期第二次调研测试题年江苏省盐城中学高三上学期第二次调研测试题年江苏省盐城中学高三上学期第二次调研测试题年江苏省盐城中学高三上学期第二次调研测试题 如图 已知 C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点 CH AB 于点 H 直线 AC 与过 B 点的 切线相交于点 D E 为 CH 中点 连接 AE 并延长交 BD 于点 F 直线 CF 交直线 AB 于点 G 求证 F 是 BD 的中点 求证 CG 是 O 的切线 解析 解析 证 CH AB DB AB AEH AFB ACE ADF FD CE AF AE BF EH HE EC BF FD F 是 BD 中点 AB 是直径 ACB 90 BCF CBF 90 CBA CAB ACO OCF 90 CG 是 O 的切线 说明 也可证明 OCF OBF 从略 仿上述评分标 准给分 考点二 考点二 考点二 考点二 切割线定理切割线定理 2 2 2 2 2008200820082008 年年年年南通四县市高三联合考试南通四县市高三联合考试南通四县市高三联合考试南通四县市高三联合考试 已知 如图 O与 P相交于A B两点 点P在 O上 O的弦BC切 P于点B CP及其延长线交 P于D E两点 过点E作EF CE交CB延长线于点F 若CD 2 CB 22 求EF的长 解析 解析 连PB BC切 P于点B PB BC CD 2 CB 22 由切割线定理得 CB2 CD CE CE 4 DE 2 BP 1 又 EF CE CPB CFE 得 EFCE PBCB EF 2 B A C D O P E F 考点三 考点三 考点三 考点三 圆内接四边形的性质定理与判定定理圆内接四边形的性质定理与判定定理 3 20083 20083 20083 2008 年年年年南师附中南师附中高考数学模拟试卷 最后一卷 高考数学模拟试卷 最后一卷 高考数学模拟试卷 最后一卷 高考数学模拟试卷 最后一卷 如图 已知AD是 ABC的外角 EAC的平分线 交BC的延长线于点D 延长DA交 ABC 的外接圆于点F 连结FB FC 1 求证 FB FC 2 求证 FB2 FA FD 3 若AB是 ABC外接圆的直径 EAC 120 BC 6cm 求AD的长 解析 解析 1 AD平分 EAC EAD DAC 四边形AFBC内接于圆 DAC FBC EAD FAB FCB FBC FCB FB FC 2 FAB FCB FBC AFB BFD FBA FDB FBFA FDFB FB2 FA FD 3 AB是圆的直径 ACB 90 EAC 120 DAC 2 1 EAC 60 BAC 60 D 30 BC 6 AC 32 AD 2AC 4 3cm 考点四 考点四 考点四 考点四 相交弦定理相交弦定理相交弦定理相交弦定理 4 如图 PA 与圆 O 相切于 A PCB 为圆 O 的割线 并且不过圆心 O 已知 BPA 0 30 PA 2 3 PC 1 则圆 O 的半径等于 解析 解析 由圆的性质 PA 2 PC PB 得 PB 12 连接 OA 并反向延长 交圆于点 E 在直角三角形 APD 中可以求得 PD 4 DA 2 故 CD 3 DB 8 J 记圆的半径为 R 由于 ED DA CD DB 因此 R 2 3 8 解得 R 7 四 考点预测四 考点预测四 考点预测四 考点预测 高考对这部分知识的考查主要考查相似三角形的性质 圆的切线判定定理与性质定理 以及切割线定理 题型仍以填空题或解答题形式出现 1 已知 C 点在圆 O 直径 BE 的延长线上 CA 切圆 O 于 A 点 DC 是 ACB 的平分线交 AE 于 点 F 交 AB 于 D 点 1 求ADF 的度数 2 若 AB AC 求 AC BC 解析 解析 1 AC 为圆 O 的切线 EACB 又知 DC 是ACB 的平分线 F E DCB A O O A A B BC C D D E E F F A E O B P CD D O A B M N D C DCBACD ACDEACDCBB 即AFDADF 又因为 BE 为圆 