概率论与数理统计课本_百度文库.doc

第二章 随机变量及其分布 第一节 随机变量及其分布函数一、随机变量随机试验的结果是事件，就“事件”这一概念而言，它是定性的。要定量地研究随机现象，事件的数量化是一个基本前提。很自然的想法是，既然试验的所有可能的结果是知道的，我们就可以对每一个结果赋予一个相应的值，在结果(本事件)数值之间建立起一定的对应关系，从而对一个随机试验进行定量的描述。例2-1 将一枚硬币掷一次，观察出现正面H、反面T的情况。这一试验 有两个结果：“出现H”或“出现T”。为了便于研究，我们将每一个结果用一个实数来代表。比如，用数“1”代表“出现H”，用数“0”代表“出现T”。这样，当我们讨论试验结果时，就可以简单地说成结果是1或0。建立这种数量化的关系，实际上就相当于引入一个变量X，对于试验的两个结果，将X的值分别规定为1或0。如果与样本空间W=w=H,T联系起来，那么，对于样本空间的不同元素，变量X可以取不同的值。因此，X是定义在样本空间上的函数，具体地说是1,当w=HX=X(w)=0,当w=T由于试验结果的出现是随机的，因而X()的取值也是随机的，为此我们称X(w)X()为随 机变量。例2-2 在一批灯泡中任意取一只，测试它的寿命。这一试验的结果（寿命）本身就是用数值描述的。我们以X记灯泡的寿命，它的取值由试验的结果所确定，随着试 验结果的不同而取不同的值，X是定义在样本空间W=t|t0上的函数X=X(t)=t,tW因此X也是一个随机变量。一般地有定义2-1 设W为一个随机试验的样本空间，如果对于W中的每一个元素w，都有一个实数X(w)与之相对应，则称X为随机变量。一旦定义了随机变量X后，就可以用它来描述事件。通常，对于任意实数集合L,X在L上的取值，记为XL，它表示事件w|X(w)L，即XL=w|X(w)L。例2-3 将一枚硬币掷三次，观察出现正、反面的情况。设X为“正面出现”的次数，则X是一个随机变量。显然，X的取值为0，1，2，3。X的取值与样本点之间的对应关系如表2-1所示。表2-1表2-1从上表中可以看出，事件X0TTT，X1HTT，THT，TTH，X2HHT，HTH，THH，X3HHH，由古典概型的概率计算公式得PX=0=1/8,PX=0=1/8,PX=1=3/8,PX=3=1/8。例2-4 设一袋中共有4个白球5个黑球，随机地摸出4球，用X表示摸出的 4球中“白球的数目”，则X是一个随机变量。显然X的取值为0，1，2，3，4，而且X3表示摸出的4球中“最多有3个白球”的事件，X31表示摸出的4球中“白球数大于3”的事件，此时当然有X3=X=4。因此有PX3=1-PX3=1-PX=4404= 1C4C5/C9125/126。由此可见，在随机试验中引入随机变量，对随机事件的研究就可以转化为对随机变量的研究 。随机变量在试验前只能知道它的取值范围，但不能预言它取什么值，它随试验结果的不同 而取不同的值；随机变量取某些值或某一区间都表示随机事件，因而具有确定的概率。二、分布函数设X是一个随机变量，对于任一实数X，相应事件“Xx”的概率PXx是存在的。只要给出PXx的值，就可以由此计算出X在任意区间(a,b)的概率PaXb。这是 因为事件aXb=Xb-Xa而且 XaXb（2-1） 由概率的性质知 PaXb=PXb-PXa的分布函数的概念。定义2-2 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 由此可见，概率PXx成为计算任何我们感兴趣的概率的基础。为此我们引入随机变量F(x)=PXx,称为随机变量X的分布函数。由上述定义及（2-1）式立即得到 (-x+) （2-2）PaXb=F(b)-F(a)特别需要强调的是，分布函数的概念看起来很抽象，实际上它却有明确的概率意义。