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2009 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编 函数函数 一 选择题 1 2009 年广东卷文 若函数 yf x 是函数1 x yaaa 0 且 的反函数 且 2 1f 则 f x A x 2 log B x 2 1 C x 2 1 log D 2 2 x 答案 A 解析 函数1 x yaaa 0 且 的反函数是 logaf xx 又 2 1f 即log 21 a 所以 2a 故 2 logf xx 选 A 2 2009 年广东卷文 函数 x exxf 3 的单调递增区间是 A 2 B 0 3 C 1 4 D 2 w w w zxxk c o m 答案 D 解析 3 3 2 xxx fxxexexe 令 0fx 解得2x 故选 D 3 2009 全国卷 理 已知直线 y x 1 与曲线yln xa 相切 则 的值为 B A 1 B 2 C 1 D 2 解 设切点 00 P xy 则 0000 ln1 yxayx 又 0 0 1 1 x x y xa 000 10 12xayxa 故答案选 B 4 2009 全国卷 理 函数 f x的定义域为 R 若 1 f x 与 1 f x 都是奇函数 则 D A f x是偶函数 B f x是奇函数 C 2 f xf x D 3 f x 是奇函数 解 1 f x 与 1 f x 都是奇函数 1 1 1 1 fxf xfxf x 函数 f x关于点 1 0 及点 1 0 对称 函数 f x是周期2 1 1 4T 的周期函 数 14 14 fxf x 3 3 fxf x 即 3 f x 是奇函数 故选 D 5 2009 浙江理 对于正实数 记M 为满足下述条件的函数 f x构成的集合 12 x x R且 21 xx 有 212121 xxf xf xxx 下列结论中正确的是 A 若 1 f xM 2 g xM 则 12 f xg xM B 若 1 f xM 2 g xM 且 0g x 则 1 2 f x M g x C 若 1 f xM 2 g xM 则 12 f xg xM w w w zxxk c o m D 若 1 f xM 2 g xM 且 12 则 12 f xg xM 答案 C 解析 对于 212121 xxf xf xxx 即有 21 21 f xf x xx 令 21 21 f xf x k xx 有k 不妨设 1 f xM 2 g xM 即有 11 f k 22g k 因此有 1212fg kk 因此有 12 f xg xM 6 2009 浙江文 若函数 2 a f xxa x R 则下列结论正确的是 A a R f x在 0 上是增函数w w w zxxk c o m B a R f x在 0 上是减函数 C a R f x是偶函数 D a R f x是奇函数 C 命题意图 此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识 通过对量词的考查 结合函数的性质进行了交汇设问 解析 对于0a 时有 2 f xx 是一个偶函数 7 2009 北京文 为了得到函数 3 lg 10 x y 的图像 只需把函数lgyx 的图像上所有的点 A 向左平移 3 个单位长度 再向上平移 1 个单位长度 B 向右平移 3 个单位长度 再向上平移 1 个单位长度 C 向左平移 3 个单位长度 再向下平移 1 个单位长度 D 向右平移 3 个单位长度 再向下平移 1 个单位长度 答案答案 C w 解析解析 本题主要考查函数图象的平移变换 属于基础知识 基本运算的考查 A lg31lg103yxx B lg31lg103yxx C 3 lg31lg 10 x yx D 3 lg31lg 10 x yx 故应选 C 8 2009 北京理 为了得到函数 3 lg 10 x y 的图像 只需把函数lgyx 的图像上所有的点 A 向左平移 3 个单位长度 再向上平移 1 个单位长度 B 向右平移 3 个单位长度 再向上平移 1 个单位长度 C 向左平移 3 个单位长度 再向下平移 1 个单位长度 D 向右平移 3 个单位长度 再向下平移 1 个单位长度 答案答案 C 解析解析 本题主要考查函数图象的平移变换 属于基础知识 基本运算的考查 w w w zxxk c o m A lg31lg103yxx B lg31lg103yxx C 3 lg31lg 10 x yx D 3 lg31lg 10 x yx 故应选 C 9 2009 山东卷理 函数 xx xx ee y ee 的图像大致为 解析 函数有意义 需使0 xx ee 其定义域为 0 xx 排除 C D 又因为 1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O 2 22 12 1 11 xxx xxxx eee y eeee 所以当0 x 时函数为减函数 故选 A 答案 A 命题立意 本题考查了函数的图象以及函数的定义域 值域 单调性等性质 本题的难点 在于给出的函数比较复杂 需要对其先变形 再在定义域内对其进行考察其余的性质 10 2009 山东卷理 定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 0 2 1 0 1 log2 xxfxf xx 则 f 2009 的值为 A 1 B 0 C 