公务员考试基础积累 计算基础知识二.docx

时钟问题【例】现在是上午8点整，请问过1500分钟后是几点？（）A上午8点B下午8点 C上午9点D下午9点【解题关键点】答案:C1500分钟相当于150060=25小时，故应为第二天上午9点。【例】2005年10月12日上午9时，我国自行研制的“神舟六号”载人飞船顺利升空，2005年10月17日凌晨4时33分成功着陆。“神舟六号”飞行的总时间是几小时几分钟？ 【解题关键点】4天24小时+24小时-（9-4小时33分）=115小时33分. 12日9时到17日9时才足够5天，所以4天*24小时，加上第5天飞行的时间，最后等于115小时33分【例】从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线？【解题关键点】5时整时，分针指向正上方，时针指向右下方，此时两者之间间隔为25个小格（表面上每个数字之间为5个小格），如果要成直线，则分针要超过时针30个小格，所以在此时间段内，分针一共比时针多走了55个小格。由每分钟分针比时针都走个小格可知，此段时间为55=60分钟，也就是经过60分钟时针与分针第一次成了直线。【例】时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成一条直线？【解题关键点】时针和分针重合，也就是两者间隔为0个小格，如果要成一条直线，也就是两者间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/（11/12）=360/11分钟【例】九点整时，钟的分针追上时针最少需要多少分钟？【解题关键点】解法：9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要分针追上时针，也就是两者之间间隔变为0个小格，那么分针要比时针多走45个小格，此段时间为45=分钟。解法：也可以套用公式=分钟。【例】在34点之间，时针与分针几点几分重合？【解题关键点】本题以“起跑线”的选择不同，可以有两种基本解法。解法选12点处为起跑线，两针在34点之间重合，是时针与分针第三次重合。3（1）=3=3点=3点16分解法选3点整看成时针与分针的起跑线，此时，分针落后时针（圈）或15（小格）（每格代表1分钟），所以分针要赶上时针，必须追上15（小格）。15（1）=15=16(分)注意这里单位的变化与统一。这里追及路程用钟面的小格表示，每一小格表示1分钟。分针的速度是每分钟一小格。时钟的速度是每分钟 小格，与前面提及的速度相同，只是单位不同而已。当然也可以按如下公式列示：（1）=）=16（分）所以时针与分针在3点16分重合。解法：选3点整看成时针与分针的起跑线，套用公式：。t=3，n为经过几分钟，a=0。则n=16(分)。所以时针与分针在3点16分重合。【例】在8时多少分，时针与分针垂直？【解题关键点】解法：8时整时，分针指向正上方，时针指向左下方，两者之间间隔为40个小格。如果要两者垂直，有两种情况。第一次垂直时，时针与分针间隔为15个小格（分针落后时针），也就是分针比时针多走了25个小格，此段时间为25=分钟。第二次垂直时，时针与分针间隔仍为15个小格（但分针超过时针），也就是分针比时针多走了55个小格，此段时间为55=60分钟，时间变为9时，超过了题意的8时多少分要求。所以在8时分时，分针与时针垂直。解法：运用公式：。第一次垂直时，时针在分针前面（形成的角度为90），=分钟。第二次垂直时，时针在分针的后面（形成的角度为270），=60分钟，时间变为9时，超过了题意的8时多少分要求。所以在8时分时，分针与时针垂直。【例】在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？【解题关键点】解法：7点时分针指向12，时针指向7，分针在时针后面5735（格）。时针与分针垂直，即时针与分针相差15格，在7点与8点之间，有两种情况：第一次垂直时，分针在时针后面15格。从7点开始，分针要比时针多走35-15=20（格），需20（1-）=21分钟。此时是7点21分。第二次垂直时，分针在时针前面15格。从7点开始，分针要比时针多走351550（格），需50（1-）=54（分）。此时是7点54分。所以所求时刻是7点21分和7点54分。解法：运用公式：。第一次垂直时，时针在分针前面（形成的角度为90），=分钟。此时是7点21分。第二次垂直时，时针在分针的后面（形成的角度为270），=54分钟。此时是7点54分。 所以所求时刻是7点21分和7点54分。年龄问题基础学习一、 解答题2、年龄问题例1：全家4口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。四年前他们全家的年龄和为58岁，而现在是73岁。问：现在父亲、母亲的年龄是多少？ （）A32，29B34，31 C35，32D36，33【答案】B【解题关键点】73-58=1544，一般四个人四年应该增长了44=16岁，但实际上只增长了15岁，这是因为在4年前，弟弟还没出生。