2009年高考数学试题分类汇编——三角函数.doc

2009 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编 三角函数三角函数 一 选择题 1 2009 年广东卷文 已知中 的对边分别为若ABC CBA a b c 且 则 62ac 75A o b A 2 B 4 C 4 D 2 32 362 答案 A 解析 0000000 26 sinsin75sin 3045 sin30 cos45sin45 cos30 4 A 由可知 所以 62ac 0 75C 0 30B 1 sin 2 B 由正弦定理得 故选 A 261 sin2 sin226 4 a bB A 2 2009 年广东卷文 函数是 1 4 cos2 2 xy A 最小正周期为的奇函数 B 最小正周期为的偶函数 C 最小正周期为的奇函数 D 最小正周期为的偶函数 2 2 答案 A 解析 因为为奇函数 所以选 A 2 2cos 1cos 2sin2 42 yxxx 2 2 T 3 2009 全国卷 理 如果函数的图像关于点中心对称 那么 cos 2yx 3 4 3 0 的最小值为 C A B C D 6 4 3 2 解 函数的图像关于点中心对称 cos 2yx 3 4 3 0 由此易得 故选 C 4 2 3 k 4 2 3 kkZ min 3 4 2009 全国卷 理 若 则函数的最大值为 42 x 3 tan2 tanyxx 解 令 tan xt 1 42 xt 44 3 22 2 422 2tan2222 tan2 tan8 111111 1tan1 244 xt yxx xt ttt 5 2009 浙江理 已知是实数 则函数的图象不可能是 a 1sinf xaax 答案 D 解析 对于振幅大于 1 时 三角函数的周期为 而 D 不符合要 2 1 2TaT a 求 它的振幅大于 1 但周期反而大于了 2 6 2009 浙江文 已知是实数 则函数的图象不可能是 w w w zxxk c o m a 1sinf xaax D 命题意图 此题是一个考查三角函数图象的问题 但考查的知识点因含有参数而丰富 结合图形考查使得所考查的问题形象而富有深度 解析 对于振幅大于 1 时 三角函数的周期为 而 D 不符合要 2 1 2TaT a 求 它的振幅大于 1 但周期反而大于了 2 7 2009 北京文 是 的 6 1 cos2 2 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案答案 A w 解析解析 本题主要考查 k本题主要考查三角函数的基本概念 简易逻辑中充要条件的判断 属 于基础知识 基本运算的考查 当时 6 1 cos2cos 32 反之 当时 有 1 cos2 2 22 36 kkkZ 或 故应选 A w w w zxxk c o m 22 36 kkkZ 8 2009 北京理 是 的 2 6 kkZ 1 cos2 2 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案答案 A 解析解析 本题主要考查三角函数的基本概念 简易逻辑中充要条件的判断 属于基础知识 基本运算的考查 当时 2 6 kkZ 1 cos2cos 4cos 332 k 反之 当时 有 1 cos2 2 22 36 kkkZ 或 故应选 A 22 36 kkkZ 9 2009 山东卷理 将函数的图象向左平移个单位 再向上平移 1 个单位 所得图sin2yx 4 象的函数解析式是 A B C D cos2yx 2 2cosyx 4 2sin 1 xy 2 2sinyx 解析 将函数的图象向左平移个单位 得到函数即sin2yx 4 sin2 4 yx 的图象 再向上平移 1 个单位 所得图象的函数解析式为sin 2 cos2 2 yxx 故选 B 2 1 cos22cosyxx 答案 B 命题立意 本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式 的基本知识和基本技能 学会公式的变形 10 2009 山东卷文 将函数的图象向左平移个单位 再向上平移 1 个单位 所得sin2yx 4 图象的函数解析式是 A B C D 2 2cosyx 2 2sinyx 4 2sin 1 xycos2yx 解析 将函数的图象向左平移个单位 得到函数即sin2yx 4 sin2 4 yx 的图象 再向上平移 1 个单位 所得图象的函数解析式为sin 2 cos2 2 yxx 故选 A 2 1 cos22cosyxx 答案 A 命题立意 本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式 的基本知识和基本技能 学会公式的变形 11 2009 全国卷 文 已知 ABC 中 则 12 cot 5 A cos A A B C D 12 13 5 13 5 13 12 13 答案 答案 D 解析 本题考查同角三角函数关系应用能力 先由解析 本题考查同角三角函数关系应用能力 先由 cotA 知知 A 为钝角 为钝角 