分 布函数F(x)是一种概率：对于任一实数x,Xx是一个随机事件，而分布函数F(x)正是这一事件的概率。换言之，F(x)表示X落入区间(-,x这一事件的概率。分布在函数F(x)具有以下性质：（1）单调性：当ab，则F(a)F(b)；（2）有界性： 0F(x)1；（3）F(-)=limF(x)=0,F(+)=limF(x)=1; x-x+（4）F(x+0)=F(x)，即F(x)是右连续的。0 X x图2-1性质（1）与性质（2）显然成立，性质（4）的证明从略，性质（3）我们不作严格证明，只从几何上加以说明。在图2-1中，若将区间(-,x的端点x沿数轴无限向左移动（即x-）时，则“随机变量X落入在x左边”这一事件趋于不可能事件，从而其概率趋于0，即F(-)=0；又若将区间(-,x的端点x沿数轴无限向右移动（即x+），则“随机变量X落入在x左边”这一事件趋于必然事件，从而其概率趋于1，即F(+)=1。有了分布函数，关于随机变量X的许多概率都能方便算出。比如PX=a=F(a)-F(a-0)PXa=1-F(a)PXa=1-F(a-0)综上所述，分布函数是一种分析性质良好的函数，便于处理，而且给定了分布函数就能 算出各种事件的概率。因此引进分布函数使许多概率问题得于简化并且归结为函数的计算， 这样就能利用数学分析的许多结果，这是引进随机变量的好处之一。第二节 离散型随机变量随机变量按其取值情况分为两种类型：如果随机变量所有可能的取值为有限个或 可列多个，则称它为离散型随机变量；否则称它为非离散型随机变量。在非离散型随机变量中最常见是连续型随机变量。一、分布律研究随机变量的变化规律，不仅要知道它所有可能的取值，更重要的是掌握它取每个值的概率。例如，若随机变量X为某射手打靶命中的环数，X的所有可能取值为0，1，2，10。可是任何一个射手都可能取得这些值，如果我们还知道命中各环的概率p0,p1,p2, ,p10，那么就能全面地了解该射手的射击水平。一般地我们有定义2-3 设离散型随机变量X所有可能的取值为x1,x2, ，而且X取各值的概率为pX=xi=pi,则称（2-4）式为X的分布律或概率分布。分布律也可以用表格的形式表示如下：i=1,2, （2-4）由概率的基本性质知道，任一个离散型随机变量X的分布律具有下列基本性质：（1）非负性：Pk0,k=1,2,(2)规范性：pk=1k=1另外，由定义2-2可知，离散型随机变量X的分布函数F(x)=PXx=xkxP(X=xk)（2.5）例2-5 将一枚硬币掷三次，设X为正面出现的次数，求X的分布律 及其分布函数 解 由于X的取值为0，1，2，3，因此X为一个离散随机变量。由例2-3知 X的分布律为显然，X的分布满足分布律的两个基本性质。 由（2-5）式得X的分布函数0,1/8,F(x)=1/8+3/8+3/8,1/8+3/8+3/8,1/8+3/8+3/8+1/8,即x00x11x2 2x3x30,1/8,F(x)=4/8,7/8,1,x00x11x2 2x3x3图2-2从图形2-2可以看出，函数F(x)是一个单调、有界、右连续的跳跃函数，x=0,1,2,3为函数的跳跃点，其跃度为随机变量X取该点值的概率。例2-6 一战士连续地向一目标射击，每次射中目标的概率都是p，设X为首次命中目标所需的射击次数，求X的分布律。解 因为X可能的取值为1，2，所以X是一个离散型随机变量。记Ai为第i次击中目标的事件，由于各次射击是相互独立地进行，因此有PX=1=P(A1)=pPX=2P(1,2)=(1-p)pP(X=k)=P(12 k-1Ak)=(1-p)k-1p从而知X的分布律为PX=k=qk-1p,其中q=1-p。 k=1,2,这个分布称为几何分布。容易验证，几何分布满足分布律的两个基本性质。总之，求离散型随机变量分布律，首先要找出它的一切可能的取值，然后计算出相应的概率 。