2005-2014年福州中考压轴题(倒数三题).doc

2014年福建省福州市中考数学试卷20.（满分11分）如图，在ABC中，B=45，ACB=60，AB=3，点D为BA延长线上的一点，且D=ACB，O为ACD的外接圆（1）求BC的长；（2）求O的半径21.（满分13分）如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且BOC=60，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒（1）当t=秒时，则OP= ，SABP= ；（2）当ABP是直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQBP，并使得QOP=B，求证：AQBP=322.（满分14分）如图，抛物线y=(x-3)2-1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OECD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD.求证：AEO=ADC；（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标2013年福州20（12分）（2013福州）如图，在ABC中，以AB为直径的O交AC于点M，弦MNBC交AB于点E，且ME=1，AM=2，AE=（1）求证：BC是O的切线；（2）求的长21（12分）（2013福州）如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，B=45，P是BC边上一点，PAD的面积为，设AB=x，AD=y（1）求y与x的函数关系式；（2）若APD=45，当y=1时，求PBPC的值；（3）若APD=90，求y的最小值22（14分）（2013福州）我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y=ax2+bx（a0）（1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，a=_；当顶点坐标为（m，m），m0时，a与m之间的关系式是_（2）继续探究，如果b0，且过原点的抛物线顶点在直线y=kx（k0）上，请用含k的代数式表示b；（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A1，A2，An在直线y=x上，横坐标依次为1，2，n（为正整数，且n12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1，B2，Bn，以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn，若这组抛物线中有一条经过Dn，求所有满足条件的正方形边长20考点：切线的判定；勾股定理的逆定理；弧长的计算；解直角三角形729812 分析：（1）欲证明BC是O的切线，只需证明OBBC即可；（2）首先，在RtAEM中，根据特殊角的三角函数值求得A=30；其次，利用圆心角、弧、弦间的关系、圆周角定理求得BON=2A=60，由三角形函数的定义求得ON=；最后，由弧长公式l=计算的长解答：（1）证明：如图，ME=1，AM=2，AE=，ME2+AE2=AM2=4，AME是直角三角形，且AEM=90又MNBC，ABC=AEM=90，即OBBC又OB是O的半径，BC是O的切线；（2）解：如图，连接ON在RtAEM中，sinA=，A=30ABMN，=，EN=EM=1，BON=2A=60在RtOEN中，sinEON=，ON=，的长度是：=点评：本题综合考查了切线的判定与性质、勾股定理的逆定理，弧长的计算，解直角三角形等要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可21考点：相似形综合题729812 专题：综合题分析：（1）如图1，过A作AE垂直于BC，在直角三角形ABE中，由B=45，AB=x，利用锐角三角函数定义表示出AE，三角形PAD的面积以AD为底，AE为高，利用三角形面积公式表示出，根据已知的面积即可列出y与x的函数关系式；（2）根据APC=APD+CPD，以及APC为三角形ABP的外角，利用外角性质得到关系式，等量代换得到BAP=CPD，再由四边形ABCD为等腰梯形，得到一对底角相等及AB=CD，可得出三角形ABP与三角形PDC相似，由相似得比例，将CD换为AB，由y的值求出x的值，即为AB的值，即可求出PBPC的值；（3）取AD的中点F，过P作PH垂直于AD，由直角三角形PF大于等于PH，当PF=PH时，PF最小，此时F与H重合，由三角形APD为直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到PF等于AD的一半，表示出PF即为PH，三角形APD面积以AD为底，PH为高，利用三角形面积公式表示出三角形APD面积，由已知的面积求出y的值，即为最小值解答：解：（1）如图1，过A作AEBC于点E，在RtABE中，B=45，AB=x，AE=ABsinB=x，SAPD=ADAE=，yx=，则y=；（2）APC=APD+CPD=B+BAP，APD=B=45，BAP=CPD，四边形ABCD为等腰梯形，B=C，AB=CD，ABPPCD，=，PBPC=ABDC=AB2，当y=1时，x=，即AB=，则PBPC=（）2=2；（3）如图2，取AD的中点F，连接PF，过P作PHAD，可得PFPH，当PF=PH时，PF有最小值，APD=90，PF=AD=y，PH=y，SAPD=ADPH=，yy=，即y2=2，y0，y=，则y的最小值为点评：此题考查了相似形综合题，涉及的知识有：等腰梯形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键22考点：二次函数综合题729812 