数学学业水平测试校本教材(基础知识).doc

18高中会考基础知识汇总（1）集合1、常用数集符号： N；N*或N+；Z； Q；R2、元素与集合的隶属关系：（1）属于：记作 （2）不属于：记作3、集合中元素的特性 （1）；（2）；（3）；4、子集：，则称A是B的子集记作: 有两种情况：（1）A是B的一部分（真子集）；（2）A与B是同一集合（相等）5、空集记作，空集是的子集；空集是的真子集；任何一个集合是它本身的子集6、易混符号“”与“”：与之间是属于关系“”；与之间是包含关系“”0与：0是含有一个元素的集合，是不含的集合7、含n个元素的集合的所有子集的个数是，所有真子集的个数是，所有非空真子集数为8、补集： S为全集，A的补集记作 CSA= 9、交集与并集定义：AB= AB10、，（2）不等式的解法1、一元一次不等式解集为:(1)当时,_(2)当时,(3)当时,若,则_,若,则_2、绝对值不等式：(1)； (2)_；(3)_3、方程的判别式为，两个实根（如果有的话）是和，那么：(1)当时，不等式的解集是 ；的解集是 ；(2)当时，不等式的解集是 ；的解集是 ；(3)当时，不等式的解集是 ；的解集是 ；(4)当时，不等式的解集是 ；的解集是 ；（3）映射、函数（图像和性质）1、映射：_叫映射2、求函数定义域：（1）给出函数解析式的：函数定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合。需要掌握：分式中：分母 ，即；偶次根式中：被开方数 ，即；零次幂的_不为零；对数式中：底数 、底数 ，真数 ，即；三角函数中：，依据上述几条列出不等式组并求出公共解集（各不等式之间取 集）（2）实际问题：求函数定义域要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义3、一次函数： 解析式： ，定义域： ，值域： ，（1）单调性：时 时 （2）画出草图：1） 2） 3） 4）4、反比例函数： 解析式： ，定义域： ，值域： ，（1）单调性：时 时 （2）画出草图：1） 2） 5、二次函数：解析式为： ，定义域： ，对称轴方程： 顶点坐标： ，（1）若，则 时，最 值= ，此时函数值域为 （2）若，则 时，最 值= ，此时函数值域为 （3）若，则函数的递增区间为 ，递减区间为 （4）若，则函数的递增区间为 ，递减区间为 （5）画出草图： 1） 2） （4）函数单调性、奇偶性、周期性1、增函数和减函数的定义：对任意的，且，若，则称是区间上的增函数；若，则称是区间上的减函数2、用定义证明函数单调性的一般步骤： （1）设有任意的； （2）作差并变形；（3）判断差的是正或负，写出欲证明的单调区间上的单调性。3、奇函数和偶函数的定义：设函数的定义域为，关于原点的对称（1）若对任意的，都有， 则称函数为偶函数（2）若对任意的，都有，则称函数为奇函数4、奇（偶）函数的性质：（1）从数的角度看：偶函数是指当自变量取定义域内任意两个互为相反数的值时，对应的函数值 ；奇函数是指当自变量取定义域内任意两个互为相反数的值时，对应的函数值也互为 ； （2）从形的角度看：是偶函数的图象关于 轴对称； 是奇函数的图象关于 对称。（3）定义域关于 对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件。因此判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域。（4）为奇函数并且定义域包含数字，则；5、周期函数的定义： 为非零常数，若对于定义域内的任意，都有恒成立，则叫做周期函数， 叫做这个函数的一个周期。一般所说的周期是指函数的 正周期。6、和的（最小正）周期是；的（最小正）周期是（5）反函数1、求反函数的一般方法：（1）由解出 （2）将中的 互换位置，得（3）求的 得的定义域（由于通常在区间上单调，所以这里可以直接用端点的函数值和结合单调性求得的值域）2、反函数的定义域是原函数的 、反函数的值域是原函数的 。3、两个函数互为反函数，则它们的图象关于直线 对称从形的角度看：若原函数的图像过点，则其反函数的图像过点从数的角度看：（6）指数和对数运算1、（1）一般的，如果一个数的次方等于，那么这个数叫做的次方根.