cosA0 0 0 x 0 4 的图象 且图象的最高点为 S 3 2 赛道的后一部分为折线段 MNP 为保证参赛3 运动员的安全 限定MNP 120 o I 求 A 的值和 M P 两点间的距离 II 应如何设计 才能使折线段赛道 MNP 最长 18 本小题主要考查三角函数的图象与性质 解三角形等基础知识 考查运算求解能力以及应 用数学知识分析和解决实际问题的能力 考查化归与转化思想 数形结合思想 解法一 依题意 有 又 2 3A 3 4 T 2 T 6 2 3sin 6 yx 当 是 4x 2 2 3sin3 3 y 又 4 3 M 8 3 p 22 435MP 在 MNP 中 MNP 120 MP 5 设 PMN 则 0 60 由正弦定理得 00 sinsin120sin 60 MPNPMN 10 3 sin 3 NP 0 10 3 sin 60 3 MN 故 0 10 310 310 3 13 sinsin 60 sincos 33323 NPMN 0 10 3 sin 60 3 0 60 当 30 时 折线段赛道 MNP 最长 亦即 将 PMN 设计为 30 时 折线段道 MNP 最长 解法二 同解法一 在 MNP 中 MNP 120 MP 5 由余弦定理得 MNP 22 2cosMNNPMN NP AA 2 MP 即 22 25MNNPMN NP A 故 22 25 2 MNNP MNNPMN NP A 从而 即 2 3 25 4 MNNP 10 3 3 MNNP 当且仅当时 折线段道 MNP 最长MNNP 注 本题第 问答案及其呈现方式均不唯一 除了解法一 解法二给出的两种设计方式 还可以设计为 点 N 在线段 MP 的垂直平 123 94 3 26 N 123 94 3 26 N 分线上等 21 2009 辽宁卷文 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 如图 A B C D 都在同一个与水平面垂直的平面内 B D 为两岛上的两座灯塔的塔顶 测量 船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角 0 75 0 30 均为 AC 0 1km 试探究图中 B D 间距离与另外哪两点距离相等 然后求 B D 的距离 0 60 计算结果精确到 0 01km 1 414 2 449 2 6 18 解 在中 30 60 30 ACD DAC ADC DAC 所以 CD AC 0 1 又 180 60 60 60 BCD 故 CB 是底边 AD 的中垂线 所以 BD BA 5 分CAD 在中 ABC ABC AC BCA AB sinsin 即 AB 20 623 51sin 60sin AC 因此 km33 0 20 623 BD 故 B D 的距离约为 0 33km 12 分 22 2009 辽宁卷理 本小题满分 12 分 如图 A B C D 都在同一个与水平面垂直的平面内 B D 为两岛上的两座灯塔的塔顶 测量 船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角 0 75 0 30 均为 AC 0 1km 试探究图中 B D 间距离与另外哪两点间距离相等 然后求 B D 的距 0 60 离 计算结果精确到 0 01km 1 414 2 449 2 6 17 解 在 ABC 中 DAC 30 ADC 60 DAC 30 所以 CD AC 0 1 又 BCD 180 60 60 60 故 CB 是 CAD 底边 AD 的中垂线 所以 BD BA 5 分 在 ABC 中 ABCsin C BCAsin AAB 即 AB 20 623 15sin ACsin60 因此 BD km33 0 20 623 故 B D 的距离约为 0 33km 12 分 23 2009 宁夏海南卷理 本小题满分 12 分 为了测量两山顶 M N 间的距离 飞机沿水平方向在 A B 两点进行测量 A B M N 在 同一个铅垂平面内 如示意图 飞机能够测量的数据有俯角和 A B 间的距离 请设计一个 方案 包括 指出需要测量的数据 用字母表示 并在图中标出 用文字和公式写出 计算 M N 间的距离的步骤 17 解 方案一 需要测量的数据有 A 点到 M N 点的俯角 B 点到 M N 的俯角 A B 的距离 d 如图所示 3 分 22 第一步 计算 AM 由正弦定理 2 12 sin sin d AM 第二步 计算 AN 由正弦定理 2 21 sin sin d AN 第三步 计算 MN 由余弦定理 22 11 2cos MNAMANAMAN 方案二 需要测量的数据有 A 点到 M N 点的俯角 B 点到 M N 点的府角 A B 的距离 d 如 1 1 2 2 图所示 第一步 计算 BM 由正弦定理 1 12 sin sin d BM 第二步 计算 BN 由正弦定理 1 21 sin sin d BN 第三步 计算 MN 由余弦定理 22 22 2cos MNBMBNBMBN 24 2009 陕西卷文 本小题满分 12 分 已知函数 其中 