1 D 2 解析 由已知得 2 1 log 21f 0 0f 1 0 1 1fff 2 1 0 1fff 3 2 1 1 1 0fff 4 3 2 0 1 1fff 5 4 3 1fff 6 5 4 0fff 所以函数 f x 的值以 6 为周期重复性出现 所以 f 2009 f 5 1 故选 C 答案 C 命题立意 本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算 11 2009 山东卷文 函数 xx xx ee y ee 的图像大致为 解析 函数有意义 需使0 xx ee 其定义域为 0 xx 排除 C D 又因为 2 22 12 1 11 xxx xxxx eee y eeee 所以当0 x 时函数为减函数 故选 A 答案 A 命题立意 本题考查了函数的图象以及函数的定义域 值域 单调性等性质 本题的难点 在于给出的函数比较复杂 需要对其先变形 再在定义域内对其进行考察其余的性质 12 2009 山东卷文 定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 0 2 1 0 4 log2 xxfxf xx 则 f 3 的值为 A 1 B 2 C 1 D 2 解析 由已知得 2 1 log 5f 2 0 log 42f 2 1 0 1 2log 5fff 2 2 1 0 log 5fff 22 3 2 1 log 5 2log 5 2fff 故选 B 答案 B 1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O 命题立意 本题考查对数函数的运算以及推理过程 13 2009 山东卷文 已知定义在 R 上的奇函数 xf 满足 4 f xf x 且在区间 0 2 上 是增函数 则 A 25 11 80 fff B 80 11 25 fff C 11 80 25 fff D 25 80 11 fff 解析 因为 xf满足 4 f xf x 所以 8 f xf x 所以函数是以 8 为周期的 周期函数 则 1 25 ff 0 80 ff 3 11 ff 又因为 xf在 R 上是奇函数 0 0f 得0 0 80 ff 1 1 25 fff 而由 4 f xf x 得 1 41 3 3 11 fffff 又因为 xf在区间 0 2 上是增函数 所以 0 0 1 ff 所以0 1 f 即 25 80 11 fff 故选 D 答案 D 命题立意 本题综合考查了函数的奇偶性 单调性 周期性等性质 运用化归的数学思想 和数形结合的思想解答问题 14 2009 全国卷 文 函数 y x x 0 的反函数是 A 2 yx x 0 B 2 yx x 0 B 2 yx x 0 D 2 yx x 0 答案 答案 B 解析 本题考查反函数概念及求法 由原函数解析 本题考查反函数概念及求法 由原函数 x 0 可知可知 AC 错错 原函数原函数 y 0 可知可知 D 错 错 选选 B 15 2009 全国卷 文 函数 y 2 2 log 2 x y x 的图像 A 关于原点对称 B 关于主线yx 对称 C 关于y轴对称 D 关于直线yx 对称 答案 答案 A 解析 本题考查对数函数及对称知识 由于定义域为 解析 本题考查对数函数及对称知识 由于定义域为 2 2 关于原点对称 又 关于原点对称 又 f x f x 故函数为奇函数 图像关于原点对称 选 故函数为奇函数 图像关于原点对称 选 A 16 2009 全国卷 文 设 2 lg lg lg ae bece 则 A abc B acb C cab D cba 答案 答案 B 解析 本题考查对数函数的增减性 由解析 本题考查对数函数的增减性 由 1 lge 0 知知 a b 又又 c 2 1 lge 作商比较知作商比较知 c b 选选 B 17 2009 广东卷 理 若函数 yf x 是函数 0 1 x yaaa 且的反函数 其图像 经过点 a a 则 f x A 2 log x B 1 2 log x C 1 2x D 2 x 解析 xxf a log 代入 a a 解得 2 1 a 所以 f x 1 2 log x 选 B 18 2009 广东卷 理 已知甲 乙两车由同一起点同时出发 并沿同一路线 假定为直线 行驶 甲车 乙车的速度曲线分别为vv乙 甲和 如图 2 所示 那么对于图中给定的 01 tt和 下列判断中一定正确的是 A 在 1 t时刻 甲车在乙车前面 B 1 t时刻后 甲车在乙车后面 C 在 0 t时刻 两车的位置相同 D 0 t时刻后 乙车在甲车前面 解析 由图像可知 曲线 甲 v比 乙 v在 0 0 t 0 1 t与x轴所围成图形面积大 则在 0 t 1 t时刻 甲车均在乙车前面 选 A 19 2009 安徽卷理 设a b 函数 2 yxaxb 的图像可能是 解析 32 yxaxab 由 0y 得 2 3 ab xa x 当xa 时 y取极大 值 0 当 2 3 ab x 时y取极小值且极小值为负 故选 C 或当xb 时0y 当xb 时 0y 选 C 20 2009 安徽卷理 已知函数 f x在 R 上满足 2 2 2 88f xfxxx 则曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线方程是 A 21yx B yx C 32yx D 23yx 解析 由 2 2 2 88f xfxxx 得 2 2 2 2 8 2 8fxf xxx 即 2 2 