父亲、母亲、姐姐三个人4年增长了12岁，15-12=3，则现在在弟弟3岁。那么，姐姐3+2=5岁，父母今年的年龄和是73-3-5=65岁，则父亲是（65+3）2=34岁，母亲是65-34=31岁。【结束】3、年龄问题例2：哥哥5年后的年龄和弟弟3年前的年龄和是29岁，弟弟现在的年龄是两人年龄差的4倍。哥哥今年几岁？（ ）A.10 B.12 C.15 D.18 【答案】 C【解析】方法1，设今年哥哥x岁，弟弟y岁，则（x5）（y3）29，y4（xy），解得x15.方法2，由第二个条件弟弟现在的年龄是两人年龄差的4倍，y4（xy），即可知4x5y，即哥哥的年龄应是5的倍数，在A、C中选择，代入A项，哥哥5年后15岁，弟弟3年前14岁，可知A不符合题意。直接可以推出C项正确。【结束】4、年龄问题例3：爸爸在过50岁生日时，弟弟说：“等我长到哥哥现在的年龄时，那时我和哥哥的年龄之和正好等于那时爸爸的年龄。”问：哥哥现在多少岁？（ ）A.24 B.25 C.34 D.36【答案】 B【解析】本题注意分析题干的关系。当弟弟长到哥哥现在的年龄时，如果哥哥与爸爸的年龄都同时减少到现在的年龄，那么弟弟与哥哥年龄和仍然等于爸爸的年龄，即爸爸现在的年龄是哥哥的2倍，所以哥哥现在的年龄是50225（岁）。或直接列方程求解：设弟弟今年为a岁，经过k年和哥哥现在的年龄一样大，那时的哥哥为（akk）岁，爸爸为50k岁，则可得关系式：（ak）（akk）50k，即2（ak）50，ak25岁。【结束】5、年龄问题例4：今年父亲的年龄是儿子年龄的10倍，6年后父亲的年龄是儿子年龄的4倍，则今年父亲、儿子的年内分别是（ ）A.60,6 B.50,5 C.40,4 D.30,3【答案】D【解析】法一：设今年父亲的年龄为X，儿子的年龄为Y，则X=10Y，X+6=4(Y+6)从而可以计算出答案X=30，Y=3.法二：此种类型题在考试的时候完全可以使用带入法，将四个选项都加上6，看看是否成4倍的关系很快就能够得出答案。此种方法很快！【结束】方阵问题基础学习一. 解答题2、实心方阵例1：30人一排的方阵，求最外层有多少人？【答案】116人。【解题关键点】利用公式四周人(或物)数=每边人(或物)数-14，（30-1）4=116（人）【结束】3、实心方阵例2：20人一排的方阵共有多少人？【答案】400（人）。【解题关键点】利用公式：实方阵总人(或物)数=每边人(或物)数每边人(或物)数，2020=400（人）。【结束】5、空心方阵例1：小华用围棋摆了一个六层的空心方阵,共用264颗棋子,问最里层有多少个棋子？( )A 36 B 24 C 30 D 22【答案】B【解题关键点】法一：对于空心方阵，最外层每边数=总数4层数+层数最外层每边数=（26446）+6=17人；共六层，最外一层与最里一层相差5层。每层每边数差两个，所以最里层每边数=17-52=7个那么最里层个数是47-4=24个。法二：方阵每层相差8个。那么从里向外数，第二层比第一层多8个，第三比第一层多16个，第四层比第一层多24个，第五层比第一层多32个，第六层比第一层多40个；那么最里一层就是（264-8-16-24-32-40）6=24个【结束】6、空心方阵例2：一个两层空心方阵最外层有16人，一共多少人？（）A.16 B.24 C.10 D.22【答案】B【解题关键点】最外层16人-四个角4人=12人 124=3，即每个边3人 内层每个边应该比外层少2人以占角拐弯，故每个边仅1人，加上4个角，内层共8人 综上，内外两层共24人总而言之，就是外层每排5人，内层每排3人，最中间空出一个人位置的两层空心方阵。【结束】7、方阵综合例1：方阵外一层总人数比内一层的总人数多8 每边人数与该层人数关系是：最外层总人数（边人数1）4 方阵总人数最外层每边人数的平方 空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数空心方阵的层数）空心方阵的层数4 去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数2-1 【例1】某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，问这个学校共有学生？ 【答案】625【解题关键点】解答：最外层每边的人数是964+125，刚共有学生2525=625 【结束】8、方阵综合例2：五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲乙两个方阵，其中甲方阵每边的人数等于8，如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人，甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心。五年级参加广播操比赛的一共有多少人? （）A 160 B 204 C 100 D 260【答案】D【解题关键点】设乙最外边每人数为Y，则丙为Y+4. 