2009年全国高考文科数学试题及答案-上海卷.pdf

上海上海 数学试卷 文史类 数学试卷 文史类 考生注意 考生注意 1 答卷前 考生务必在答题纸上将姓名 高考准考证号填写清楚 并在规定的区域内贴上 条形码 2 本试卷共有 23 道试题 满分 150 分 考试时间 120 分钟 一 填空题 本大题满分 56 分 本大题共有 14 题 考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果 每个空格填对得 4 分 否则一律得零分 1 函数 f x x3 1 的反函数 f 1 x 2 已知集合 A x x 1 B x a 且 A B R 则实数 a 的取值范围是 3 若行列式 4 1 7 5 x x 3 8 9 中 元素 4 的代数余子式大于 0 则 x 满足的条 件是 4 某算法的程序框如右图所示 则输出量 y 与输入量 x 满足的关系式 是 5 如图 若正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面边长为 2 高为 4 则异面直线 BD1与 AD 所成角的大小是 结果 用反三角函数值表示 6 若 球 O1 O2表 示 面 积 之 比4 2 1 S S 则 它 们 的 半 径 之 比 2 1 R R 7 已知实数 x y 满足 2 2 3 yx yx x 则目标函数 z x 2y 的最小值是 8 若等腰直角三角形的直角边长为 2 则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体 体积是 9 过点 A 1 0 作倾斜角为 4 的直线 与抛物线 2 2yx 交于MN 两点 则 MN 10 函数 2 2cossin2f xxx 的最小值是 11 若某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人作为上海世博会的志愿者 则选出的志愿 者中男女生均不少于 1 名的概率是 结果用最简分数表示 12 已知 12 F F是椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的两个焦点 p为椭圆C上的一点 且 12 PFPF 若 12 PFF 的面积为 9 则b 13 已知函数 sintanf xxx 项数为 27 的等差数列 n a满足 2 2 n a 且公差 0d 若 1227 0f af af a 则当 k 时 0 k f a 14 某地街道呈现东 西 南 北向的网络状 相邻街距都为 1 两街道相交的点称为格 点 若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系 现有下述格点 2 2 3 1 3 4 2 3 4 5 为报刊零售店 请确定一个格点 为发行站 使 5 个零售点沿 街道发行站之间路程的和最短 二 选择题 本大题满分 16 分 本大题共有 4 题 每题有且只有一个正确答案 考生应在 答案纸的相应编号上 将代表答案的小方格涂黑 选对得 4 分 否则一律得零分 15 已知直线 12 3 4 10 2 3 230 lkxk ylkxy 与平行 则 K 得值是 答 A 1 或 3 B 1 或 5 C 3 或 5 D 1 或 2 16 如图 已知三棱锥的底面是直角三角形 直角边长分别为 3 和 4 过直角顶点的侧棱长 为 4 且垂直于底面 该三棱锥的主视图是 答 17 点 P 4 2 与圆 22 4xy 上任一点连续的中点轨迹方程是 答 A 22 2 1 1xy B 22 2 1 4xy C 22 4 2 4xy D 22 2 1 1xy 18 在发生某公共卫生事件期间 有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体 感染的标志为 连续 10 天 每天新增疑似病例不超过 7 人 根据过去 10 天甲 乙 丙 丁四地新增疑似病例数据 一定符合该标志的是 答 A 甲地 总体均为 3 中位数为 4 B 乙地 总体均值为 1 总体方差大于 0 C 丙地 中位数为 2 众数为 3 D 丁地 总体均值为 2 总体方差为 3 三 解答题 本大题满分 78 分 本大题共 5 题 解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 19 本题满分 14 分 已知复数zabi a bR I 是虚数单位 是方程 2 450 xx 的根 复数 3wui uR 满足2 5wz 求 u 的取值范围 20 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 8 分 已知 ABC 的角 A B C 所对的边分别是 a b c 设向量 ma b sin sin nBA 2 2 pba 若m n 求证 ABC 为等腰三角形 1 若m p 边长 c 2 角 C 3 求 ABC 的面积 21 本题满分 16 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 10 分 有时 可用函数 0 1 15ln 6 4 4 6 4 a x ax f x x x 描述学习某学科知识的掌握程度 其中x表示某学科知识的学习次数 xN f x表示 对该学科知识的掌握程度 正实数 a 