2 44f xfxxx 2 f xx 2fxx 切线方程为 12 1 yx 即210 xy 选 A 21 2009 安徽卷文 设 函数的图像可能是 解析 可得 2 0 xa xbyxaxb 为的两个零解 当xa 时 则 0 xbf x 当axb 时 则 0 f x 当xb 时 则 0 f x 选 C 答案 C 22 2009 江西卷文 函数 2 34xx y x 的定义域为 A 4 1 B 4 0 C 0 1 D 4 0 0 1 答案 D 解析 由 2 0 340 x xx 得40 x 或01x 故选 D 23 2009 江西卷文 已知函数 f x是 上的偶函数 若对于0 x 都有 2 f xf x 且当 0 2 x 时 2 log 1f xx 则 2008 2009 ff 的值为 A 2 B 1 C 1 D 2 答案 C 解析 12 22 2008 2009 0 1 loglog1ffff 故选 C 24 2009 江西卷文 如图所示 一质点 P x y在xOy平面上沿曲线运动 速度大小不 变 其在x轴上的投影点 0 Q x的运动速度 VV t 的图象大致为 A B C D 答案 B 解析 由图可知 当质点 P x y在两个封闭曲线上运动时 投影点 0 Q x的速度先由正 到 0 到负数 再到 0 到正 故A错误 质点 P x y在终点的速度是由大到小接近 0 故D错误 质点 P x y在开始时沿直线运动 故投影点 0 Q x的速度为常数 因 此C是错误的 故选B 25 2009 江西卷文 若存在过点 1 0 的直线与曲线 3 yx 和 2 15 9 4 yaxx 都相切 则 a等于 A 1 或 25 64 B 1 或 21 4 C 7 4 或 25 64 D 7 4 或7 答案 A 解析 设过 1 0 的直线与 3 yx 相切于点 3 00 x x 所以切线方程为 32 000 3 yxxxx y xO P x y 0 Q x O V t tO V t t O V t t O V t t 即 23 00 32yx xx 又 1 0 在切线上 则 0 0 x 或 0 3 2 x 当 0 0 x 时 由0y 与 2 15 9 4 yaxx 相切可得 25 64 a 当 0 3 2 x 时 由 2727 44 yx 与 2 15 9 4 yaxx 相切可得1a 所以选A 26 2009 江西卷理 函数 2 ln 1 34 x y xx 的定义域为 A 4 1 B 4 1 C 1 1 D 1 1 答案 C 解析 由 2 101 11 41340 xx x xxx 故选 C 27 2009 江西卷理 设函数 2 f xg xx 曲线 yg x 在点 1 1 g处的切线方程为 21yx 则曲线 yf x 在点 1 1 f处切线的斜率为 A 4 B 1 4 C 2 D 1 2 答案 A 解析 由已知 1 2 g 而 2fxg xx 所以 1 1 2 14fg 故选 A 28 2009 江西卷理 设函数 2 0 f xaxbxc a 的定义域为D 若所有点 s f ts tD 构成一个正方形区域 则a的值为 A 2 B 4 C 8 D 不能确定w w w zxxk c o m 答案 B 解析 12max xxfx 22 2 44 4 bacacb aa 2aa 4a 选 B 29 2009 天津卷文 设 3 0 2 1 3 1 2 1 3log 2log cba 则 A a b c B a c b C b c a D b ax 2 x 下面的不等式在 R 内恒成立的是 A 0 xf B 0 xf C xxf Dxxf 答案 A 解析 由已知 首先令0 x 排除 B D 然后结合已知条件排除 C 得到 A 考点定位 本试题考察了导数来解决函数单调性的运用 通过分析解析式的特点 考 查了分析问题和解决问题的能力 32 2009 湖北卷理 设 a 为非零实数 函数 11 1 ax yxRx axa 且的反函数是 A 11 1 ax yxRx axa 且 B 11 1 ax yxRx axa 且 C 1 1 1 x yxRx ax 且 D 1 1 1 x yxRx ax 且 答案 D 解析 由原函数是 11 1 ax yxRx axa 且 从中解得 1 1 1 y xyRy ay 且即原函数的反函数是 1 1 1 y xyRy ay 且 故选择 D 32 2009 湖北卷理 设球的半径为时间 t 的函数 R t 若球的体积以均匀速度 c 增长 则球 的表面积的增长速度与球半径 A 成正比 比例系数为 C B 成正比 比例系数为 2C C 成反比 比例系数为 C D 成反比 比例系数为 2C 9 答案 D 解析 由题意可知球的体积为 3 4 3 V tR t 则 2 4 cV tR t R t 由此可得 4 c R t R t R t 而球的表面积为 2 4 S tR t 所以 2 4 8 vS tR tR t R t 表 即 22 8 2 4 cc vR t R tR t R tR t R t R tR t 表 故选 D 33 2009 四川卷文 函数 2 1 Rxy x 的反函数是 A 0 log1 2 xxy B 1 1 log2 xxy C 0 log1 2 xxy D 1 1 log2 xxy 答案答案 C 解析解析 由yxyxy x 22 1 log1log12 又因原函数的值域是0 y 其反函数是 0 log1 2 xxy 34 2009 四川卷文 已知函数 xf是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数 