3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 (2).ppt

3 1 4空间向量的正交分解及其坐标表示 班别 高二 21 班授课老师 关华群 共线向量定理 复习 共面向量定理 平面向量基本定理 平面向量的正交分解及坐标表示 问题 我们知道 平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示 平面向量基本定理 对于空间任意一个向量 有没有类似的结论呢 由此可知 如果是空间两两垂直的向量 那么 对空间任一向量 存在一个有序实数组 x y z 使得我们称为向量在上的分向量 探究 在空间中 如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的向量 你能得出类似的结论吗 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底 空间向量基本定理 如果三个向量不共面 那么对空间任一向量 存在一个唯一的有序实数组x y z 使 都叫做基向量 1 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底 特别提示 对于基底 a b c 除了应知道a b c不共面 还应明确 2 由于可视为与任意一个非零向量共线 与任意两个非零向量共面 所以三个向量不共面 就隐含着它们都不是 3 一个基底是指一个向量组 一个基向量是指基底中的某一个向量 二者是相关连的不同概念 一 空间直角坐标系 给定一个空间坐标系和向量 且设e1 e2 e3为坐标向量 由空间向量基本定理 存在唯一的有序实数组 x y z 使p xe1 ye2 ze3有序数组 x y z 叫做p在空间直角坐标系O xyz中的坐标 记作 P x y z 二 空间向量的直角坐标系 x y z O e1 e2 e3 在空间直角坐标系O xyz中 对空间任一点 A 对应一个向量OA 于是存在唯一的有序实数组x y z 使OA xe1 ye2 ze3 在单位正交基底e1 e2 e3中与向量OA对应的有序实数组 x y z 叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标 记作A x y z 其中x叫做点A的横坐标 y叫做点A的纵坐标 z叫做点A的竖坐标 x y z O A x y z e1 e2 e3 练习 1 在空间坐标系o xyz中 分别是与x轴 y轴 z轴的正方向相同的单位向量 则的坐标为 题型一空间向量的基底 已知空间四边形OABC 其对角线为OB AC M N 分别是对边OA BC的中点 点P Q是线段MN三等分点 用基向量OA OB OC表示向量OP OQ 题型二用基底表示向量 例2如图 四棱锥POABC的底面为一矩形 PO 平面OABC 设 OA a OC b OP c E F分别是PC和PB的中点 试用a b c表示向量BF BE AE EF 题型三空间向量的坐标表示例3已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面 M N分别是AB PC的中点 并且PA AD 1 建立适当坐标系 求向量 MN 的坐标 当堂检测 1 已知A 2 3 1 v 关于x轴的对称点是A 7 6 则 v的值为 A 2 4 v 5B 2 4 v 5C 2 10 v 8D 2 10 v 72 与向量m 0 1 2 共线的向量是 A 2 0 4 B 3 6 12 C 1 1 2 D 0 1 2 1 3 已知向量a b c是空间的一个基底 下列向量中可以与p 2a b q a b构成空间的另一个基底的是 填序号 2a b c a c 4 如图在边长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中 取D点为原点建立