与学科知识有关 1 证明 当 x 7 时 掌握程度的增长量 f x 1 f x 总是下降 2 根据经验 学科甲 乙 丙对应的 a 的取值区间分别为 115 121 121 127 127 133 当学习某学科知识 6 次时 掌握程度是 85 请确定相应的学科 22 本题满分 16 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 4 分 第 3 小题满分 8 分 22 本题满分 16 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 4 分 第 3 小题满分 8 分 已知双曲线C的中心是原点 右焦点为F 30 一条渐近线 m x 20y 设过点 A 3 2 0 的直线 l 的方向向量 1 ek v 1 求双曲线 C 的方程 2 若过原点的直线 al 且 a 与 l 的距离为6 求 K 的值 3 证明 当 2 2 k 时 在双曲线 C 的右支上不存在点 Q 使之到直线 l 的距离为6 23 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 5 分 第 2 小题满分 5 分 第 3 小题满分 8 分 已知 n a是公差为 d 的等差数列 n b是公比为 q 的等比数列 1 若 31 n an 是否存在 m nN 有 1mmk aaa 请说明理由 2 若 n n baq a q 为常数 且 aq 0 对任意 m 存在 k 有 1mmk bbb 试求 a q 满足的充要条件 3 若21 3n nn anb 试确定所有的 p 使数列 n b中存在某个连续 p 项的和式数列中 n a的一项 请证明 上海上海 数学文 参考答案 数学文 参考答案 一 填空题 1 3 1x 2 1 3 8 3 x 4 2 1 2 1 x x y xx 5arctan5 6 2 7 9 8 8 3 9 2 6 10 12 11 5 7 12 3 13 14 14 3 3 二 选择题 题号 15 16 17 18 代号 C B A D 三 解答题 19 解 原方程的根为 1 2 2xi 2abRzi Q 2 3 2 2 42 5 26 wzuiiu u Q 20 题 证明 1 sinsin mnaAbB u vv Q 即 22 ab ab RR 其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径 ab ABC 为等腰三角形 解 2 由题意可知 0 2 2 0mpa bb a u vu v 即 abab 由余弦定理可知 222 4 3abababab 2 340abab 即 4 1 abab 舍去 11 sin4 sin3 223 SabC 21 题 证明 1 当7x 时 0 4 1 3 4 f xf x xx 而当7x 时 函数 3 4 yxx 单调递增 且 3 4 0 xx 故函数 1 f xf x 单调递减 当7x 时 掌握程度的增长量 1 f xf x 总是下降 2 有题意可知0 1 15ln0 85 6 a a 整理得 0 05 6 a e a 解得 0 05 0 05 620 50 6123 0 123 0 121 127 1 e a e 13 分 由此可知 该学科是乙学科 14 分 22 解 1 设双曲线C的方程为 22 2 0 xy 3 2 解额2 双曲线C的方程为 2 2 1 2 x y 2 直线 3 20l kxyk 直线 0a kxy 由题意 得 2 3 2 6 1 k k 解得 2 2 k 3 证法一 设过原点且平行于l的直线 0b kxy 则直线l与b的距离 2 3 2 1 k d k 当 2 2 k 时 6d 又双曲线C的渐近线为x20y 双曲线C的右支在直线b的右下方 双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于6 故在双曲线C的右支上不存在点Q 使之到直线l的距离为6 证法二 假设双曲线C右支上存在点 00 Q xy到直线l的距离为6 则 00 2 22 00 3 2 6 1 1 22 2 kxyk k xy 由 1 得 2 00 3 261ykxkk 设 2 3 261tkk 当 2 2 k 时 2 3 2610tkk 2 2 22 21 3 26160 31 k tkk kk 将 00 ykxt 代入 2 得 222 00 1 2 42 1 0kxktxt 2 0 2 kt 22 1 20 40 2 1 0kktt 方程 不存在正根 即假设不成立 故在双曲线C的右支上不存在点Q 使之到直线l的距离为6 23 解 1 由 1 mmk aaa 得6631mk 整理后 可得 4 2 3 km m kN 2km 为整数 不存在n kN 使等式成立 2 当1m 时 则 23 12 k k b bbaqaq 3 k aq 即 c aq 其中c是大于等于2 的整数 反之当 c aq 时 其中c是大于等于2 的整数 则 n c n bq 显然 121 2 1 m cmcmc mmk bbqqqb 其中21kmc a q满足的充要条件是 c aq 其中c是大于等于2 的整数 3 设 12mmm pk bbba 当p为偶数时 式左边为偶数 右边为奇数 当p为偶数时 式不成立 由 式得 1 3 1 3 21 1 3 mp k 整