且对任意实 数x都有 1 1 xfxxxf 则 2 5 f的值是 A 0 B 2 1 C 1 D 2 5 答案答案 A 解析解析 若x 0 则有 1 1 xf x x xf 取 2 1 x 则有 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 fffff xf是偶函数 则 2 1 2 1 ff 由此得0 2 1 f 于是 0 2 1 5 2 1 2 1 2 1 1 3 5 1 2 1 3 5 2 3 3 5 2 3 2 3 2 3 1 1 2 3 2 5 fffffff 35 2009 全国卷 理 曲线 21 x y x 在点 1 1处的切线方程为 A 20 xy B 20 xy C 450 xy D 450 xy 解解 111 22 2121 1 21 21 xxx xx y xx 故切线方程为1 1 yx 即20 xy 故选故选 B 36 2009 全国卷 理 设 323 log log3 log2abc 则 A abc B acb C bac D bca 解解 322 log2log2log3bc 2233 log3log 2log 3logababc 故选故选 A 37 2009 湖南卷文 2 log2的值为 D A 2 B 2 C 1 2 D 1 2 解 由 1 2 222 11 log2log 2log 2 22 易知 D 正确 38 2009 湖南卷文 若函数 yf x 的导函数在区间 a b上是增函数 则函数 yf x 在区间 a b上的图象可能是 A A B C D 解 因为函数 yf x 的导函数 yfx 在区间 a b上是增函数 即在区间 a b上 各点处的斜率k是递增的 由图易知选 A 注意 C 中yk 为常数噢 39 2009 湖南卷文 设函数 yf x 在 内有定义 对于给定的正数 K 定义函数 K f xf xK fx Kf xK ababa o x o x y ba o x y o x y b y 取函数 2 x f x 当K 1 2 时 函数 K fx的单调递增区间为 C A 0 B 0 C 1 D 1 解 函数 1 2 2 xx f x 作图易知 1 2 f xK 1 1 x 故在 1 上是单调递增的 选 C 40 2009 福建卷理 下列函数 f x中 满足 对任意 1 x 2 x 0 当 1 x 2 f x 的是 A f x 1 x B f x 2 1 x C f x x e D ln 1 f xx 答案 A 解析 依题意可得函数应在 0 x 上单调递减 故由选项可得 A 正确 41 2009 福建卷理 函数 0 f xaxbxc a 的图象关于直线 2 b x a 对称 据此可 推测 对任意的非零实数 a b c m n p 关于 x 的方程 2 0m f xnf xp 的解 集都不可能是 A 1 2 B 1 4 C 1 2 3 4 D 1 4 16 64 答案 D 解析 本题用特例法解决简洁快速 对方程 2 0m f xnf xP 中 m n p分别赋值求 出 f x代入 0f x 求出检验即得 42 2009 辽宁卷文 已知函数 f x满足 x 4 则 f x 1 2 x 当 x 4 时 f x 1 f x 则 2 2log 3 f A 1 24 B 1 12 C 1 8 D 3 8 解析 3 2 log23 4 所以 f 2 log23 f 3 log23 且 3 log23 4 2 2log 3 f f 3 log23 1 222 1 log 3 3 log 3log 3 11111111 282828324 24 2 yf xxx 43 2009 辽宁卷文 已知偶函数 f x在区间 0 单调增加 则满足 21 fx 1 3 f的 x 取值范围是 A 1 3 2 3 B 1 3 2 3 C 1 2 2 3 D 1 2 2 3 解析 由于 f x 是偶函数 故 f x f x 得 f 2x 1 f 1 3 再根据 f x 的单调性 得 2x 1 1 3 解得 1 3 x 2 3 答案 A 44 2009 辽宁卷理 若 1 x满足 2x 2x 5 2 x满足 2x 2 2 log x 1 5 1 x 2 x A 5 2 B 3 C 7 2 D 4 解析 由题意 1 1 225 x x 222 22log 1 5xx 所以 1 1 252 x x 121 log 52 xx 即 2 121 2log 52 xx 令 2x1 7 2t 代入上式得 7 2t 2log2 2t 2 2 2log2 t 1 5 2t 2log2 t 1 与 式比较得 t x2 于是 2x1 7 2x2 答案 C 45 2009 宁夏海南卷理 用用 min a b c 表示表示 a b c 三个数中的最小值三个数中的最小值 设 f x min x 2 10 x x 0 则 f x 的最大值为 A 4 B 5 C 6 D 7 解析 选 C 46 2009 陕西卷文 函数 24 4 f xxx 的反函数为 A 12 1 4 0 2 fxxx B 12 1 4 2 2 fxxx C 12 1 2 0 2 fxxx D 学科 12 1 2 2 2 fxxx 答案 D 解析 令原式则 故 12 1 2 2 2 fxxx 故选 D 47 2009 陕西卷文 定义在 R 上的偶函数 f x满足 对任意的 1212 0 x xxx 22 2 4 24 2 22 yy yxx 即 有 21 21 0 f xf x