O 的直径 90DAE 45 180 2 1 DAEADF 2 EACB ACBACB ACE ABC AB AE BC AC 又 AB AC 30ACBB 在RT ABE中 3 3 30tantan B AB AE BC AC 2 如图 AD是 O的直径 AB是 O的切线 直线BMN交AD的延长线于点C BM NC AB 2 求BC 的长度和 O的半径 解析 解析 AD 是 O的直径 AB是 O的切线 直线BMN是 O的割线 90 BAC BNBMAB 2 233 2 42 2 2 BMBCBMBMABNCMNBM 222 BCACAB 184 2 AC 14 AC 14 7 2 14222 CDCDCACDCMCN O的半径为14 14 5 2 1 CDCA 3 江苏省 2008 年百所高中样本分析考试数学试题 已知 如图 ABC 中 AB AC BAC 90 AE 3 1 AC BD 3 1 AB 点 F 在 BC 上 且 CF 3 1 BC 求证 1 EF BC 2 ADE EBC 解析 解析 设 AB AC 3a 则 AE BD a CF 2a 1 3 2 3 2 3 2 23 2 a a CA CF a a CB CE 又 C 公共 故 BAC EFC 由 BAC 90 EFC 90 EF BC 2 由 1 得 2 2 22 2 2 2 2 2 a a BF AD a a EF AE aEF故 BF AD EF AE DAE BFE 90 ADE FBE ADE EBC 4 4 2008200820082008 届届届届苏北三市高三年级第一次联合调研苏北三市高三年级第一次联合调研苏北三市高三年级第一次联合调研苏北三市高三年级第一次联合调研 如图 O 的半径OB垂直于直径AC M为AO上一点 BM的延长线交 O 于N 过N点的切线交CA的延长线于P 1 求证 2 PMPA PC 2 若 O 的半径为32 OMOA3 求MN的长 A M O B P N C 解析 解析 1 连接ON 因为PN切 O 于N 所以90ONP 所以90ONBBNP 因为OB ON 所以ONBOBN 因为ACOB 于O 所以90OBNBMO 故PMNBMOBNP PNPM 所以 22 PMPNPA PC 2 2 2 3 4 OMBOBM 因为 2 322 328BM MNCM MA 所以2 MN 5 5 5 5 江苏省泰兴市江苏省泰兴市2007200720072007 2008200820082008学年第一学期高三调研学年第一学期高三调研 如图所示 已知PA与 O相切 A为切 点 PBC为割线 弦CD AP AD BC相交于E点 F为CE上一点 且DE2 EF EC 1 求证 P EDF 2 求证 CE EB EF EP 3 若 CE BE 3 2 DE 6 EF 4 求 PA的长 解析 解析 1 DE2 EF EC DE CE EF ED DEF 是公共角 DEF CED EDF C CD AP C P P EDF 2 P EDF DEF PEA DEF PEA DE PE EF EA 即 EF EP DE EA 弦 AD BC 相交于点 E DE EA CE EB CE EB EF EP 3 DE2 EF EC DE 6 EF 4 EC 9 CE BE 3 2 BE 6 CE EB EF EP 9 6 4 EP 解得 EP 2 27 PB PE BE 2 15 PC PE EC 2 45 由切割线定理 得 PA2 PB PC PA2 2 15 2 45 PA 3 2 15 6 如图 已知 O 的直径 AB 垂直于弦 CD 于 E 连结 AD BD OC OD 且 OD 5 1 若sin BAD 3 5 求 CD 的长 2 若 ADO EDO 4 1 求扇形 OAC 阴影部分 的面积 结果保留 P E O D C B A F 6 1 因为AB是 O 的直径 OD 5 所以 ADB 90 AB 10 在 Rt ABD中 AB BD BAD sin 又sin BAD 3 5 所以 BD 10 3 5 所以BD 6 ADABBD 2222 1068 因为 ADB 90 A