二、常用的离散型分布下面我们介绍最常用的几种离散型分布。（1）两点分布如果离散型随机变量X的分布律为其中0p1,q+p=1，则称X服从两点分布。由于X值只取0，1，为此两点分布又称（0-1）分布 。显然，两点分布满足分布律的两个基本性质。贝努里试验的分布律服从两点分布。比如，掷一枚硬币出现正面的次数；从 一批产品中任取一件产品的次品数；一次射击命中目标的次数等等，都服从两点分布。（2）二项分布如果离散型随机变量X的分布律kkn-kPX=k=Cnpq， k=0,1, ,n其中0p0，则称X服从参数为的泊松分布，记为Xp()。显然，PX=k0,k=0,1,2, ，而且PX=k=k=0k=0kk!e-=1因此泊松分布满足分布律的两个基本性质。泊松分布是一种重要的分布。实践证明，在工业，农业，医学及公共事业中，许多随机变量 都服从泊松分布。比如，铸件表面的气孔数、电镀件表面的缺陷数、布匹上的疵点数、一段 时间里纺纱机上的纱线的断头数等都服从泊松分布。此外，放射性物质在一段时间内放射的 粒子数、电话交换台在一定时间内接到电话的呼叫数、公共汽车站上一段时间内来到的乘客 批数也服从泊松分布。例2-7 对上海一公汽车站的容流进行调查，统计了某天上午10 : 30至10 : 47左右每隔20秒钟来到的乘客批数（每批可能有数人同时来到），共得230个记录。这里分别计算了来到0批、1批、2批、3批、4批及4批以上乘客的记录次数，结果列于表2-2中，其相应的频率与=0.87的泊松分布符合得很好。表2-2三、二项分布与泊松分布的关系虽然泊松分布本身是一种非常重要的分布，但有趣的是，历史上它却是作为二项分布的近似在1837年由法国数学家泊松（Poisson）引入的。例2-8 某保险公司发现索赔要求中有5%是因被盗而提出的。现在 知道1989年中，该公司共收到10个索赔要求，试求其中包含5个或5个以上被盗索赔的概率。记X为10个索赔中所包含的被盗索赔的个数，容易知道，X服从二项分布b(10,0.05)。对所求概率，可以使用计算器来完成，但这里我们关心的问题是，应该用怎样的泊松分布来作它 的近似计算？也就是说，应如何决定它的参数？下面介绍一个有名的定理。定理2-1（泊松定理）在贝努里试验中，用pn表示事件A在试验中出现的概率，它与试验的次数有关。如果npn，则当n时，有limCpqnknknn-kn=kk!e-（2-6）证 记ln=npn,qn=1-p，则kkn-klimCnpnqnnn(n-1) (n-k+1)nn= 1-k!nnkn-kn-k12k-1nn= 1- 1- 1- 1- 1- k!nnnnn对于任意固定的k，当n时klimkn= nknklim 1-n=e- nnn及12k-1lim(1-)(1-) (1-)=1 nnnnlim 1-nnn因此有knknn-kn-k=1limCpqn=kk!e-因此，当n很大，且p很小时，由（2-6）式得下列近似公式Cpq其中np。knkn-kkk!e-实验证明，当n10，且p0.1时，按泊松分布计算的结果与按二项分布计算的结果很接近。在例2-8中的随机变量Xb(10,0.05)，因此应取100.05=0.5，用p(0.5)来近似b(10,0.05)，从图2-3中可以看出两者的近似程度，而且所求概率PX5=1-PX=k。易算出，二项分布及k=04其泊松分布的近似值分别为0.000064和0.000172，两者误差几乎等于0.0001。图2-3第三节 连续型随机变量一、连续型随机变量离散型随机变量的取值是有限个或可列多个；而连续型随机变量将取值于整个实数轴或某个区间。两者虽然都是随机变量，但在处理方法及某些性质方面，它们之间确实存在较大的差异。