xx 则 A 3 2 1 fff B 1 2 3 fff C 2 1 3 fff D 3 1 2 fff 答案 A 解析 由 2121 0 xxf xf x 等价 于 21 21 0 f xf x xx 则 f x在 1212 0 x xxx 上单调递增 又 f x是偶函数 故 f x在 1212 0 x xxx 单调递减 且满足 nN 时 2 2 ff 03 21 得 3 2 1 fff 故选 A 48 2009 陕西卷文 设曲线 1 n yxnN 在点 1 1 处的切线与 x 轴的交点的横坐标 为 n x 则 12n xxx 的值为 A 1 n B 1 1n C 1 n n D 1 答案 B 解析 对 1 1 nn yxnNynx 求导得 令1x 得在点 1 1 处的切线的斜率 1kn 在点 1 1 处的切线方程为1 1 1 1 nn yk xnx 不妨设0y 1 n nn x 则 12 12311 23411 n nn xxx nnn 故选 B 49 2009 陕西卷理 定义在 R 上的偶函数 f x满足 对任意 的 1212 0 x xxx 有 2121 0 xxf xf x 则当 nN 时 有 A 1 1 fnf nf n B 1 1 f nfnf n C C 1 1 f nfnf n D 1 1 f nf nfn 答案 C 12122121 2121 0 0 0 0 1 1 1 1 x xxxxxf xf x xxf xf xf x f xf x f nf nf nf nfnf n 解析 时 在为增函数 为偶函数在 为减函数 而n 1 n n 1 0 50 2009 四川卷文 函数 2 1 Rxy x 的反函数是 A 0 log1 2 xxy B 1 1 log2 xxy C 0 log1 2 xxy D 1 1 log2 xxy 答案答案 C 解析解析 由yxyxy x 22 1 log1log12 又因原函数的值域是0 y 其反函数是 0 log1 2 xxy 51 2009 四川卷文 已知函数 xf是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数 且对任意实 数x都有 1 1 xfxxxf 则 2 5 f的值是 A 0 B 2 1 C 1 D 2 5 答案答案 A 解析解析 若x 0 则有 1 1 xf x x xf 取 2 1 x 则有 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 fffff xf是偶函数 则 2 1 2 1 ff 由此得0 2 1 f 于是 0 2 1 5 2 1 2 1 2 1 1 3 5 1 2 1 3 5 2 3 3 5 2 3 2 3 2 3 1 1 2 3 2 5 fffffff 52 2009 全国卷 文 已知函数 f x的反函数为 10g xx 2l gx 则 1 1 gf A 0 B 1 C 2 D 4 解析 本小题考查反函数 基础题 解 由题令1lg21 x得1 x 即1 1 f 又1 1 g 所以2 1 1 gf 故 选择 C 53 2009 湖北卷文 函数 2 1 21 21 xRx x x y且的反函数是 A 2 1 21 21 xRx x x y且 B 2 1 21 21 xRx x x y且 C 1 1 2 1 xRx x x y且 D 1 1 2 1 xRx x x y且 答案 D 解析 可反解得 1 11 2 1 2 1 yx xfx yx 故 故且可得原函数中 y R y 1 所以 1 1 2 1 x fx x 且 x R x 1 选 D 54 2009 湖南卷理 若 2 loga 0 1 2 b 1 则 D A a 1 b 0 B a 1 b 0 C 0 a 1 b 0 D 0 a 1 b 0 答案 D 解析 由 2 log0a 得0 a 由 1 1 2 b 得0b 所以选 D 项 55 2009 湖南卷理 如图 1 当参数 2 时 连续函数 0 1 x yx x 的图像分别对应 曲线 1 C和 2 C 则 B A 1 0 B 1 0 C 12 0 D 21 0 答案 B 解析 解析由条件中的函数是分式无理型函数 先由函数 在 0 是连续的 可知参数 12 0 0 即排除 C D 项 又取1x 知对应函数值 12 12 11 11 yy 由图可知 12 yy 所以 12 即选 B 项 56 2009 湖南卷理 设函数 yf x 在 内有定义 对于给定的正数 K 定义函 数 k f xf xK fx K f xK 取函数 f x 1 2xe 若对任意的 x 恒有 k fx f x 则 A K 的最大值为 2 B K 的最小值为 2 C K 的最大值为 1 D K 的最小值为 1 D 答案 D 解析 由 10 x fxe 知0 x 所以 0 x 时 0fx 当 0 x 时 0fx 所以 max 0 1 f xf 即 f x的值域是 1 而要使 k fxf x 在 R上恒成立 结合条件分别取不同的K值 可得 D 符合 此时 k fxf x 故选 D 项 57 2009 天津卷理 设函数 1 ln 0 3 f xxx x 则 yf x A 在区间 1 1 1 e e 内均有零点 B 在区间 1 1 1 e e 内均无零点 C 在区间 1 1 e 内有零点 在区间 1 e内无零点 D 在区间 1 1 e 内无零点 在区间 1 e内有零点 考点定位 本小考查导数的应用 基础题 解析 由题得 x x x xf 3 31 3 1 令0 