88+YY+88=(Y+4)(Y+4)， 求出Y=14,则共有人数：1414+88260。【结束】9、方阵综合例3：明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子？摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子? 【答案】56个，144个。【解题关键点】最外层有(15-1)4=56个。则里二层为56-82=40 ，应用公式，用棋子（153）34144。 【结束】10、方阵综合例4：学校运动会上，晨光小学组成一个大型方阵队，方阵队最外层每边25人，共8层；中间部分是15名同学组成的运动会会徽，这个方阵共有多少名同学？【答案】【解题关键点】空心方阵问题总数的公式是：总数=(最外层每边数-层数)*层数*4【结束】11、方阵综合例5：108人排成空心方阵，如果最外层每边12人，那么共有几层？【答案】3（层）。【解题关键点】可以把相邻两层每边人数想成是一个等差数列，公差是2（方阵问题中有这样一个知识点，就是相邻两边每边人数相差2）。通过“1212-108=36 ”计算我们知道了此方阵是中间去掉了66的空心方阵，那么从每边12人排到每边6人，通过等差数列求项数公式是：项数=（末项-首项）(公差+1）的计算我们能求出（12-6）2+1=4（层），应该是有4层，还因为我们已经知道要去掉的是每边6人那一层，所以刚才的算式就不用加1了，结果就是“（12-6）2=3（层）”。【结束】11、方阵综合例6：国庆阅兵大典，参演学生组成一个方阵，已知方阵由外到内第二层有120人，则该方阵共有学生多少人？（）A625B841 C1024D1089【答案】D【解题关键点】方阵由外到内第二层有120人，那么最外层有120+8=128人，那么每边有（128+4）4=33人，则整个方阵有3333=1089人。【结束】12、方阵综合例7：某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，问这个学校共有学生（）。A600人B615人 C625人D640人【答案】C【解题关键点】根据方阵问题的基本公式，可知学校共有学生=方阵总人数=（964+1）=625。【结束】13、方阵综合例8：某校参加军训队列表演比赛，组织一个方阵队伍。如果每班60人，这个方阵至少要有4个班的同学参加，如果每班70人，这个方阵至少要有3个班的同学参加。那么组成这个方阵的人数应该为几人？ （）A169B196 C225D256【答案】B【解题关键点】依题意知道方阵数大于180小于210，考虑到方阵人数必须是一个平方数因此只能是196人成一个1414的方阵。【结束】植树问题基础学习一、解答题例1：每300米设一根电线杆，则3000米，要设几根电线杆？【答案】11（根）【解题关键点】 利用公式，3000300+1=11（根）【结束】例2：一农场的湖边种树，湖长100米，要求每4米中一棵树，一共要种多少棵树？【答案】25（棵）【解题关键点】利用公式，1004=25（棵）【结束】例3： 两栋楼之间2000米，要求没40米种一棵树，则需要种多少棵树？【答案】49（棵）【解题关键点】利用公式，200040-1=49（棵）【结束】例1:为了把2008两北京奥运会办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，植树造林。某单位计划在通往两个比赛馆的两条路的（不相交）两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路的长度的两倍还要多6000米，若每隔4米栽一棵，则少2754棵；若每隔5米栽一棵则多396棵，则共有树苗多少棵？（）A8500棵B12500棵 C12596棵D13000棵【答案】D【解题关键点】设两条路共有树苗x棵，根据栽树原理，路的总长度是不变的，所以可以根据路程相等列方程：（x+2753-4）4=（x-396-4）5（因为2条路共栽4排，所以要减4），解得x=13000棵。【结束】例2：甲单位义务植树一公里，乙单位紧靠甲单位又植树一公里，如果按10米植一棵树的话，两单位共植树多少棵？（）A199B 200 C201D202【答案】C【解题关键点】甲在一公里内植树100010+1=101棵树，乙植树100010=100棵，所以甲乙共植树201棵。【结束】5、四类最简单、最基本的植树问题基础知识。【答案】最简单、最基本的植树问题只有这四类情形。【结束】6、四类最简单、最基本的植树例1：一条河堤长420米，从头到尾每隔3米栽一棵树，要栽多少棵树？( )A 122 B 141 C 142 D 145【答案】B【解题关键点】这是第(1)种情形，所以要栽树42031141(棵)。【结束】7、四类最简单、最基本的植树例2：在一段路边每隔50米埋设一根路灯杆，包括这段路两端埋设的路灯杆，共埋设了10根。这段路长多少米？