的周期为 且图 sin f xAxxR 0 0 0 2 A 象上一个最低点为 2 2 3 M 求的解析式 当 求的最值 f x 0 12 x f x 解析 1 由最低点为 由 2 2 2 3 MA 得 22 2T T 得 由点在图像上得即 2 2 3 M 4 2sin 2 3 4 sin 1 3 所以故 4 2 32 k 11 2 6 kkZ 又 所以所以 0 2 6 2sin 2 6 f xx 因为 0 2 1266 3 xx 所以当时 即 x 0 时 f x 取得最小值 1 2x 66 11 6312 xf x 当2x 即时 取得最大值3 25 2009 陕西卷理 本小题满分 12 分 已知函数 其中 的图象与 x 轴的交 sin f xAxxR 0 0 0 2 A 点中 相邻两个交点之间的距离为 且图象上一个最低点为 2 2 2 3 M 求的解析式 当 求的值域 f x 12 2 x f x 17 解 1 由最低点为得 A 2 2 2 3 M 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为得 即 2 2 T 2 T 22 2 T 由点在图像上的 2 2 3 M 24 2sin 2 2 1 33 即si n 故 w w w zxxk c o m 4 2 32 kkZ 11 2 6 k 又 0 2sin 2 266 f xx 故 2 7 2 12 2636 xx 当 即时 取得最大值 2 当2 6 x 2 6 x f x 7 2 66 x 即时 取得最小值 1 故的值域为 1 2 w w w zxxk c o m 2 x f x f x 26 2009 四川卷文 本小题满分 12 分 在中 为锐角 角所对的边分别为 且ABC AB ABC abc 510 sin sin 510 AB 错误 未找到引用源 错误 未找到引用源 求的值 AB 错误 未找到引用源 错误 未找到引用源 若 求的值 w w w zxxk c o m 21ab abc 解析解析 错误 未找到引用源 错误 未找到引用源 为锐角 AB 510 sin sin 510 AB 22 2 53 10 cos1 sin cos1 sin 510 AABB 2 53 105102 cos coscossinsin 5105102 ABABAB 0AB 6 分 4 AB 错误 未找到引用源 错误 未找到引用源 由 错误 未找到引用源 错误 未找到引用源 知 3 4 C 2 sin 2 C 由得 sinsinsin abc ABC 即5102abc 2 5ab cb 又 w w w zxxk c o m 21ab 221bb 1b 12 分2 5ac 27 2009 湖北卷文 本小题满分 12 分 在锐角 ABC 中 a b c 分别为角 A B C 所对的边 且Acasin23 确定角 C 的大小 若 c 且 ABC 的面积为 求 a b 的值 7 2 33 解 1 由及正弦定理得 w w w zxxk c o m 32 sinacA 2sinsin sin3 aAA cC 3 sin0 sin 2 AC Q 是锐角三角形 ABC Q 3 C 2 解法 1 由面积公式得7 3 cC Q 13 3 sin 6 232 abab 即 由余弦定理得w w w zxxk c o m 2222 2cos7 7 3 abababab 即 由 变形得25 5ab 2 a b 故 解法 2 前同解法 1 联立 得 2222 7 66 ababab abab 消去 b 并整理得解得 42 13360aa 22 49aa 或 所以故 w w w zxxk c o m 23 32 aa bb 或5ab 28 2009 宁夏海南卷文 本小题满分 12 分 如图 为了解某海域海底构造 在海平面内一条直线上的 A B C 三点 进行测量 已知 于 A 处测得水深50ABm 120BCm 于 B 处测得水深 于 C 处测得水深80ADm 200BEm 求 DEF 的余弦值 110CFm 17 解 作交 BE 于 N 交 CF 于 M w w w zxxk c o m DMAC 2222 3017010 198DFMFDM 2222 50120130DEDNEN 6 分 2222 90120150EFBEFCBC 在中 由余弦定理 DEF 222222 1301501029816 cos 22 130 15065 DEEFDF DEF DEEF 12 分 29 2009 湖南卷理 本小题满分 12 分 w w w zxxk c o m 在 已知 求角 A B C 的大小 ABC 2 233AB ACABACBC 解 设 BCa ACb ABc 由得 所以23AB ACABAC 2cos3bcAbc 3 cos 2 A 又因此 0 A 6 A 由得 于是 2 33ABACBC 2 3bca 2 3 sinsin3sin 4 CBA 所以 因此 53 sinsin 64 CC 133 sin cossin 224 CCC 既 2 2sincos2 3sin3 sin23cos20CCCCC sin 2 0 3 C 由 