xf得3 x 令0 xf得30 x 0 xf得3 x 故知函数 xf在区间 3 0 上为减函数 在区间 3 为增函数 在点3 x处有极小值03ln1 又 01 3 1 1 01 3 3 1 1 ee f e eff 故选择 D 58 2009 天津卷理 已知函数 0 4 0 4 2 2 xxx xxx xf若 2 2 faf a 则实数 a的取值范围是 A 1 2 B 1 2 C 2 1 D 2 1 考点定位 本小题考查分段函数的单调性问题的运用 以及一元二次不等式的求解 解析 由题知 xf在R上是增函数 由题得aa 2 2 解得12 a 故选择 C 59 2009 四川卷理 已知函数 2 2 log 2 2 4 2 2 axx f xx x x x 当时 在点处 当时 连续 则常数 a的值是 考点定位 本小题考查函数的连续性 考查分段函数 基础题 解析 由题得3222log 2 aa 故选择 B 解析 2 本题考查分段函数的连续性 由 2 222 4 lim limlim 2 4 2 xxx x f xx x 2 2 2 log1faa 由函数的连续性在一点处的连续性的定义知 2 2 lim 4 x ff x 可得3a 故选 B 60 2009 四川卷理 已知函数 f x是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数 且对任意实 数x都有 1 1 xf xx f x 则 5 2 f f的值是 A 0 B 1 2 C 1 D 5 2 考点定位 本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法 综合题 同文 12 解析 令 2 1 x 则0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ffff 令0 x 则 0 0 f 由 1 1 xf xx f x 得 1 1 xf x x xf 所以 0 0 2 5 0 2 1 2 1 2 3 3 5 2 3 3 5 2 3 2 3 2 5 2 5 fffffff 故选择 A 61 2009 福建卷文 下列函数中 与函数 1 y x 有相同定义域的是 A lnf xx B 1 f x x C f xx D x f xe 解析解析 解析 由 1 y x 可得定义域是0 lnxf xx 的定义域0 x 1 f x x 的定义域 是x 0 f xx 的定义域是 x xR f xe 定义域是xR 故选 A 62 2009 福建卷文 定义在 R 上的偶函数 f x的部分图像如右图所示 则在 2 0 上 下列函数中与 f x的单调性不同的是 A 2 1yx B 1yx C 3 21 0 1 0 xx y xx D 0 x x exo y ex 解析解析 解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反 故可知求在 2 0 上单调递 减 注意到要与 f x的单调性不同 故所求的函数在 2 0 上应单调递增 而函数 2 1yx 在 1 上递减 函数1yx 在 0 时单调递减 函数 0 1 0 12 3 xx xx y在 0 上单调递减 理由如下 y 3x2 0 x 0 故函数单调递增 显然符 合题意 而函数 0 0 xe xe y x x 有 y x e 0 x 0 故其在 0 上单调递减 不符合题 意 综上选 C 63 2009 福建卷文 若函数 f x的零点与 422 x g xx 的零点之差的绝对值不超过 0 25 则 f x可以是 A 41f xx B 2 1 f xx C 1 x f xe D 1 2 f xIn x 解析解析 41f xx 的零点为 x 4 1 2 1 f xx 的零点为 x 1 1 x f xe 的零点 为 x 0 1 2 f xIn x 的零点为 x 2 3 现在我们来估算 422 x g xx 的零点 因为 g 0 1 g 2 1 1 所以 g x 的零点 x 0 2 1 又函数 f x的零点与 422 x g xx 的零点 之差的绝对值不超过 0 25 只有 41f xx 的零点适合 故选 A 64 19 2009 重庆卷文 把函数 3 3f xxx 的图像 1 C向右平移u个单位长度 再向下平 移v个单位长度后得到图像 2 C 若对任意的0u 曲线 1 C与 2 C至多只有一个交点 则 v的最小值为 A 2B 4C 6D 8 答案 B 解析根据题意曲线 C 的解析式为 3 3 yxuxuv 则方程 33 3 3xuxuvxx 即 23 3 3 0ux uuv 即 3 1 3 4 vuu 对任意 0u 恒成立 于是 3 1 3 4 vuu 的最大值 令 3 1 3 0 4 g uuu u 则 2 33 3 2 2 44 g uuuu 由此知函数 g u在 0 2 上为增函数 在 2 上为减函数 所以当2u 时 函数 g u取最大值 即为 4 于是4v 二 填空题 1 2009 辽宁卷文 若函数 2 1 xa f x x 在1x 处取极值 则a 解析 f x 2 2 2 1 1 x xxa x f 1 3 4 a 0 a 3 答案 3 2 2009 重庆卷理 若 1 21 x f xa 是奇函数 则a 答案 1 2 解析 解法 1 12 211 2 x xx fxaa fxf x 21121 21 1 2211 21 22 xx xxxx aaaa 故 3 若曲线 2 f xaxInx 存在垂直于y轴的切线 则实数a的取值范围是 