例2-9 一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶子任一同心圆盘上的点 的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数。解 若x0，则PXx=0，于是F(x)=PXx=02若0x2，由题意，P0Xx=kx，k是一个常数。为了确定k的值，取x=2，有P0X2=k22，但已知P0X2，故得k=1/4，即P0X2=x2/4，于是F(x)=PXx=PX0+P0Xx=x2/4若x2时，由题意Xx是一个必然事件，于是F(x)=PXx=1综上所述，即得X的分布函数为x00,F(x)=x2/4,0x21,x2另外，容易看出上例中的分布函数F(x)，对任意x可以写成形式F(x)=f(t)dt -x其中x/2,f(x)=0,0x2其它这就是说，F(x)正好是非负可积函数f(x)在区间(-,x上的积分，在这种情况我们称X为连续型随机变量。下面我们给出连续性随机变量的精确定义。定义2-4 设F(x)为随机变量X的分布函数，若存在非负可积函数f(x)，使对于任意实数xxF(x)=-f(t)dt (2-7)则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称密度函数。 由上述定义知道，连续型随机变量的分布函数F(x)是连续函数，概率密度函数f(x)具有下列性质：（1）非负性：f(x)0；（2）规范性：-f(x)dx=F()=1；（3）Px1Xx2=F(x2)-F(x1)=x2x1f(x)dx；（4）若f(x)在点x处连续，则F(x)=f(x)。性质（2）表明，介于曲线y=f(x)与x轴之间的面积等于1，如图2-4所示。性质（3）表明，X落在区间(x1,x2)的概率Px1Xx2等于区间(x1,x2上曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积，如图2-5所示。图2-4 图2-5应该指出的是，对于任意指定的实数x0，由于PX=x0x0-xXx0x0x0-xf(x)dx0PX=x0lim所以 x0x0x0-xf(x)dx=0PX=x0=0这表明，连续型随机变量X取任意个别值x0的概率为零。因此在计算概率时，不必区分区间是开区间还是闭区间，即Px1Xx2=Px1Xx2=Px1Xx2=Px1Xx2=f(x)dx x1x2 (2-8)在这里，事件PX=x0并非不可能事件，而PX=x0=0。就是说，不可能事件的概率等于零，但概率等于零的事件未必是不可能事件。例2-10 设连续型随机变量X的密度函数Ae-3x,x0 f(x)=x0.1； （3）求X的分布函数。 解 （1）由密度函数的规范性得0-f(x)dx=0dx+Ae-3xdx=-0A=1 3故A=3,A=3，于是X的密度函数为3e-3x,x0 f(x)=x0.1=0.13e-3xdx=e-0.30.7408。（3）当x0时，F(x)=当x00时，F(x)=x-f(x)dx=0dx=0。 -xx-0f(x)dx x0=f0dx+3e-3xdx=1-e-3x。 -故有1-e-3x,F(x)=0,二、常用的连续型分布 x0 x0下面我们介绍几种重要的连续型分布。（1）均匀分布设连续随机变量X具有密度函数1,axb f(x)=b-a其它0,则称X在a,b上服从均匀分布，记为XUa,b。在区间a,b上服从均匀分布的随机变量XX，具有下述意义的等可能性，即它落在区间a,b中任意等长度的子区间内的可能性相等，或者说它落在子区间内的概率只依赖于区间的 长度而与子区间的位置无关。事实上，对于长度l的子区间c,c+1,acc+1b，有PcXc+l=c+lcf(x)dx=c+lc1ldx= b-ab-a设XUa,b，由均匀分布的定义得X的分布函数为0,x-aF(x)=,b-a1,f(x)及F(x)的图形分别如图2-6，2-7所示。