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2014年全国高中数学联赛数论试题解答1.（2014年全国高中数学联赛试题，二试，第四题，50分）整数除以的余数互不相同，整数除以的余数也不相同，证明：可以听将重新排列为，使得除以的余数互不相同.证明： 由于交换同组数的位置对问题不产生影响，因此可以假设对于每一个，有于是（）若为偶数，则.（这是因为，假设，则这与为偶数矛盾.）取则（）若为奇数，则（这是因为，假设则这与为奇数矛盾.）取则由（）和（）得，对每一，易知可重新排序为，且对每一，都有由两式得，对每一有下面证明，对每一及每一，都有假设对某一及某一，有则从而有式得于是，这与式矛盾.下面证明，当时，有且假设有满足的整数，使得，则，从而由式得.这与矛盾.故式成立. 假设有满足的整数，使得，则，从而有式得这与矛盾.故式成立.由三式得除以的余数互不相同.2.（2014年全国高中数学联赛B卷试题，加试题，第三题，50分）给定正整数，是非零整数，且为奇数，假定方程有整数解，其中证明：是某个整数的次幂. 证明：设，其中，则由得所以于是又因为且，所以由假定为奇数得，也为奇数，而，从而于是从而由可得，从而于是由
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