解析解析 解析 由题意该函数的定义域0 x 由 1 2fxax x 因为存在垂直于y轴的切 线 故此时斜率为0 问题转化为0 x 范围内导函数 1 2fxax x 存在零点 解法 1 图像法 再将之转化为 2g xax 与 1 h x x 存在交点 当0a 不符合题意 当0a 时 如图 1 数形结合可得显然没有交点 当0a 如图 2 此时正好有一个交点 故有0a 应填 0 或是 0a a 解法 2 分离变量法 上述也可等价于方程 1 20ax x 在 0 内有解 显然可得 2 1 0 2 a x 4 2009 上海卷文 函数 f x x3 1 的反函数 f 1 x 答案 3 1x 解析 由 y x3 1 得 x 31 y 将 y 改成 x x 改成 y 可得答案 5 2009 北京文 已知函数 3 1 1 x x f x xx 若 2f x 则x w w k s 5 答案答案 3 log 2 w 解析解析 5 u c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值 属于基础知识 基本运算的 考查 由 3 1 log 2 32 x x x 1 22 x xx 无解 故应填 3 log 2 6 2009 北京理 若函数 1 0 1 0 3 x x x f x x 则不等式 1 3 f x 的解集为 答案答案 3 1 解析解析 本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法 属于基础知识 基本运算的考 查 1 由 0 1 30 11 3 3 x f xx x 2 由 0 0 1 01 1111 3 3333 x x x x f xx 不等式 1 3 f x 的解集为 31xx 应填 3 1 7 2009 江苏卷 函数 32 15336f xxxx 的单调减区间为 解析 考查利用导数判断函数的单调性 2 330333 11 1 fxxxxx 由 11 1 0 xx 得单调减区间为 1 11 亦可填写闭区间或半开半闭区间 8 2009 江苏卷 在平面直角坐标系xoy中 点 P 在曲线 3 103C yxx 上 且在第二 象限内 已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2 则点 P 的坐标为 解析 考查导数的几何意义和计算能力 2 31022yxx 又点 P 在第二象限内 2x 点 P 的坐标为 2 15 9 2009 江苏卷 已知 51 2 a 函数 x f xa 若实数m n满足 f mf n 则 m n的大小关系为 解析 考查指数函数的单调性 51 0 1 2 a 函数 x f xa 在 R 上递减 由 f mf n 得 m0 且 a 1 有两个零点 则实数 a 的取值范围是 解析 设函数 0 x yaa 且1 a 和函数yxa 则函数 f x a x x a a 0 且 a 1 有 两个零点 就是函数 0 x yaa 且1 a 与函数yxa 有两个交点 由图象可知当 10 a时两函数只有一个交点 不符合 当1 a时 因为函数 1 x yaa 的图象过点 0 1 而直线yxa 所过的点一定在点 0 1 的上方 所以一定有两个交点 所以实数 a 的取值范围 是1 a 答案 1 a 命题立意 本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系 隐含着对指数函数的性质的考 查 根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答 12 2009 山东卷理 已知定义在 R 上的奇函数 xf 满足 4 f xf x 且在区间 0 2 上 是增函数 若方程 f x m m 0 在区间 8 8 上有四个不同的根 1234 x x x x 则 1234 xxxx 解析 因为定义在 R 上的奇函数 满足 4 f xf x 所以 4 f xfx 所以 由 xf为奇函数 所以函数图象关于直线2x 对称且 0 0f 由 4 f xf x 知 8 f xf x 所以函数是以 8 为周期的周期函数 又因为 xf在区间 0 2 上是增函数 所 以 xf在区间 2 0 上也是增函数 如图所示 那么方程 f x m m 0 在区间 8 8 上有四个不 同的根 1234 x x x x 不妨设 1234 xxxx 由对称性知 12 12xx 34 4xx 所以 1234 1248xxxx 答案 8 命题立意 本题综合考查了函数的奇偶性 单调性 对称性 周期性 以及由函数图象解答方程问题 运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题 13 2009 山东卷文 若函数 f x a x x a a 0 且 a 1 有两个零点 则实数 a 的取值范围是 解析 设函数 0 x yaa 且1 a 和函数yxa 则函数 f x a x x a a 0 且 a 1 有 8 6 4 2 0 2 4 6 8 y x f x m m 0 两个零点 就是函数 0 x yaa 且1 a 与函数yxa 有两个交点 由图象可知当 10 a时两函数只有一个交点 不符合 当1 a时 因为函数 1 x yaa 的图象过点 0 1 而直线yxa 所过的点 0 a 一定在点 0 1 的上方 所以一定有两个交点 所以实数 a 的 取值范围是 1 aa 答案 1 aa 命题立意 