( )A 522 B 441 C 442 D 450【答案】D【解题关键点】这是第(1)种情形，所以，“段数”1019。这段路长为50(10-1)450(米)。【结束】8、四类最简单、最基本的植树例3：肖林家门口到公路边有一条小路，长40米。肖林要在小路一旁每隔2米栽一棵树，一共要栽多少棵树？( )A 22 B 41 C 42 D 20【答案】D【解题关键点】由于门的一端不能栽树，公路边要栽树，所以，属于第(2)种情形，要栽树40220(棵)。【结束】10、四类最简单、最基本的植树例4:两座楼房之间相距30米，每隔2米栽一棵树，一直行能栽多少棵树？( )A 12 B 11 C 18 D 14【答案】D【解题关键点】因紧挨楼房的墙根不能栽树，所以，属于第(3)种情形，能栽树302-114(棵)。【结束】11、四类最简单、最基本的植树例5:一个圆形水池的围台圈长60米。如果在此台圈上每隔3米放一盆花，那么一共能放多少盆花？A 52 B 20 C 12 D 45【答案】B【解题关键点】这属于第(4)种情形，共能放花60320(盆)。【结束】【例】甲单位义务植树一公里，乙单位紧靠甲单位又植树一公里，如果按10米植一棵树的话，两单位共植树多少棵?( )A199 B200 C201 D202 【答案】C【解题关键点】甲单位在一公里内植树，则两端都可以种一棵树，则一共可以中100010+1=101棵树；乙单位紧靠着甲单位植树，则有一端不需要植树，一共可以中100010=100棵树。甲、乙共植树101+100=201棵树。【例】李大爷在马路边散步，路边均匀地栽着一行树，李大爷从1棵树走到第15棵树共用了7分钟，李大爷又向前走了几棵树后就往回走，当他回到第5棵树时共用了30分钟。李大爷步行到第几棵树时就开始往回走？A第32棵 B第33棵 C第37棵 D第38棵 【答案】B【解题关键点】利用两棵数的间距相等的性质进行计算，实质还是植树问题。第一次李大爷走了15-1=14个间距，速度为每分钟147=2个间距，剩下的23分钟李大爷可以走232=46个间距，以第5棵树为基准，往回走到第5棵树比从第15棵树走到回头的地方要多走155=10个间距，即还能再向前走（46-10）2=18个间距，即走到第15+18=33棵树时回头。 【例】在一条公路的两边植树，每隔3米种一棵树，从公路的东头种到西头还剩5棵树苗，如果改为每隔2.5米种1棵，还缺树苗115棵，则这条公路长多少米? A.700 B.800 C.900 D.600 【答案】C【解题关键点】注意，本题说明是在“一条公路的两边植树”。设公路长为a米，列方程2（a31）52（a2.51）115，解得a=900。 【例】为了把2008年北京奥运会办成绿色奥运，全国各地都在加强环保,植树造林。某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的（不相交）两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6000米，若每隔4米栽一棵，则少2754棵；若每隔5米栽一棵，则多396棵，则共有树苗多少棵？ A.8500棵 B.12500棵 C.12596棵 D.13000棵 【答案】D【解题关键点】设两条路共有树苗x棵，由植树的数量关系根据路程相等列方程（x+2754-4）4=（x-396-4）5，解得X=13000。（因为在2条路两边植树，则棵树要比段数增加22=4） 2、封闭型的情况（多为圆周形），如下图所示，那么：【例】一块三角地带，在三个边上植树，三个边的长度分别为156米、186米、234米，树与树之间的距离均为6米，三个角上都必须栽一棵树，问共需植树多少棵? A93 B95 C96 D99 【答案】C【解题关键点】三角地带的三边组成一个三角形，构成一条闭合线，则一共植树（156+186+234）6=96棵。 从植树问题中可以衍生出一些其他问题，如锯木、锯钢管等，其运算实质同植树问题是一致的。 【例】把一根钢管锯成5段需要8分钟，如果把同样的钢管锯成20段需要多少分钟？ A.32分钟 B.38分钟 C.40分钟 D.152分钟 【答案】B【解题关键点】把钢管锯成5段相当于种五棵树，它们的间距有5-1=4个，则需要锯4次，每次需要84=2分钟，那么，把钢管锯成20段需要锯19次，共需要192=38分钟。 【例】用10张同样长的纸条，粘接成一条长61厘米的纸条，如果每个接头处都重叠1厘米，那么每条纸条长多少厘米？ A6 B6.5 C7 D7.5 【答案】C【解题关键点】粘结时10张个纸条相当于种10棵树，它们的间距有10-1=9个，共有10-1=9个接头，则如果设每张纸条为x厘米，可以列方程：10x-19=61，x=7厘米。日期问题一、 解答题2、基本日期问题例1：2005年7月1日为星期五，那么2008年7月1日是星期几？（:）A星期三B星期四 C星期五D星期六【答案】D【解题关键点】两个日期相差3365+1=1096天，也就是156个星期零4天，所以2008两7月1日是星期二。【结束】3、基本日期问题例3：某年2月有五个星期日，请问这年的6月1日是星期几？