A 知 所以 从而 6 5 0 6 C 3 4 2 33 C 或 既或故20 3 C 2 3 C 6 C 2 3 C 或 2 636 ABC 2 663 ABC 30 2009 天津卷理 本小题满分 12 分 在 ABC 中 BC AC 3 sinC 2sinA 5 I 求 AB 的值 II 求 sin的值 w w w zxxk c o m 2 4 A 本小题主要考查正弦定理 余弦定理 同角三角函数的基本关系 二倍角的正弦与余弦 两 角差的正弦等基础知识 考查基本运算能力 满分 12 分 解 在 ABC 中 根据正弦定理 A BC C AB sinsin 于是 AB 522 sin sin BCBC A C 解 在 ABC 中 根据余弦定理 得 cosA 5 52 2 222 ACAB BDACAB 于是 sinA 5 5 cos1 2 A 从而 sin2A 2sinAcosA cos2A cos2A sin2A w w w zxxk c o m 5 4 5 3 所以 sin 2A sin2Acos cos2Asin 4 4 4 10 2 31 2009 四川卷理 本小题满分 12 分 在中 为锐角 角所对应的边分别为 且ABCA A B A B C a b c 310 cos2 sin 510 AB 错误 未找到引用源 错误 未找到引用源 求的值 AB 错误 未找到引用源 错误 未找到引用源 若 求的值 21ab a b c 本小题主要考查同角三角函数间的关系 两角和差的三角函数 二倍角公式 正弦定理等 基础知识及基本运算能力 解 为锐角 A B 10 sin 10 B 2 3 10 cos1 sin 10 Bb 又 w w w zxxk c o m 2 3 cos21 2sin 5 AA 5 sin 5 A 2 2 5 cos1 sin 5 AA 2 53 105102 cos coscossinsin 5105102 ABABAB 0AB 6 分 4 AB 由 知 w w w zxxk c o m 3 4 C 2 sin 2 C 由正弦定理得 sinsinsin abc ABC 即 5102abc 2ab 5cb 21ab Q 221bb 1b 12 分2 5ac 32 2009 福建卷文 本小题满分 12 分 w w w zxxk c o m 已知函数其中 sin f xx 0 2 I 若求的值 coscos sinsin0 44 在 I 的条件下 若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于 求 f x 3 函数的解析式 并求最小正实数 使得函数的图像象左平移个单位所对应 f xm f xm 的函数是偶函数 解法一 I 由得 3 coscossinsin0 44 coscossinsin0 44 即又 w w w zxxk c o m cos 0 4 24 由 I 得 sin 4 f xx 依题意 23 T 又故 2 T 3 sin 3 4 f xx 函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为 f xm sin 3 4 g xxm 是偶函数当且仅当 g x3 42 mkkZ 即 312 k mkZ 从而 最小正实数 12 m 解法二 I 同解法一 由 I 得 sin 4 f xx 依题意 w w w zxxk c o m 23 T 又 故 2 T 3 sin 3 4 f xx 函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为 f xm sin 3 4 g xxm 是偶函数当且仅当对恒成立 g x gxg x xR 亦即对恒成立 sin 33 sin 33 44 xmxm xR sin 3 cos 3 cos 3 sin 3 44 xmxm sin3 cos 3 cos3 sin 3 44 xmxm 即对恒成立 2sin3 cos 3 0 4 xm xR cos 3 0 4 m 故3 42 mkkZ w w w zxxk c o m 312 k mkZ 从而 最小正实数 12 m 33 2009 重庆卷理 本小题满分 13 分 小问 7 分 小问 6 分 设函数 2 sin 2cos1 468 xx f x 求的最小正周期 f x 若函数与的图像关于直线对称 求当时 yg x yf x 1x 4 0 3 x 的最大值 yg x 解 f xsincoscossincos 46464 xxx 33 sincos 2424 xx w w w zxxk c o m 3sin 43 x 故的最小正周期为 T 8 f x 2 4 解法一 在的图象上任取一点 它关于的对称点 yg x x g x1x 2 x g x 由题设条件 点在的图象上 从而w w w zxxk c o m 2 x g x yf x 2 3sin 2 43 g xfxx 3sin 243 x 3cos 43 x 当时 因此在区间上的最大值为 3 0 4 x 2 3433 x yg x 4 0 3 w w w zxxk c o m max 3 3c