3.1.1变化率问题.pptx

变化率问题与导数的概念 第1课时 1 通过物理中的变化率问题和瞬时速度引入导数的概念 2 掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤 3 通过构建导数概念 使学生体会极限思想 为将来学习极限概念积累学习经验 4 通过导数概念的教学教程 使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程 借助多媒体播放2012年伦敦奥运会中国跳水运动员陈若琳夺得女子单人10米跳台冠军的视频 上节课我们已经学习了平均变化率的问题 我们知道运动员的平均速度不一定能够反映她在某一时刻的运动状态 而运动员在不同时刻的运动状态是不同的 我们需要借助于瞬时速度这样的量来刻画 那么我们如何才能求出运动员在某一时刻的瞬时速度呢 根据以上情境 设陈若琳相对于水面的高度h 单位 m 与起跳后的时间t 单位 s 存在函数关系h t 4 9t2 6 5t 10 如果用她在某段时间内的平均速度描述其运动状态 那么 1 在0 t 0 5这段时间里 运动员的平均速度 2 在1 t 2这段时间里 运动员的平均速度 函数y f x 从x1到x2的平均变化率公式是 如果用x1与增量 x表示 平均变化率的公式是 在导数的定义中 对 x 0的理解是 x 0 x 0 但 1 A 设函数f x x2 1 当自变量x由1变为1 1时 函数的平均变化率为 A 2 1B 1 1C 2D 0 解析 1 1 1 1 1 1 0 210 1 2 1 C 2 已知函数f x 2x2 4的图象上一点 1 2 及邻近一点 1 x 2 y 则 等于 A 4B 4 xC 4 2 xD 4 2 x 2 解析 1 1 1 1 2 1 2 2 4 2 x 3 一质点按规律s t 2t2运动 则在t 2时的瞬时速度为 8 4 求y 2x2 4x在点x 3处的导数 求平均变化率 已知函数f x 2x2 3x 5 1 求当x1 4且 x 1时 函数增量 y和平均变化率 2 求当x1 4且 x 0 1时 函数增量 y和平均变化率 解析 因为f x 2x2 3x 5 所以 y f x1 x f x1 2 x1 x 2 3 x1 x 5 2 12 3x1 5 2 x 2 2 xx1 3 x 2 x 2 4x1 3 x 1 当x1 4 x 1时 y 2 12 4 4 3 1 21 所以 211 21 2 当x1 4 x 0 1时 y 2 0 12 4 4 3 0 1 1 92 所以 1 920 1 19 2 求物体运动的瞬时速度 利用导数的概念计算导数 已知函数f x 2x2 3x 1 试求f 2 解析 法一 因为 y f 2 x f 2 2 2 x 2 3 2 x 1 2 22 3 2 1 2 x 2 11 x 所以 y x 2 x 2 11 x x 2 x 11 所以f 2 x 0 lim 0 2 x 11 11 法二 f x lim 0 lim 02 2 3 x 1 2 2 3x 1 lim 02 2 4x 3 lim 0 2 x 4x 3 4x 3 所以f 2 2 4 3 11 1 一物体的运动方程是s 3 t2 则该物体在t 2 2 1 内的平均速度为 A 0 41B 3C 4D 4 1 解析 v s t s 2 1 s 2 2 1 2 3 2 12 3 22 2 1 2 4 1 D 2 函数y 1 3x在x 2处的导数为 A 3B 2C 5D 1 解析 y f 2 x f 2 3 x y x 3 x 0 3 A 3 已知曲线y f x 2x2 4x在点P处的切线斜率为16 则点P的坐标为 解析 设P x0 2 02 4x0 则f x0 lim 0f x0 x f x0 x x 02 2 4 0 4 4x0 4 又f x0 16 所以4x0 4 16 得x0 3 即点P的坐标为 3 30 3 30 4 已知函数f x 2x 1 g x 2x 分别计算在下列区间上f x 及g x 的平均变化率 1 3 1 2 0 5 解析 1 函数f x 在区间 3 1 上的平均变化率为 1 3 1 3 2 1 1 2 3 1 2 2 函数g x 在区间 3 1 上的平均变化率为 1 3 1 3 2 1 2 3 2 2 2 函数f x 在区间 0 5 上的平均变化率为 5 0 5 0 2 5 1 2 0 1 5 2 函数g x 在区间 0 5 上的平均变化率为 5 0 5 0 2 5 2 05 2 若一物体运动方程如下 s 3 2 2 t 3 29 3 3 2 0 t 3 位移单位 m 时间单位 s 求 1 物体在t 3 5 内的平均速度 2 物体的初速度 3 物体在t 1时的瞬时速度 解析 1 因为物体在t 3 5 内的时间变化量为 t 5 3 2 物体在t 3 5 内的位移变化量为 s 3 52 2 3 32 2 48 所以物体在t 3 5 内的平均速度为 482 24 m s 2 求物体的初速度 即求物体在t 0时的瞬时速度 因为物体在t 0附近的平均变化率为 0 0 29 3 0 3 2 29 3 0 3 2 3 t 18 所以当 t趋于0时 趋于 18 所以物体在t 0时的瞬时变化率为 18 即物体的初速度为 18m s 3 物体在t 1时的瞬时速度 即为函数在t 1