xb图2-6 图2-7例2-11 设电阻R是一个随机变量，它均匀地分布在900欧1100欧，求R的概率密度及R落在950欧1050欧的概率。解 按题意，R的密度函数为1,f(x)=1100-9000,从而有 axb其它P950R1050=（2）指数分布设连续随机变量X具有密度函数 10509501=0.5 1100-900e-x,x0 f(x)=x0，则称X服从参数为的指数分布，记为XE()。容易求得，指数分布的分布函数为1-e-x,x0, F(x)=0,x0指数分布在实践中有许多应用。有许多种“寿命”分布，如无线电元件的寿命，电话的 通话时间，随机的服务时间以及动物的寿命都近似地服从指数分布。（3）正态分布设连续随机变量X具有密度函数(x-)2f(x)=exp-,2221-x0)为常数，则称X服从参数为，的正态分布，记为XN(,)可以证明，正态分布的密度函数曲线具有下列特征：关于X=左右对称；当x=时，取得最大值f()=12在x=处有拐点，且在(-,+)凸弧；在(-,-)与(+,)凹弧。以x轴为渐近线。因此，f(x)是一条“中间高，两边低，左右对称”的钟形曲线。正态分布的分布函数为 ；(t-)2F(x)=exp-dt,2-221x-xf(x)、F(x)的图形分别如图2-8、图2-9所示。特别当=0,=1时，称X服从标准正态分布，其密度函数与分布函数分别用图2-8 图2-9 (x),(x)表示，即(x)=2x2exp-,21-x定理2-1证 因为 t2(x)=exp-dt,-22 (-x)=1-(x) 1x-x0时，(x)的值可以直接从表查到；当xZ.=,01则称点Z.为标准正态分布上分位点。如图2-10所示。例如Z0.025=1.96,Z0.001=3.10注意(Z.)=1-。例2-12 若XN(2,0.5)，则 2P1X2.5=F(2.5)-F(1)2.5-21-2= - 0.50.5=(1)-(-2)=(1)-1-(2)=0.8413-1+0.9772=0.8185例2-13 若XN(,)，则对任意整数k，有 2P-kX+k=(k)-(-k)=2(k)-1图2-10特别 图2-11P-X+=2(1)-1=20.8413-1=0.6826P-2X+2=2(2)-1=20.9772-1=0.9544p-3X+3=2(3)-1=20.99865-1=0.9973这表明，如果XN(,2)，那么X的取值落入区间-3X+3的概率为99. 73%，这就是著名的“3原理”。上述结果如图2-11所示。例2-14 设某机器生产的螺栓的长度X(cm)服从正态分布N(10.5,0.04)，并规定螺栓的长度在范围（10.3, 10.8）内为合格品，求螺栓的合格率。解 螺栓的合格率为P10.3X10.810.8-10.510.3-10.5= - 0.20.2=(1.5)-1=(1.5)+(1)-1=0.9332+0.8413-1=0.7745正态分布是所有分布中最重要的一种分布，这有实践与理论两方面的原因。实践方面的 原因在于其常见性，如产品的长度、宽度、高度、质量指标；人体的身高、体重；测量的误 差等，都近似地服从正态分布。事实上如果影响某一随机变量的因素很多，而每一个因 素都不起决定性作用，且这些影响是可以迭加的，那么这一随机变量就近似的服从正态分布 ，这就是概率论中有名的中心极限定理。从理论方面来说，正态分布可以导出一些其它的分 布，而某些分布在一定条件下又可以用正态分布来近似。因此正态分布不仅在实践中有广泛 的应用，而且在理论研究也具有重要的地位。第四节 多维随机变量上面讨论的只是一个随机变量的情况。在许多实际问题中，随机试验的结果同时需要两个或 两个以上的随机变量来描述。例如，炮弹命中的位置需要用一对随机变量：横坐标X与纵坐标Y来描述；正弦交流电压需要用振幅X1、频率X2、相位X3三个随机变量来描述等等。