若则叫做的_；（2）当为奇数时，正数的 次方根是一个_,负数的次方根是一个_,这时，的次方根用符号_表示；当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的次方根用符号_表示，负的次方根用符号_表示；（3）_；（4）当为奇数时， ；当为偶数时，| （5）负数没有偶次方根。3、幂的运算法则：（1）同底数的幂相乘 = ；同底数的幂相除 ；幂的乘方 ；积的乘方 分式的乘方 4、零指数幂： ；负指数幂： ；5、分数指数幂： ， 6、指数式与对数式互化： 特例：； 7、常用对数：； ；自然对数：8、对数运算法则： ； = ； （7）指数和对数函数1、指数函数：解析式： ，定义域： ，值域： ，单调性：时 时 因为，所以指数函数图像恒过定点 画出草图： 1） 2）2、对数函数：解析式： ，定义域： ，值域： ，单调性：时 时 因为，所以对数函数图像恒过定点 画出草图： 1） 2） （8）等差数列与等比数列1、 等差数列定义：；等比数列定义：2、等差数列通项公式：；等比数列通项公式：3、等差数列前项和公式：= = ；等比数列前项和公式：4、等差数列性质：等差数列中，若则等比数列性质：等比数列中，若则5、等差中项：成等差数列，则叫做的等差中项， 等比中项：成等比数列，则叫做的等比中项， （9）由求及数列求和的常用方法1、 给出递推公式求前几项：已知，则2、 给出数列的前项和，求数列的通项公式分两种情况：若，则；若，则3、 数列求和的常用方法：（1）分项求和法：例如：，求；（2）裂项相消法：例如：，求；（3）错位相减法：例如：，求；（10A）三角函数定义（1）角的定义： .（2） 叫正角； 叫负角； 叫零角.P(x,y)xyO（3） 终边相同角的表示： 或者 .（4） 1弧度的定义是 .弧度与角度换算关系是 . 扇形的弧长： .，面积S= （5）任意角三角函数定义： sin= cos= tan= cot= （6）任意角三角函数的符号规则： （10B）诱导公式（1）诱导公式：sin()= ;sin()= ;sin()= ;sin()= ;sin()= ; cos()= ;cos()= ;cos()= ;cos()= ;cos()= （2）同角三角函数关系：平方关系： 倒数关系： 商的关系： （11）两角和差公式、二倍角公式1、两角和与差： ； ；2、二倍角： ； ；3、辅助角公式：（12）三角函数的图象和性质1、用“五点法”画出函数的简图时所取的五个点的坐标依次为；请在空白处画出函数的简图：2、函数的定义域是_ ；值域是_ ；周期是_；是 函数（用奇、偶、非奇非偶填空）；单调递增区间为 ；单调递减区间为 ；当时，；当时，；3、用“五点法”画出函数的简图时所取的五个点的坐标依次为；请在空白处画出函数的简图。4、函数的定义域是_ ；值域是_ ；周期是_；是 函数（用奇、偶、非奇非偶填空）；单调递增区间为 ；单调递减区间为 ；当时，；当时，；5、函数的定义域是_；值域是_；（最小正）周期是_；是 函数（用奇、偶、非奇非偶填空）；单调递增区间为 ；请画出的简图。（13）的图象和性质1、已知函数，回答下列问题：(1)的值域为 ，周期是 ，当取得最大值时，自变量的集合是；(2)用“五点法”画出函数的简图时所取的五个点的坐标依次为2、把正弦函数的图像上每个点的坐标变为原来的 （坐标不变），可以得到函数的图像；然后把函数的图像向平移个单位，可以得到函数的图像；再把所得到的函数的图像上每个点的坐标变为原来的（坐标不变），就可以得到函数的图像3、把正弦函数的图像向平移个单位，可以得到函数的图像；然后把函数的图像上每个点的坐标变为原来的 （坐标不变），可以得到函数的图像；再把所得到的函数的图像上每个点的坐标变为原来的（坐标不变），就可以得到函数的图像4、函数的振幅是 ；周期是 ；相位是 ；初相是 （14）正弦定理、余弦定理、解三角形1、正弦定理 （公式）： ；（公式变形） 2、余弦定理（公式）： ；（公式变形） ；3、三角形面积公式 （15）向量1、基本概念：（1）同时具有 和 