凸函数的各种定义和它们的等价性3月18.doc

蒋晓玲 凸函数的各种定义和它们的等价性凸函数的各种定义和它们的等价性 【摘要】：凸函数是基础数学中很重要的一类函数,为了加深对凸函数的认识,本文给出了凸函数的定义。，不同的教材对凸函数的定义形式各不相同，而各种定义之间有着内在的联系,在某些限制条件下,它们是等价的，因此本文也讨论了这些定义的等价性，并且就以凸函数几种定义的等价性给予证明【关键词】：凸函数；定义；等价1 引言凸函数是基础数学中很重要的一类函数,其理论基础由丹麦数学家JJensen在本世纪初奠定在很多数学问题的分析与证明中,我们都要用到凸函数,例如在数学分析、函数论等当中函数的凸与凹反映在几何上是对应曲线（曲面）的弯曲方向,如图，称函数在上是凹函数，在上是凸函数。本文试着讨论凸函数的定义及它们的等价性 2 凸函数的多种定义定义1 设函数在上有定义,若曲线=上任意两点间的弧线总位于连接这两点的弦之上,则称是区间上的凸函数定义2 设函数在上连续,若对于 则称是上的凸函数定义3 在区间内定义的函数 ,如果对任意个点,有 则称函数是内的凸函数定义4 设函数在上连续,若对于及, 则称是上的凸函数定义5 设函数在上连续,在内可导,若对于中任意一点,当2且时,成立 则称是上的凸函数定义6 设函数在上连续,在内二阶可导,若当时 则称是上的凸函数定义7 设函数在区间内有定义,成立 则称为区间内的凸函数定义8 设函数在上有定义,若对任意满足的有 则称是上的凸函数定义9 设函数在上有定义,且对于任意有 成立,则称是区间上的凸函数定义10 设函数在上有定义,如果对于任意及,且,有 成立,则称是内的凸函数定义11 设函数在区间内有定义,及,且,有 则称为区间内的凸函数定义12 设函数在上有定义,若对于一切,且不全为零,且,有 则称是上的凸函数定义13 设函数在上有定义,若对于内任意两点及与之间的任意一点,都有 则称是上的凸函数定义14 设函数在区间内有定义,与皆存在,且有,都有 则称为区间内的凸函数定义15 设函数在区间内有定义,在内存在单减函数,以及,使得,恒有d 则称为区间内的凸函数 定义16 设函数在区间内有定义,在内连续,恒有d 则称为区间内的凸函数2 定义的等价性1）、证明定义1和定义9等价。证明：设是曲线上任意两点,过这两点的直线方程为 曲线上的任意两点间的弧段总位于连接这两点的弦之上是公式的几何意义故定义1和定义9是等价的 2）、用数学归纳法证明定义2与定义3等价证明：当时,式显然即为式假设（为自然数）时,式成立下证时,对等式成立因此,式对（为自然数）时成立下证式如果对成立,则对也成立设是内任意点整理得 总之,式对任意的自然数都成立 故定义2和定义3是等价的3）、证明定义4和定义9等价。证明：过曲线上的点的直线段的参数方程为, 为内任一点,将及上式代入式即得式,代入式即得式故定义4和定义9是等价的4）、证明定义8和定义9等价。证明：由定义8和定义9得到有定义8推定义9当时,由式知,即 整理得 即得式上述过程可逆,即定义9推定义8故定义8和定义9是等价的5）、证明定义10和定义11等价。证明：时,式即为式,显然成立假设时,式成立,即对,有 证明时式成立即对有 取 ,则有利用式及式得即时结论成立故定义10和定义11是等价的 6）、证明定义11和定义12等价。证明：在式中,设,