一般地，如果X1,X2, ,Xn都是定义在同一个样本空间上的n个随机变量，则把这n个随机变量的整体(X1,X2, ,Xn)称为n维随机变量或n维随机向量。需要强调的是，多维随机变量的性质不仅与各个随机变量有关，而且还依赖于它们之间的相互关系。因此，逐个研究各个随机变量的性质是不够的，还需要将它们作为一个整体来进行研究。由于二维随机变量比较容易理解与表达，因此我们主要讨论二维随机变量。设(X,Y)是一个二维随机变量，x,y是任意二个实数，二元函数F(x,y)=PXx (Yy)=PXx,Yy称为(X,Y)的（联合）分布函数。 （2-12）需要强调的是，与一维随机变量的分布函数类似，分布函数F(x,y)的值恰好是(X,Y)取值于区域-Xx,-Yy内的概率，如图2-12所示。联合分布函数具有下列性质：（1）单调性：若x1x2，则F(x1,y)F(x2,y)，若y1y2，则F(x,y1)F(x,y2)；（2）有界性：0F(x,y)1；（3）F(-,y)=0,F(x,-)=0,F(-,-)=0,F(+,+)=1；（4）F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y)即F(x,y)关于x与y右连续。 在给定了联合分布函数之后，就可以求出(X,Y)落在任一个区域的概率。特别对区域 x1Xx2,y1Yy2，参照图2-13，可以得出Px1Xx2,y1yy2=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)图2-12 图2-13(X,Y)作为一个整体，具有联合分布函数F(x,y)，而X与Y作为单个的随机变量也分别有他们的分布函数，分别记为FX(x)、FY(y)，依次称FX(x)、FY(y)关于X和Y的边缘分布函数。由(X,Y)的联合分布函数F(x,y)，可以得到关于X与Y的边缘分布函数。事实上，由于Y+是必然事件，故Xx=Xx Y+=Xx,Y+于是FX(x)=PXx=PXx,Y0；pi=1j=1ij=1记X与Y的各自分布律为PX=xi=pi,i=1,2,（2-16） （2-17）PX=xj=pj,j=1,2,则依次称（2-16）式与（2-17）式为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律或边缘概率分布。 由联合分布律可以导出边缘分布律。事实上根据概率的可加性得pi.=PX=xi=PX=xi,=PX=xi, (Y=yj)j=1=P (X=xi,Y=yj)j=1= =同理P(X=x,Y=yij=1j)pJ=1ij,i=1,2,p.j=pij,i=1j=1,2,例2-15 设袋中有两只白球和三只黑球，分别采用放回摸球与不放回摸 球两种方式，规定随机变量1,第一次摸到白球X=0,第一次摸到黑球表示。1,第二次摸到白球X=0,第二次摸到黑球则用放回摸球与不放回摸球两种方式下(X,Y)的分布律与边缘分布，分别由表2-3和表2-4表2-3表2-4在表（2-3）和表（2-4）中，中间部分是(X,Y)的联合概率分布，表格边缘是关于X和Y的边缘分布。两种抽样的边缘分布相同，但联合分布不同。这说明联合分布不能由边缘分布唯一确定，这意味着二维随机变量的性质不能由两个随机变量的个别性质所确定，还必须考虑它们之间的相互关系。这就是为什么要研究多维随机变量的缘故。从表中还可以看出，对于有放回摸球pij=pipj；而对于不放回摸球pijpipj。我们知道，有放回的两次摸球独立，不放回的两次摸球不独立。表达式pij=pipj正好是两个离散型随机变量相互独立的特征。一般地，如果离散型二维 随机变量(X,Y)的联合分布等于其边缘分布的乘积，即pij=pipj则称X,Y是相互独立的随机变量。