数列复习提纲.doc

新民高中2012届高三备战高考复习提纲-数列 编撰人：李立亭 宋书杨 数列一、 基础知识：（1） 等差数列1.等差数列的判断方法：（1）定义法：（常数）；（2）等差中项法：；（3）通项公式法：；（4）前n项和公式法：.其中（1）（2）是为等差数列的证明方法2. 等差数列的前n项和公式： 3.等差数列的性质：数列为等差数列（1）；即 ，；（2）等差中项的性质： 若； 若.（3）前n项和的性质： 成等差， 设，则有 若等差数列共有2n项，则有： 若等差数列共有2n+1项，则有： 4.等差数列的一些结论：（1）（2）（3）若（4）若为两个等差数列，其前n项和为，则有 ；（5）若是等差数列，则也是等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的;（6）已知数列满足是公差为的等差数列，则有的奇数项和偶数项分别成公差为 的等差数列（二） 等比数列1.等比数列的判断方法：（1）定义法：（常数）；（2）等比中项法：；（3）通项公式法：；（4）前n项和公式法：.其中（1）（2）为数列为等比数列的证明方法2.等比数列的前n项和公式：3.等比数列的性质：数列为等比数列（1），；（2）等比中项的性质：若；若（3）前n项和公式的性质：数列为等比数列.成等比， 设，则有 4.等比数列的结论：（1）若是等比数列，且也是等比数列，（，常数）， 则是常数列；（2）常数列为等差数列是它为等比数列的必要不充分条件；（3）若为两个等比数列，其前n项积分别为， 则有 ；（4）已知数列满足是公比为的等比数列，则有的奇数项和偶数项分别成公比为的等比数列二 基本题型：（一 ）数列的性质与基本公式的应用数列的性质与基本公式的应用主要是对等差、等比数列的基本量（；或）之间的关系的考查，一般是设出等差数列的首项与公差（或公比），应用等差或等比数列的通项与求和公式，代入已知条件中，构造出方程求解；也可应用等差、等比的性质解决，这样会化简问题，减少计算量。1（2011辽宁文） 为等差数列的前n项和，则_；提示：（1）直接利用求和、通项公式；（2）利用等差中项的性质；（3)利用前n项和是关于的二次式，由其对称性求得。2设等差数列的前项和，若,则 提示：（1）利用前n项和的性质；（2）直接利用求和公式3已知数列，为等差数列，其前项和分别为，且，则为 4 已知数列，均为正项等比数列，其前项积分别为，且，则的值为 （二） 数列的通项数列通项的考查主要是等差、等比数列的通项，或者是可转化为等差、等比数列的通项，在已知条件中，数列经常与函数结合，注意数列与函数之间的转化关系，通过函数寻找数列的递推公式，进而转化为等差或等比数列或我们熟知的数列通项的几种类型。数列通项的几种求法：（1） 定义法（等差、等比数列）（2） 由求，注意对的检验！（时，；时，）（3） 累积 ：；（4） （）；（5） 分式取倒数；（6） 高次取对数；（7）求出前5项，猜想通项后用数学归纳法证明。构造等差等比数列是常法！5（2010辽宁理）已知数列满足则的最小值为_.6已知数列为正项数列，且 ， 则 （三） 数列求和求数列的前项和主要看数列的通项，根据通项的特点选择求和方法，除了等差、等比数列求和公式外，还要熟知分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加求和等几种常见的数列求和方法。 几种数列求和方法：（1） 定义法：（等差、等比数列）（2） 分组求和法：形如，其中一个等差一个等比，或两个等比（3） 裂项相消法：形如，（其中是等差数列）（4） 错位相减法：形如，其中一个等差一个等比（5） 倒序相加法。7（2010全国2）已知是各项均为正数的等比数列，且， . () 求的通项公式；（）设,求数列的前项和.提示：（1）分组求和 （2）若是等比数列，则也是等比例数列8（2010山东）已知等差数列满足：的前项和为。 （）求及； （）令，求数列的前项和提示：裂项相消求和9已知等差数列的首项，公差，且第2项，第5项，第14项分别是等比数列的第2项，第3项，第4项.（）求数列，的通项公式；（）设数列对任意正整数，均有，求数列的前2012项和.提示：（1）利用由求的方法求的通项；（2）错位相减求和；（3）注意对的讨论10已知数列中，且满足,前项和为。 (1) 求的通项公式； (2) 求的最大值；（3）求的最小自然数；（4）设，求。提示：(1)先证等差； （2）等差数列前项和最值的求法： 利用前n项和公式，根据二次函数求最值； 利用通项公式：若，则； 若，则（3）分段数列求和（四） 等差、等比数列的证明1 等差数列的证明方法：（1）定义法：（常数）；（2）等差中项法：；2等比数列的证明方法：（1）定义法：，；（2）等比中项法：；11（2009全国卷理）设数列的前项和为 已知（1）设，证明数列是等比数列 ；（2）设，求证是等差数列；（3）求数列的通项公式；（4）求数列的前项和。12在数列中，求此数列的前项和。11、12提示：证明等比数列时注意对的讨论（五 ）数列的单调性与最值1数列单调性的判断方法：2. 数列最值的判断方法：（1）（3）设为最大项，则有;设为最小项，则有13 已知数列满足,则数列的最大项是第 项；最小项是第 项提示：利用反比例类型函数的单调性，可画图14已知数列是递增数列，且有恒成立，则实数的取值范围为 提示：（1）利用时，；（2）利用二次函数的单调性，注意15已知数列满足对有。（1） 求证：是等比数列；（2） 若，当为何值时，取最大值，并求出最大值。提示：（1）利用研究数列的单调性，求得最值 （2）直接设出最大项数列的几点注意：（1）题中若没有给出等差，等比数列的首项、公差或公比，要先设出；（2） 若是等差、等比数列，但题中没有说明，求和时要先证明，才能用等