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第二章平面向量 2 5 1平面几何中的向量方法 第一课时 韶关市田家炳中学谭珊 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景 平面几何图形的许多性质 如平行 平移 长度 全等 相似 夹角 垂直等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来 因此 可用向量方法解决平面几何中的一些问题 本节课我们通过几个具体实例 说明向量方法在平面几何中的运用 如图 若正方形OABC的边长为1 点D E分别为AB BC的中点 则 分析 解法一 选取一组基底 利用向量的运算求夹角 牛刀小试 A B C O 解 以O为坐标原点 以OA OC所在的直线为坐标轴建立如图所示的直角坐标系 分析 解法二 建立坐标系 利用向量的坐标运算求夹角 E D 若正方形OABC的边长为1 点D E分别为AB BC的中点 则 牛刀小试 用向量的基底法解决平面几何问题的基本思路 方法总结 基底不唯一 关键不共线 用向量的坐标法解决平面几何问题的基本思路 例1 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型 如图 你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗 猜想 类比矩形对角线的长度与两条邻边长度之间关系 猜想平行四边形有相似关系吗 A D C B 问题探究 动画演示 分析 不妨设 则 A D C B 解 平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍 或者平行四边形两条对角线的平方和等于四条边平方的和 你能借助图形用数学语言描述这个等式吗 A D C B 坐标法 a 0 b c 思考 此题还有其他解法吗 a b c 解析 以AB所在直线为x轴 A为坐标原点建立直角坐标系 设B a 0 D b c 则C a b c 建立平面几何与向量的联系 用向量表示问题中涉及的几何元素 将平面几何问题转化为向量问题 通过向量运算 研究几何元素之间的关系 如距离 夹角等问题 把运算结果 翻译 成几何关系 转化 翻译 用向量方法解决平面几何问题的 三步曲 归纳总结 形到向量 向量的运算 向量和数到形 学以致用 练习1 E 学以致用 练习2 本节课你的收获是什么 学到了哪些知识 数学思想 方程思想 数形结合的思想 转化和化归的思想 数学方法 基底法 坐标法 课堂小结 用向量方法解决平面几何问题的 三步曲 形到向量 向量的运算 向量和数到形 布置作业 必做题 1 必修4P120B组T4改编 如图 在梯形ABCD中 AB DC AB 3 AD DC 2 M是DC的中点 则 2 如图 AB是半圆O的直径 P是上的点 M N是直径AB上关于O对称的两点 且AB 6 MN 4 则 3 已知在Rt ABC中 C 90 设AC m BC n 若D为斜边AB的中点 求证 CD AB 若E为CD的中点 连接AE并延长交BC于F 求AF的长度 用m n表示 选做题 在等腰 ABC中 D E分别是两条腰AB AC的中点 若CD BE 你认为 A的大小是否为定值 思考题
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