i,j=1,2,(2-18)二、连续型二维随机变量设(X,Y)为二维随机变量，如果存在一个二元非负可积函数f(x,y)使F(x,y)=易见，f(x,y)0；x-yf(u,v)dudv（2-19）成立，则称(X,Y)为二维连续型随机变量，其中f(x,y)称为联合密度函数。-f(x,y)dxdy=1在f(x,y)的连续点处，有2F(x,y)=f(x,y)xy设G为XOY平面上的一个区域，点(X,Y)落在G内的概率为P(X,Y)G=f(u,v)dudvG（2-20）记X的密度函数为fX(x)，Y的密度函数为fY(y)，则fX(x)与fY(y)依次称为(X,Y)关于X和关于Y的边缘密度函数。由联合密度函数可以导出边缘密度函数fX(x)=f(x,v)dv-（2.21） （2-22）fY(y)=f(u,y)du-如果对于任意实数x,y，有f(x,y)=fX(x)fY(y)则称X与Y是相互独立的随机变量。容易证明，X与Y相互独立的充要条件是（2-23）F(x,y)=FX(x)FY(y)例2-16 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为（2-24）(x-1)2(x-2)(y-2)(y-2)21f(x,y)=exp-2-2+22222(1-)212-1212其中1,2,1,2,均为常数，且10,20,|1，则称(X,Y)服从参数为121,2,1,2,的二维正态分布，记为N(1，2，12，2,),二维联合正态分布密度函数的曲面如图2-14。图2-14现在我们求出二维正态分布的边缘分布密度函数。因(y-2)222-2(x-1)(y-2)1222y-2x-12(x-1)=- -2211故fX(x)=f(x,v)dv=-1212(x-1)2exp- 2221-2v-2x-11exp-dv -2(1-2)12令t=v-2x-1- 2-211(x-1)2t2fX(x)=exp-exp-dt 2212121=同理(x-1)2exp- 222111(y-2)2exp- 222221fY(y)=由此可见，二维正态分布的边缘分布仍然是正态分布，而且当且仅当=0时，有f(x,y)=fX(x)fY(y)，即X、Y相互独立的充分必要条件是=0。 三、多维随机变量多维随机变量与二维随机变量并无本质上的差异，因此我们只列出多维随机变量的一些主要结论，不作深入讨论。（1）设(X1,X2, ,Xn)是n维随机变量，x1,x2, ,xn是任意n个实数，则n元函数nF(x1,x2, ,xn)=P| Xkxkk=1=PX1x1,X2x2, ,Xnxn称为(X1,X2, ,Xn)的联合分布函数。（2）由(X1,X2, ,Xn)的联合分布函数F(x1,x2, ,xn)可以得到边缘分布函数FXk(xk)=F(+, ,+,xk,+, ,+)（3）多维随机变量也有离散型与连续型之分。在离散型场合，概率分布集中在有限或可 列个点上。在连续型场合，存在非负可积函数f(x1,x2, ,xn)，使得F(x1,x2, ,xn) =其中f(x1,x2, ,xn)称为联合密度函数。（4）对n维随机变量(X1,X2, ,Xn)的任一个随机变量Xk，其边缘密度函数为x1-x2f(u1,u2, ,un)du1du2 dun-xnfXk(xk)= f(x1,x2, ,xk, ,xn)dx1dx2 dxk-1dxk+1 dxn-（5）设(X1,X2, ,Xn)是连续型n维随机变量，如果对任意实数x1,x2, ,xn，有f(x1,x2, ,xn)=fX1(x1)fX2(x2) fXn(xn)则称X1,X2, ,Xn是相互独立的n个随机变量。这等价于F(x1,x2, ,xn)=FX1(x1)FX2(x2) FXn(xn)第五节 随机变量函数的分布在实际中，我们常常对某些随机变量的函数更感兴趣。