A.星期一B.星期三C.星期二D.星期日【答案】C【解题关键点】2月的天数是28天或29天，由于有五个星期日，说明2月1日和2月29日都是星期日。从3月1日算起至6月1日共有31+30+31+1=93（天），93=713十2，所以6月1日刚好是星期日过2天.为星期二。【结束】5、日期中的平、闰年例1：2006 年 8 月 1 号星期二，问 2008 年 8 月 1 号星期几？【答案】星期五。【解题关键点】07 年平年加1，08年闰年加 2 就很容易地计算出是星期五。注意：以 “ 00 ” 结尾的年份，能被 400 整除的才是闰年，其余能被 4 整除的是闰年；星期：星期7天一循环，一年约52个星期（所以有“幸运52”），还要注意是平年的2月还是闰年的2月，若是闰年的，还要注意该2月是否包含在计算期间内。【结束】7、日期中的公倍数例1：三位采购员定期去某商店，小王每隔9天去一次，大刘每隔11天去一次，老杨每隔7天去一次，三人星期二第一次在商店相会，下次相会是星期几?A星期一 B星期二 C星期三 D星期四【答案】选择C。【解题关键点】此题乍看上去是求9，11，7的最小公倍数的问题，但这里有一个关键词，即“每隔”，“每隔9天”也即“每10天”，所以此题实际上是求10，12，8的最小公倍数。10，12，8的最小公倍数为52232120。120717余1，所以，下一次相会则是在星期三，选择C。【结束】8、日期中的公倍数例2：甲每5天进城一次，乙每9天进城一次，丙每12天进城一次，某天三人在城里相遇，那么下次相遇至少要： A60天 B180天 C540天 D1620天 【答案】选择B。【解题关键点】下次相遇要多少天，也即求5，9，12的最小公倍数，可用代入法，也可直接求。显然5，9，12的最小公倍数为5334180。所以，答案为B。【结束】9、日期中的公倍数例3：甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次。5月18日，四个人恰好在图书馆相遇，则下一次相遇的时间为（）。A.10月18日B.10月14日C.11月18日D.11月14日【答案】答案：D。【解题关键点】这道题搞清楚两点就容易求解：第一，所谓每隔几天去一次的含义是，每（n+1）天去一次，因此题目的条件可以变为“甲每6天去一次，乙每12天去一次，丙每18天去一次，丁萄30天去一次。”第二，需要考虑5、7、8、10四个月有31天。6、12、18、30四个数的最小公倍数为180，因此再过180天，四个人才能够再在图书馆相遇。5月18日之后180天是11月14日。【结束】过河问题基础学习一、 解答题2、过河问题例1：有3个土匪和3个警察要划船过河，每次最多只能在两个人过河，并且当土匪人数多于警察人数时，警察就会有生命危险，则所有人都过河需要划船来回共多少回？（来回算2趟）【答案】13趟。【解题关键点】1警 1匪去 1警回2警去 1警回2匪去 1匪回2警去 1警 1匪回2警去 1匪回2匪去 1匪回2匪去在这里警察是弱者需要保护，一共需要13趟【结束】3、过河问题例2： 有37名红军战士渡河，现仅有一只小船，每次只能载5人，需要几次才能渡完？（）A. 7次 B. 8次 C. 9次 D. 10次【答案】9次。【解题关键点】，根据公式：9次。【结束】牛吃草问题基础学习一、 解答题2、牛吃草基础例1：两个运动员逆着自动扶梯行驶的方向行走，A每秒可走5级阶梯，B每秒可走4级阶梯。从扶梯的一端走到另一端，A用时200秒，B用时比A多两倍，那么该扶梯共多少级阶梯？（）A300B400 C500D600【答案】A【解题关键点】根据题意，运动员走阶梯的速度行走的时间=扶梯的具体数+扶梯行走的速度行走的时间。这是牛吃草问题的扩展，扶梯的阶数是“原有的草量”，运动员走阶梯的速度就是“牛的头数”，扶梯行走的速度就是“草的增长速度”。可以直接应用牛吃草问题的公式，扶梯每秒下降的级数是4200（2+1）-5200200（2+1）-200=3.5级，扶梯的级数为（5-3.5）200=300级。【结束】3、牛吃草基础例2：有三块草地，面积分别是4亩、8亩、10亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快，第一块草地可供24头牛吃6周，第二块地可供36头牛吃12周。问第三块草地可供50头牛吃几周？（）A6B9 C3D7【答案】B【解题关键点】牛吃草问题。每周每亩草地的生长量为，每亩草地原有牧草2464-36=18，那么可供50头牛吃周。【结束】4、牛吃草基础例3：有三块草地，面积分别是5、15、24亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快，第一块草地可供10头牛吃30天，第二块地可供28头牛吃45天。问第三块草地可供多少头牛吃80天？（）A42B60 C54D72【答案】A【解题关键点】牛吃草问题。