微分方程模型和应用.ppt

微分方程模型应用和计算 华南理工大学理学院刘深泉教授 典型微分方程模型 Malthus人口模型Logistic模型新产品推广模型物种竞争模型正规战 游击战模型Lotka VolterraModels海洋种群生态学相互作用和变化问题 世界人口增长概况 中国人口增长概况 年代186018701880 1960197019801990人口31 438 650 2 179 3204 0226 5251 4 美国人口的增长概况 马尔萨斯 Malthus 指数人口模型 假设人口增长率r是常数 特点 种群数量翻一番的时间固定 Logisitic模型 模型检验Logistic模型效果如何呢 1945年克朗皮克 Crombic 人工饲养小谷虫的实验 数学生物学家高斯 E F Gauss 做原生物草履虫实验 都和Logistic曲线吻合 Logistic模型描述种群增长高斯把5只草履虫放进盛有0 5cm3营养液的小试管 开始时草履虫以每天230 9 的速率增长 此后增长速度不断减慢 到第五天达到最大量375个 实验数据与r 2 309 a 0 006157 N 0 5的Logistic曲线 TheLogisticModel whereKiscapacity InGeneralSituation ApplicationofLogisticmodelmodelingpopulationgrowthmodelingofgrowthoftumorsInchemistry reactionmodelsInphysics FermidistributionInlinguistics languagechangeDoublelogisticfunction MalthusandLogistic模型 Malthus模型和Logistic模型 前一模型假设了种群增长率r为一常数 后一模型则引入了一个竞争项 Logistic模型的应用推广 新产品的推广模型 需求量上界K 销售数量x t 未使用人数K x t 统计筹算律 记比例系数为k 则x t 满足 此方程Logistic模型 解为 Logistic模型示例 新技术的传播和商业品牌的S形传播谣言或网络信息的传播 选举应用计算机病毒或传染病的扩散模型城市房地产价格的logistic曲线细胞分泌胰蛋白酶原和污染浓度扩散公司财务危机的Logistic回归模型自治系统和非自治系统 Predator preymodel Predator preymodelsareargublythebuildingblocksofthebio andecosystemsasbiomassesaregrownoutoftheirresourcemasses Speciescompete evolveanddispersesimplyforthepurposeofseekingresourcestosustaintheirstrugglefortheirveryexistence Dependingontheirspecificsettingsofapplications theycantaketheformsofresource consumer plant herbivore parasite host tumorcells virus immunesystem susceptible infectiousinteractions etc Theydealwiththegeneralloss wininteractionsandhencemayhaveapplicationsoutsideofecosystems Whenseeminglycompetitiveinteractionsarecarefullyexamined theyareofteninfactsomeformsofpredator preyinteractionindisguise Typesofpredators Carnivores食肉动物 killthepreyduringattackHerbivores食草动物 removepartsofmanyprey rarelylethal Parasites寄生生物 consumepartsofoneorfewprey rarelylethal Parasitoids拟寄生类 killonepreyduringprolongedattack Predator preyModel x amountofprey y amountofpredatordx dt xg x yp x dy dt y s cp x g x isagrowthfunction g x monotonicnon increasing p x ispredationfunctionp x monotonicincreasing Lotka VolterraModels Simplestmodelofpredator prey Lotka VolterraLotkaandVolterraindependentlyproposeapairofdifferentialequationsthatmodeltherelationshipbetweenasinglepredatorandasinglepreyinagivenenvironment VariableandParameterdefinitionsx preyspeciespopulationy predatorspeciespopulationr IntrinsicrateofpreypopulationIncreasea Predationcoefficientb Reproductionrateper1preyeatenc Predatormortalityrate Ratio DependentPredator PreyModel Parameter VariableDefinitionsx preypopulationy predatorpopulationa capturerateofpreyd naturaldeathrateofpredatorb predatorconversionrate Preygrowthterm Predationterm Predatordeathterm Predatorgrowthterm 两种群竞争模型 Lotka Volterra模型应用 竞争结局有三种结果 1 种1胜而种2被排除 2 种2胜而种1被排除 3 两种共存 