例如，用自动机床加工圆轴时，显然 圆轴的直径X是一个随机变量，截面积Y是随机变量X的函数。然而我们所关心的往往不是能测量的X，而是X的函数Y=分布去求它的函数Y=g(X)的分布。4X2。下面我们将讨论由已知的随机变量X的一、离散型随机变量的函数例2-17 设随机变量X的分布律为求Y=(X-1)2的分布律。解 Y所有可能的取值为0, 1, 4。由PY=0=P(X-1)2=0=PX=1=0.1 PY=1=PX=0+PX=2=0.7PY=4=PX=-1=0.2即得Y的分布律为从而得Y发布律为则Y=g(X)如果g(xk)中有相等者应合并而概率相加。二、连续型随机变量的函数与离散型随机变量一样，我们通过例题来讨论求随机变量函数的分布。 例2-18 设XN(0,1)，求Y=X2的分布和密度函数。解 记Y的分布函数为FY(y)，由于Y=X20，故当y0时，当y0FY(y)=0。时，因为FY(y)=PYy=PX2y=P-yX=2t-yexp-dt 22y1y两边对y求导得Y的密度函数fY(y)=11exp-22y12-y1+exp-22yy 2=1yy2exp-2综上所述Y的密度函数为1-y1y2exp-,y0 fY(y)=220,y0从上述例子中可以看出，求连续型随机变量X的函数Y=g(X)的分布是先求出Y分布函数，再通过求导得Y的密度函数。在求Y的分布函数中，关键的一步是在“Yy”即“g(x)y”中，解出X，而得到一个与“g(X)y”等价的X不等式，并以后者代替“g(X)y”。一般地，若X的密度函数为fX(x)，则Y的分布函数FY(y)=PYy=Pg(X)y=而Y的密度函数为 g(t)yfX(t)dt （2-25）fY(y)=dFY(y) dy （2-26）三、二维随机变量函数的分布上面已经讨论过一个随机变量的函数的分布，下面将分两种情况讨论二个随机变量的函数的分布。（1）离散型设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为PX=xi,Y=yi=pij,则Z=g(X,Y)的分布律为 i,j=1,2,i,j=1,2, （2-27） PZ=g(xi,yi)=pij,如果g(xi,yi)中有相同者应合并而概率相加。 （2-28）例2-19 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为求Z=XY分布律。解 XY所有可能的取值为0, 1, 2。由 PZ=0=PX=0,Y=0+PX=0,Y=1+PX=0,Y=2+PX=1,Y=0=2/3PZ=1=PZ=1,Y=1=1/9PZ=2=PX=1,Y=2=2/9即得Z分布律为（2）连续型 设(X,Y)是二维连续型随机变量，其密度函数为f(x,y)，则Z=g(X,Y)的分布函数为FZ(z)=PZz=Pg(x,y)z=f(x,y)dxdyD （2-29）其中分区域D=(x,y)|g(x,yz)，而Z=g(X,Y)的密度函数为fZ(z)=dFZ(z) dz （2-30）计算积分(2-29)式，关键在于找出D，但具体做起来，往往比一元随机变量的情况复杂得多。这里仅讨论一种特殊而常用的情况。设f(x,y)为(X,Y)的密度函数，求Z=X+Y的分面。由（2-29）式得Z=X+Y的分布函数为FZ(z)=f(x,y)dxdyD其中D为x+yz，这是一个半平面区域，如图2-15所示。把下面二重积分化为二次积分得图2-15z-xFZ(z)=-dx-f(x,y)dy对此积分作变换y=u-x，得zFZ(z)=-dx-f(x,u-x)duz =-f(x,u-x)dxdu 从而得Z的密度函数为fZ(z)=-f(x,z-x)dx （2-31）注意到X与Y的对称性，上式可以写为fZ(z)=-f(z-y,y)dx （2-32）特别，当X,Y相互独立时，由f(x,