每天每亩草地的生长量为（284515-103015）（45-30）=1.6，每亩地的原始草量为10305-1.630=12，则24亩地80天一共有的草量为1224+1.68024=3360.则可供牛的头数为336080=42头。【结束】5、标准的牛吃草问题例1：牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？【答案】5天。【解题关键点】与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量。总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的。下面，就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量。设1头牛一天吃的草为1份。那么，10头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛10天吃150份，草也被吃完。前者的总草量是200份，后者的总草量是150份，前者是原有的草加 20天新长出的草，后者是原有的草加10天新长出的草。20015050（份），201010（天），说明牧场10天长草50份，1天长草5份。也就是说，5头牛专吃新长出来的草刚好吃完，5头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草。由此得出，牧场上原有草（l05） 20100（份）或（155）10100（份）。现在已经知道原有草100份，每天新长出草5份。当有25头牛时，其中的5头专吃新长出来的草，剩下的20头吃原有的草，吃完需100205（天）。所以，这片草地可供25头牛吃5天。在例1的解法中要注意三点：（1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的。（2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量。（3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天。【结束】6、草地不同的牛吃草问题例1：地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块草地可供多少牛吃80天？（ ）A.7 B.8 C.12 D.15【答案】A【解题关键点】草地的面积不同，因此每天的长草量和最初的草量都不一样。为了方便计算，应该把草地单位化，计算每一亩草地牛吃草的情况。可将原问题化为标准问题：“一亩草地可以供头牛吃30天，头牛吃45天，那么可以供多少头牛吃80天？”设每头牛每天吃的草量为1，则一亩草地每天的长草量为，一亩草地最初的草量为，因此可以供头牛吃80天。24亩草地可以供头牛吃80天。【结束】7、吃草动物不同的牛吃草问题例1：牧草有一片青草，每天生长速度相同。现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天，如果一头牛一天吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？（ ）A.7 B.8 C.12 D.15【答案】B【解题关键点】题干中存在两种动物，计算时很不方便，根据“一头牛一天吃草量等于4只羊一天的吃草量”，将所有动物转化为牛，从而将原问题转化为标准问题：“牧场有一片青草，每天生成速度相同。现在这片牧场可供16头牛吃20天，或者供20头牛吃12天，那么25头牛一起吃可以吃多少天？”设每头牛每天的吃草量为1，则每天的长草量为，故牧草原有的草量为，故可供25头牛吃天。【结束】8、草量持续减少的牛吃草问题例1：由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不增长，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？（）A. B. C. D.【答案】B【解题关键点】此题的主要特点是每天草量没有增加，反而减少，即每天的长草量为负值，可直接根据标准问题的解法来解答。假设每头牛每天所吃的草量为，则每天的长草量为，故牧草原有的草量为。故可以提供头牛吃10天。【结束】9、牧草吃不完的牛吃草问题例1：有一片牧场，24头牛6天可以将草吃完，21头牛8天可以将草吃完，要使牧草永远吃不完，至多可以放多少头牛？（ ）A.8 B.10 C.12 D.14【答案】C【解题关键点】要使牧草永远吃不完，那么牛最多只能吃完每天所长的草量。设每头牛每天吃的草量为1，则每天生长的草量为，可最多供12头牛吃1天，因此要使牧草永远吃不完，至多可放12头牛。【结束】鸡兔同笼问题基础学习一、解答题3、一般鸡兔同笼例1：鸡兔同笼，共17个头，42条腿。问：鸡有几只，兔有几只？【答案】4只，13只【解题关键点】不加注的都是鸡兔同笼模板，套公式兔：（42-172）/2=4只； 鸡： 17-4=13只【结束】4、一般鸡兔同笼例2：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚，鸡和兔各有几只？ 