植物与食植动物的食物链模型 其中 V为植物密度 H为食草动物密度 r1 植物内禀增长率 K 未放牧时植物最大密度 d1 在植被稀少时 动物的牧食效率 寻觅效率 a 当草场被啃平时 动物的下降率 C1 每头食草动物最大取食率 C2 当草地高密度时对动物下降状况的改善率 d2 在植被变稀时的动物繁殖能力 意识 动物 植物 地球 环境 社会 Lotka Volterra 正规战与游击战 战争建模的格式正规战争 正规部队与正规部队作战2 游击战争 游击队与游击队作战3 混合战争 正规部队与游击部队作战 求微分方程的数值解 1 常微分方程数值解的定义 2 建立数值解法的一些途径 3 用Matlab软件求常微分方程的数值解 返回 输入命令 x y z dsolve Dx 2 x 3 y 3 z Dy 4 x 5 y 3 z Dz 4 x 4 y 2 z t x simple x 将x化简y simple y z simple z 结果 x c1 c2 c3 c2e 3t c3e 3t e2ty c1e 4t c2e 4t c2e 3t c3e 3t c1 c2 c3 e2tz c1e 4t c2e 4t c1 c2 c3 e2t 用Matlab软件求常微分方程的数值解 t x solver f ts x0 options 解 令y1 x y2 y1 1 建立m 文件vdp1000 m如下 functiondy vdp1000 t y dy zeros 2 1 dy 1 y 2 dy 2 1000 1 y 1 2 y 2 y 1 2 取t0 0 tf 3000 输入命令 T Y ode15s vdp1000 03000 20 plot T Y 1 3 结果如图 ToMatlab ff4 解1 建立m 文件rigid m如下 functiondy rigid t y dy zeros 3 1 dy 1 y 2 y 3 dy 2 y 1 y 3 dy 3 0 51 y 1 y 2 2 取t0 0 tf 12 输入命令 T Y ode45 rigid 012 011 plot T Y 1 T Y 2 T Y 3 3 结果如图 ToMatlab ff5 图中 y1的图形为实线 y2的图形为 线 y3的图形为 线 返回 地中海鲨鱼问题 鱼类种群相互制约关系 第一次世界大战1914年 1918年 地中海各港口几种鱼类捕获量的资料 发现鲨鱼等的比例有明显增 而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降 战争使捕鱼量下降 食用鱼增加 鲨鱼等也随之增加 但为何鲨鱼的比例大幅增加呢 意大利数学家V Volterra建立一个食饵 捕食系统的数学模型 定量地回答这个问题 模型反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之间的制约 没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞作用 是Volterra提出的最简单的模型 首先 建立m 文件shier m如下 functiondx shier t x dx zeros 2 1 dx 1 x 1 1 0 1 x 2 dx 2 x 2 0 5 0 02 x 1 其次 建立主程序shark m如下 t x ode45 shier 015 252 plot t x 1 t x 2 plot x 1 x 2 ToMatlab shark 求解结果 左图反映了x1 t 与x2 t 的关系 可以猜测 x1 t 与x2 t 都是周期函数 考虑人工捕获 设表示捕获能力的系数为e 相当于食饵的自然增长率由r1降为r1 e 捕食者的死亡率由r2增为r2 e 设战前捕获能力系数e 0 3 战争中降为e 0 1 则战前与战争中的模型分别为 模型求解 1 分别用m 文件shier1 m和shier2 m定义上述两个方程 2 建立主程序shark1 m 求解两个方程 并画出两种情况下鲨鱼数在鱼类总数中所占比例x2 t x1 t x2 t ToMatlab shark1 实线为战前的鲨鱼比例 线为战争中的鲨鱼比例 结论 战争中鲨鱼的比例比战前高 种群生态学CreatingFoodSystems 3 Levelsystempredator preyLotka VolterraEcosystemmodelingwith3 levelsystemthatdescribesaplanktonicmarineecosystem FranksandChencoupledaNutrient Phytoplankton Zooplankton NPZ modelintoaprimitiveequationmodelandappliedittoexaminethesummertimeplanktondynamicsonGB Thatwasthefirstmodelingefforttostudythebiologicalprocessunderthe realistic physicalenvironmentintheGoM GBregion 2009ICMChinauniversityofminingandtechnology ImprovedAlgaspicesmodel Spicesofpopulation2 Spicesofpopulation3 Modelof3 Populations AnalyticalHierarchyProcess DevelopacommercialpolyculturetoremediateBolinao Acommercialpolyculturescheme BIOGEOCHEMISTRY BIODIVERSITY TerraIncognita Inunderstandingliestheroadtoprediction e g ifwewanttounderstandthebiogeochemicalcyclingofcarbon orotherelementalcycling weneedtoknowotherhalfofecosystemequation GrandChallenge UnderstandingthisVariety WhatDeterminesSpeciesDiversity HowWillBigPicturesEmergeFromaSeaofBiologicalData Science Vol309 1July2005 Twoof