的量叫做向量；（2）向量的坐标表示法：；（3）向量的长度：即向量的大小，记作 （4）向量的夹角： 2、特殊向量：（1）零向量： ；（2）为单位向量 1（3）相等向量： 相等， 相同的两个向量叫做相等向量 设，（4）平行向量(共线向量)：方向 或 的向量，称为平行向量记作 ，由于向量可以进行任意的 ，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为 向量3、向量的运算：（1）加减法：；（2）数与向量的乘积： 是一个向量,满足: 0时,与 ； 0时, 与 ； =0时, =（3）向量的数量积： ；（其中夹角的范围是 ）4、向量运算的坐标表示：设那么：；5、设，两个向量平行的充要条件： 6、设，两个向量垂直的充要条件： O7、线段的定比分点：设点分有向线段所成的比为，则 ；8、定比分点坐标公式：；当1时，得中点坐标公式： （16）不等式的性质、均值不等式1、不等式的基本性质对称性：；传递性：；加法法则：不等式两边同加一个数， ，即；同向可加性: ；乘法法则：不等式两边同乘一个正数， ，即；不等式两边同乘一个负数， ，即；同正同向可乘性：；乘方法则：；开方法则：；倒数法则：且； 2、基本不等式：（1）对任意实数都有： ； （2）对任意正数都有： ； （3）当时，； 当时，3、应用均值不等式解题要注意“一 ，二 ，三 ”（17）不等式的解法1、绝对值不等式： ； 或 2、分式不等式的同解原理：； ； 3、分式不等式的解题思路：移 ，通 ，化 ，穿 4、高次不等式的解题思路求根、标根、穿线（右边化为 ，左边每个括号中的系数为 ，从右 方开始穿，奇穿偶不穿）（18）直线的倾斜角和斜率、直线方程、两条直线的位置关系1、两点和间的距离公式：2、中点坐标公式：已知两点和，点是线段的中点，则有，；变形 （已知线段的中点和一个端点的坐标求另一个端点的坐标）变形 三角形重心坐标公式：3、任何直线都有唯一的倾斜角，其范围是 4、直线的斜率公式： (是倾斜角且900) （知两点）（一般式）5、过点的水平直线方程是 ；竖直直线方程是 6、过原点，斜率为的直线方程式是 ；7、斜截式方程： ；点斜式方程： ；截距式方程： ； 一般式方程： 8、已知两条有斜率的直线 ，那么 ； 9、 与直线平行的直线方程可以设为 ；与直线垂直的直线方程可以设为 10、到的角：； 与的夹角：11、直线：与水平直线的夹角是 ；与竖直直线的夹角是 12、点到任意直线的距离为：；特别地，点到水平直线的距离为 ；到竖直直线的距离为 ；13、两条平行直线的距离为：（19）线性规划、圆的方程1、二元一次不等式的解集平面区域：设= ，若，则含有 轴箭头的区域（直线 侧）是不等式的解集。不含 轴箭头的区域（直线 侧）是不等式的解集。含等号时边界是 线；不含等号时边界是 线。2、线性目标函数表示一组平行直线，其倾斜程度由斜率决定，越大直线越陡峭。函数的最值在可行域的 取得。3、圆心在原点的圆的标准方程： ；圆心在点的圆的标准方程： ；圆的一般方程： 圆心 半径= 圆的参数方程： 4、已知圆和直线，圆心到直线的距离为 ，那么与圆相离 ；相交 ；相切 。5、过圆上一点的切线方程为 ；过圆外一点的切线方程求法：先设切线方程为：，整理为一般式，再用点（即圆心）到（所设的）直线的距离公式列方程求。（注：应有两值，如果只解出一个值，则还有一条切线）6、直线和圆相交于两点，与弦长有关的问题常用平几知识由半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形求解（20）椭圆1、椭圆上任意一点到两个焦点的距离之 等于 ；椭圆上任意一点到一个焦点的距离和它到 的距离的比等于 。2、焦点在轴上的椭圆的标准方程是 ，它的长轴长为 ；短半轴长为 ；焦距是 ；离心率是；焦点坐标为 ；顶点坐标为 ；准线方程为 ；对称中心为 ；对称轴是 ；3、焦点在轴上的椭圆的标准方程是 ，它的长轴长为 ；短半轴长为 ；焦距是 ；离心率是；焦点坐标为 ；顶点坐标为 ；准线方程为 ；对称中心为 ；对称轴是 ；4、椭圆中满足关系式： ；5、点是椭圆上任意一点，和是椭圆的焦点，则有： ，若已知，那么 6、焦点的位置: 椭圆焦点跟 大的，标准方程中两个分母的 等于；7、 椭圆上的点到右焦点的最大距离是 ，该点坐标 ；到右焦点的最小距离是 ，该点坐标 。