【答案】兔有5只，鸡有3只。【解题关键点】解法1：假设的方法。如果假设笼子里都是鸡，就有82=16只脚，这样就多出2616=10只脚，一只兔比一只鸡多2只脚，也就是有102=5只兔。所以笼子里有3只鸡，5只兔。解法2：如果假设笼子里都是兔，那么也可以列式：鸡：（8426）（42）=3（只） 兔：83=5（只）解法3：用方程解的。解：设兔有x只，那么就有（8 x）只鸡，鸡兔共有26只脚，就是4x2（8x）=262x+16=26x=585=3（只）【结束】5、另一类，“三者同笼”问题【答案】1：把他们看成一个整体，把3者间的关系，转换成2类物体间谍关系2 ：三个未知数列三个方程【结束】6、另一类鸡兔同笼例1：有蜘蛛，蜻蜓，蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，2对翅膀；蝉6条腿，1对翅膀），三种动物各几只？【答案】蜘蛛是5只，蜻蜓是7只，蝉是6只。【解题关键点】方程假设蜘蛛为x，蜻蜓为y，蝉为Z那么 x+y+z=188x+6y+6z=1182y+z=20由此算出 x=5 y=7 z=6 所以 蜘蛛是5只，蜻蜓是7只，蝉是6只。【结束】等问题一、解答题1、统筹问题【答案】在前面有【结束】3、周期问题例1：有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？【答案】红花有50朵，黄花有82朵，绿花有117朵。【解题关键点】这些花按5红、9黄、13绿的顺序轮流排列，它的一个周期内有5+9+13=27（朵）花。因为24927=96，所以，这249朵花中含有9个周期还余下6朵花。按花的排列规律，这6朵花中前5朵应是红花，最后一朵应是黄花。249（5+9+13）=96红花有：59+5=50（朵）；黄花有：99+1=82（朵）；绿花有：139=117（朵）；最后一朵是黄花。红花有50朵，黄花有82朵，绿花有117朵。【结束】4、周期问题例2：甲每4天进城一次，乙每7天进城一次，丙每12天进城一次，某天三人在城里相遇，那么三人下次相遇至少需要多少天？（）A.12天 B.28天 C.84天 D.336天【答案】C【解题关键点】此题中要想到天数为整数天，假设在X天的时候三个人都碰上，那么都是整数，即4，7，12三个数的最小公倍数为84，故选C。【结束】5、周期问题例3： 甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出 一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果丙的钱 最多；最后丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原来增加了两倍，结果三人钱数一样多了。如果他们三人共有 81 元，那么三人 原来的钱分别是多少元？【答案】甲55元，乙19元，丙7元.【解题关键点】三人最后一样多，所以都是 813=27 元，然后我们开始还原：甲和乙把钱还给丙：每人增加 2 倍，就应该是原来的 3 倍，所以甲 和乙都是 273=9，丙是 81-9-9=63； 甲和丙把钱还给乙：甲 93=3，丙 633=21，乙 81-3-21=57；最后是乙和丙把钱还给甲：乙573=19，丙 213=7，甲 81-19-7=55 元.【结束】7、爬井问题例1：青蛙在井底向上爬，井深10米，青蛙每次跳上5米，又滑下来4米，象这样青蛙需跳几次方可出井？A.6次 B.5次 C.9次 D.10次【答案】答案为A。【解题关键点】考生不要被题中的枝节所蒙蔽，每次上5米下4米实际上就是每次跳1米，因此10米花10次就可全部跳出。这样想就错了。因为跳到一定时候，就出了井口，不再下滑。【结束】8、爬井问题例2：井底有一只蜗牛要爬出10米高的井，他每天向上爬3米后回滑下2米，这样连续几天才能爬到井口？【答案】8天。【解题关键点】这只蜗牛向上爬3米后回滑下2米，实际每天只向上爬了3-2=1米，但在最后一天不需要回滑爬了3米，这样就需要先去掉最后一天爬的剩下10-3=7米，再用71=7天。也就是前面7天爬了7米，剩下3米，第8天，向上爬3米就到了。【结束】10、上下楼梯问题例1：A、B二人比赛爬楼梯，A跑到4层楼时，B恰好跑到3层楼，照这样计算，A跑到16层楼时，B跑到几层楼？【答案】11（层）。【解题关键点】法一：方程法，日常生活中我们晓得一个人爬到n层楼时，他们通过了层楼梯。通过观察题目可以看出A爬到4层楼的时间跟B爬3到层楼的时间是一样的，假设A的速度是，B的速度是那么即。当A爬到16层的时候，A爬了15层的楼梯，即B爬的层数,可得S=10.所以B爬到了11层。法二：观察分析题目，由A上到4层楼时，B上到3层楼知，A上3层楼梯，B上2层楼梯。那么，A上到16层时共上了15层楼梯，因此B上25=10个楼梯，所以B上到101=11（层）。