本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系 隐含着对指数函数的性质的考 查 根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答 14 2009 四川卷文 设V是已知平面M上所有向量的集合 对于映射 f VV aV 记a的象为 f a 若映射 f VV 满足 对所有abV 及任意实数 都有 fabf af b 则f称为平面M上的线性变换 现有下列命题 设f是平面M上的线性变换 abV 则 f abf af b 若e是平面M上的单位向量 对 aVf aae 设 则f是平面M上的线性变换 对 aVf aa 设 则f是平面M上的线性变换 设f是平面M上的线性变换 aV 则对任意实数k均有 f kakf a 其中的真命题是 写出所有真命题的编号 答案答案 解析解析 令1 则 bfafbaf 故 是真命题 同理 令0 k 则 akfkaf 故 是真命题 aaf 则有bbf bfafbababaf 是线性变换 故 是真命题 由eaaf 则有ebbf ebfafeebeaebabaf e是单位向量 e 0 故 是假命题 备考提示备考提示 本小题主要考查函数 对应及高等数学线性变换的相关知识 试题立意新颖 突出创新能力和数学阅读能力 具有选拔性质 15 2009 福建卷理 若曲线 3 lnf xaxx 存在垂直于y轴的切线 则实数a取值范围是 答案 0 解析 由题意可知 2 1 2fxax x 又因为存在垂直于y轴的切线 所以 2 3 11 20 0 0 2 axaxa xx 16 2009 陕西卷理 设曲线 1 n yxnN 在点 1 1 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 n x 令lg nn ax 则 1299 aaa 的值为 答案 答案 2 1 1 1 12991299 1 11 1 1 1 1 298 991 lg lg lg2 2 399 100100 n nn x n yxnN yxynxynynx n x n aaax xx A A AA 解析 点 1 1 在函数的图像上 1 1 为切点 的导函数为切线是 令y 0得切点的横坐标 17 2009 四川卷文 设V是已知平面M上所有向量的集合 对于映射 f VV aV 记a的象为 f a 若映射 f VV 满足 对所有abV 及任意实数 都有 fabf af b 则f称为平面M上的线性变换 现有下列命题 设f是平面M上的线性变换 abV 则 f abf af b 若e是平面M上的单位向量 对 aVf aae 设 则f是平面M上的线性变换 对 aVf aa 设 则f是平面M上的线性变换 设f是平面M上的线性变换 aV 则对任意实数k均有 f kakf a 其中的真命题是 写出所有真命题的编号 答案答案 解析解析 令1 则 bfafbaf 故 是真命题 同理 令0 k 则 akfkaf 故 是真命题 aaf 则有bbf bfafbababaf 是线性变换 故 是真命题 由eaaf 则有ebbf ebfafeebeaebabaf e是单位向量 e 0 故 是假命题 备考提示备考提示 本小题主要考查函数 对应及高等数学线性变换的相关知识 试题立意新颖 突出创新能力和数学阅读能力 具有选拔性质 18 2009 宁夏海南卷文 曲线21 x yxex 在点 0 1 处的切线方程为 答案 31yx 解析 2 xx xeey 斜率 k 20 0 e 3 所以 y 1 3x 即31yx 19 2009 重庆卷文 记 3 log 1 f xx 的反函数为 1 yfx 则方程 1 8fx 的解 x 答案 2 解法 1 由 3 log 1 yf xx 得 1 3yx 即 1 31fxx 于是由318x 解得 2x 解法 2 因为1 8fx 所以 3 8 log 8 1 2xf 三 解答题 1 2009 年广东卷文 本小题满分 14 分 已知二次函数 xgy 的导函数的图像与直线2yx 平行 且 xgy 在x 1 处取得最小 值 m 1 m0 设函数 x xg xf 1 若曲线 xfy 上的点 P 到点 Q 0 2 的距离的最小值为2 求 m 的值 2 Rkk 如何取值时 函数kxxfy 存在零点 并求出零点 解析 1 设 2 g xaxbxc 则 2gxaxb 又 gx 的图像与直线2yx 平行 22a 1a 又 g x在1x 取极小值 1 2 b 2b 11 21gabccm cm 2 g xm f xx xx 设 oo P x y 则 2 22 22 0000 0 2 m PQxyxx x 2 22 0 2 0 222 22 m xm x 2 2 224m 2 2 m w w w zxxk c o m 2 由 120 m yf xkxk x x 得 2 120k xxm 当1k 时 方程 有一解 2 m x 函数 yf xkx 有一零点 2 m x 当1k 时 方程 有二解 4410mk 若0m 1 1k m 函数 yf xkx 有两个零点 2441111 2 11 mkmk x kk 若0m 1 1k m 函数 yf xkx 有两个零点 2441111 2 11 mkmk x kk 当1k 时 方程 有一解 4410mk 1 1k m 函数 yf xkx 有一零点 1 1 x k w w w zxxk c o m 2 2009 全国卷 理 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效