（21）双曲线1、双曲线上任意一点到两个焦点的距离之 等于 ；双曲线上任意一点到一个焦点的距离和它到 的距离的比等于 。2、焦点在轴上的双曲线的标准方程是 ，它的实半轴长为 ；虚轴长为 ；焦距是 ；离心率是；焦点坐标为 ；顶点坐标为 ；渐近线方程为 ；准线方程为 ；对称中心为 ；对称轴是 ；3、焦点在轴上的双曲线的标准方程是 ，它的实半轴长为 ；虚轴长为 ；焦距是 ；离心率是；焦点坐标为 ；顶点坐标为 ；渐近线方程为 ；准线方程为 ；对称中心为 ；对称轴是 ；4、双曲线中满足关系式： ；5、双曲线焦点跟 正的，标准方程中两个分母的 等于；6、点是双曲线右边一支上任意一点，是双曲线左焦点，是双曲线右焦点，则有： ，若，则 。7、 双曲线的焦点到渐近线的距离等于 ；8、等轴双曲线方程为： ，（，焦点在 轴上；，焦点在 轴上） 等轴双曲线的离心率为 ，反过来，离心率为 的双曲线是等轴双曲线。（22）抛物线1、焦点在轴正半轴上的抛物线的标准方程是 ,它的离心率是 ；焦点坐标为 ；顶点坐标为 ；准线方程为 ；焦准距是 ；通径长为 ；2、焦点在轴负半轴上的抛物线的标准方程是 ,它的离心率是 ；焦点坐标为 ；顶点坐标为 ；准线方程为 ；焦准距是 ；通径长为 ；3、焦点在轴正半轴上的抛物线的标准方程是 ,它的离心率是 ；焦点坐标为 ；顶点坐标为 ；准线方程为 ；焦准距是 ；通径长为 ；4、焦点在轴负半轴上的抛物线的标准方程是 ,它的离心率是 ；焦点坐标为 ；顶点坐标为 ；准线方程为 ；焦准距是 ；通径长为 ；5、是抛物线上任意一点，是焦点，点到准线的距离为，则到焦点的距离（焦半径）6、焦点的位置: 抛物线焦点跟 (项),系数除以4.7、（直线截曲线）弦长公式：（1） （2） 8、过抛物线焦点的直线与抛物线交于和两点，当焦点在轴上时，两点纵坐标的关系式是: ；横坐标的关系式是 。（23）排列、组合、二项式定理1、复习两个基本原理：（1）首先要想清楚什么叫做合理的“完成一件事”？（第一是要把事情做完，不能半途而废；第二要设计合理的步骤，做到不重不漏）（2）何时用加法原理？何时用乘法原理？（分类 ，类类独立；分步 ，步步相关）2、排列问题与组合问题的区别：（有序 ；无序 ）3、排列问题与组合问题的联系：任何一个排列问题都可以按照先选后排的原则分成两步进行，即4、排列数的计算公式： ； ；5、组合数的计算公式： ；规定：；6、阶乘的定义： ；规定：；7、组合数的性质：（1） ； （2） 8、二项式定理： ；9、二项展开式的通项公式： ；10、对二项式，应用特值法（令）可求得（24）概率1、随机事件定义： 2、等可能性事件的概率计算公式： 3、互斥事件定义： 互斥事件恰有一个发生的概率计算公式： 4、对立事件定义： 对立事件的概率计算公式： 5、相互独立事件定义： 相互独立事件同时发生的概率计算公式： 6、次独立重复试验中某事件恰好发生次的概率计算公式： (25)立体几何1、公理3 经过 上的三点，有且只有一个平面推论1 经过一条直线和 的一点有且只有一个平面.推论2 经过两条 直线有且只有一个平面推论3 经过两条 直线有且只有一个平面2、空间两直线的位置关系（1） ；（2） ；（3） 3.公理4 ：平行于 的两条直线互相平行4.空间两条异面直线的画法5异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内 此点的直线是异面直线.6异面直线所成的角的范围： 7异面直线垂直：两条异面直线所成的角是 ，叫两条异面直线垂直记作8两条异面直线的公垂线、距离和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的 ，两条异面直线的公垂线有且只有 条9直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（ 个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有 个公共点）；（3）直线和平面平行（ 公共点）10线面平行的判定定理：如果不在一个 内的一条直线和 内的一条直线 ，那么这条直线和这个平面平行推理模式：11. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条 的平面和这个平面相交，那么这条直线和 平行推理模式：12平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条 直线分别 于另一个平面，那么这两个平面互相平行推理模式：，13平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与 平面相交，那么它们的 平行推理模式：14、线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的 一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面 其中直线叫做平面的 ，平面叫做直线的 交点叫做 15直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条 直线都垂直，那么这条直线 于这个平面16 直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 17 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的 的射影垂直，那么它也和这条 垂直推理模式： 18三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 垂直，那么它也和这条斜线的 垂直推理模式： 19直线和平面所成角定义：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是 角一直线平行于平面或在平面内，所成角为 直线和平面所成角范围： 20、定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中 的角21二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条 ，则叫做二面角的平面角（2）一个平面 于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足，则也是的平面角（3）二面角的平面角范围是 ；（4）二面角的平面角为直角时，则称为 ，组成直二面角的两个平面 22两平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条 ，那么这两个平面互相垂直23两平面垂直的性质定理： 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内 于它们的 的直线垂直于另一个平面24.点到平面的距离：点是平面外的任意一点，过点作，垂足为，则的长度叫做 的距离结论：连结平面外一点与内一点所得的线段中，垂线段 短25棱柱的概念：有两个面互相 ，其余每相邻两个面的 互相平行，这样的多面体叫棱柱两个互相平行的面叫棱柱的 （简称底）；其余各面叫棱柱的 ；两侧面的公共边叫棱柱的 ；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的 26棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫 棱柱侧棱垂直于底面的棱柱叫 棱柱 底面的是 多边形的 棱柱叫正棱柱27棱柱的性质（1）棱柱的侧棱 ，侧面都是 ；直棱柱侧面都是 ；正棱柱侧面都是 的矩形；（2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相 的 的多边形；（3）过棱柱 相邻的两条 棱的截面都是 28平行六面体、长方体、正方体：底面是 的四棱柱是平行六面体侧棱与底面 的平行六面体叫直平行六面体，底面是 的 平行六面体长方体，棱长都 的长方体叫正方体29平行六面体、长方体的性质(1)平行六面体的对角线 一点，且在点处互相 (2)长方体的一条对角线