【结束】11、上下楼梯问题例2：一个人上楼，边走边数太阶，从一楼走到四楼，一共走了54级台阶，如果每层楼之间的台阶数相同，他一直要走到八楼，问他从一楼到八楼一共要走多少级台阶？（）A126B120 C114D108【答案】A【解题关键点】从一楼到四楼一共走了3段台阶，则每段台阶为543=18级，要从一楼到八楼要走7段台阶，需要走187=126级台阶。【结束】12、上下楼梯问题例3：十阶楼梯，小张每次只能走一阶或者两阶，请问走完此楼梯共有多少种方法?A.55 B.67 C.74 D.89【答案】D【解题关键点】我们从简单的列表着手：楼梯阶数（n）12345678910走完楼梯的方法数（）123561321545589从表格可以看出随着楼梯阶数的增多，走完楼梯的方法数也是随之增多的。我们把楼梯的阶数看成n，走完楼梯的方法数为，那么我们不难看出，这就是我们的递推公式。当我们晓得了这个递推公式以后就可以一步一步的求出我们所要的结果。【结束】13、上下楼梯问题例4：商场的自动扶梯匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下，如果单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当扶梯静止下来后可以看到扶梯的级数有（ ）。A.40级 B.50级 C.60级 D.70级【答案】C【解题关键点】法一：方程法，由题目可知男生走的级数比扶梯静止可以看到的级数要多，女孩在扶梯的帮助下走的级数要比扶梯静止时能看到的级数要少。设男孩、女孩和扶梯的速度分别为、,扶梯静止时的级数为x，所以。，从而可以求出。法二：有题可知，男孩和女孩所走的路程比为，而且根据题目可知男孩的速度是女孩的两倍，至此我们知道男孩和女孩的路程比等于速度比，说明他们走扶梯所用的时间是相等的，也是说明扶梯给男孩和女孩的“帮忙”时间是相等的，又因为扶梯的速度一定，进而可以推出扶梯让男孩相对于静止扶梯级数多走的路程和扶梯让女孩相对于静止扶梯少走的路程是相等的，因此男孩和女孩一共走的路程就是扶梯静止的时候能看到的级数的两倍，即80+40=120.所以扶梯静止时能看到的级数为60.【结束】15、过桥（隧道）问题例1：某列火车通过360米的第一个隧道用了24秒钟，接着通过第二个长216米的隧道用了16秒钟，求这列火车的长度？【答案】72米。【解题关键点】 法一： 方程法，设火车的速度为v火车的长度为l，我们知道火车通过隧道的路程等于火车长度与隧道长度的和。所以, ,从而可以算出火车的长度.法二：火车通过第一个隧道比通过第二个隧道多用了8秒，为什么多用8秒呢？原因是第一个隧道比第二个隧道长360216 = 144（米），这144米正好和8秒相对应，这样可以求出车速。火车24秒行进的路程包括隧道长和火车长，减去已知的隧道长，就是火车长。（1）第一个隧道比第二个长多少米？360216 = 144（米）（2）火车通过第一个隧道比第二个多用几秒？ 2416 = 8（秒）（3）火车每秒行多少米？1448 = 18（米）（4）火车24秒行多少米？1824 = 432（米）（5）火车长多少米？432360 = 72（米）答：这列火车长72米。【结束】17、打折和增减问题例1：某商品按定价的八折出售，仍能获得20%的利润，定价时期望的利润率是（）。A50%B40% C30%D20%【答案】A【解题关键点】设成本为1，假设期望的利润率为x%，可以得到（1+x%）80%=1+20%，解得x%=50%。【结束】18、打折和增减问题例2：一种商品，按期望得到50的利润来定价。结果只销售掉70商品，为尽早销掉剩下的商品，商店决定按定价打折出售。这样获得的全部利润，是原来所期望利润的82问打了几折？【答案】8折。【解题关键点】假设成本为x，打折a，则定价为1.5x，期望利润为0.5x，所以（0.7*0.5x+（1.5ax-x）*30%）/0.5x=0.82，求得a=0.8【结束】20、页码问题例1：呆虫虫有一本400页的昆虫百科全书，请问出现数字9的次数有几次？【答案】80次【解题关键点】在解题是我们要注意到99这种数字相当 与9出现了两次。解法一：1到99页，20次100到199页，20次200到299页，20次300到399页，20所以这本书出现数字9的次数：204=80次解法二：排列组合法看成000到399百位为9时，不存在十位为9时，百位能取0、1、2、3，个位能取0到9，故有410=40次个位为9时，百位能取0、1、2、3，十位能取0到9，故有410=40次所以这本书出现数字1的次数有： 40+40=80次【结束】21、页码问题例2：逆流有一本678页的致富百科全书，请问出现数字6的次数有几次？【答案】217次【解题关键点】解法一：1到99页，20次100到199页，20次200到299页，20次300到399页，20次400到499页，20次500到599页，20次600到678页，百位是6的有79次，去掉百位看十位，十位是6的有10次，个位是6的有8次所以这本书出现数字6的次数：206+79+10+8=217