分析：（1）利用顶点坐标公式（，）填空；（2）首先，利用配方法得到抛物线的解析式y=a（x+）2，则易求该抛物线的顶点坐标（，）；然后，把该顶点坐标代入直线方程y=kx（k0），即可求得用含k的代数式表示b；（3）根据题意可设可设An（n，n），点Dn所在的抛物线顶点坐标为（t，t）由（1）（2）可得，点Dn所在的抛物线解析式为y=x2+2x所以由正方形的性质推知点Dn的坐标是（2n，n），则把点Dn的坐标代入抛物线解析式即可求得4n=3t然后由n、t的取值范围来求点An的坐标，即该正方形的边长解答：解：（1）顶点坐标为（1，1），解得，即当顶点坐标为（1，1）时，a=1；当顶点坐标为（m，m），m0时，解得，则a与m之间的关系式是：a=或am+1=0故答案是：1；a=或am+1=0（2）a0，y=ax2+bx=a（x+）2，顶点坐标是（，）又该顶点在直线y=kx（k0）上，k（）=b0，b=2k；（3）顶点A1，A2，An在直线y=x上，可设An（n，n），点Dn所在的抛物线顶点坐标为（t，t）由（1）（2）可得，点Dn所在的抛物线解析式为y=x2+2x四边形AnBnCnDn是正方形，点Dn的坐标是（2n，n），（2n）2+22n=n，4n=3tt、n是正整数，且t12，n12，n=3，6或9满足条件的正方形边长是3，6或9点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的顶点坐标公式以及正方形的性质解答（3）题时，要注意n的取值范围2012年福州20（2012福州） 如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交O于点E（1）求证：AC平分DAB；（2）若B=60，CD=2，求AE的长21（2012福州）如图1，在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PDBC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t0）（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=82t，PD=t（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长22（2012福州）如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a0）经过A（3，0）、B（4，4）两点（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且NBO=ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足PODNOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）20考点：切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。专题：几何综合题。分析：（1）连接OC，由CD为圆O的切线，根据切线的性质得到OC垂直于CD，由AD垂直于CD，可得出OC平行于AD，根据两直线平行内错角相等可得出1=2，再由OA=OC，利用等边对等角得到2=3，等量代换可得出1=3，即AC为角平分线；（2）法1：由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得出ACB为直角，在直角三角形ABC中，由B的度数求出3的度数为30，可得出1的度数为30，在直角三角形ACD中，根据30角所对的直角边等于斜边的一半，由CD的长求出AC的长，在直角三角形ABC中，根据cos30及AC的长，利用锐角三角函数定义求出AB的长，进而得出半径OE的长，由EAO为60，及OE=OA，得到三角形AEO为等边三角形，可得出AE=OA=OE，即可确定出AE的长；法2：连接EC，由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得出ACB为直角，在直角三角形ABC中，由B的度数求出3的度数为30，可得出1的度数为30，在直角三角形ADC中，由CD及tan30，利用锐角三角函数定义求出AD的长，由DEC为圆内接四边形ABCE的外角，利用圆内接四边形的外角等于它的内对角，得到DEC=B，由B的度数求出DEC的度数为60，在直角三角形DEC中，由tan60及DC的长，求出DE的长，最后由ADED即可求出AE的长解答：解：（1）如图1，连接OC，CD为O的切线，OCCD，OCD=90，ADCD，ADC=90，OCD+ADC=180，ADOC，1=2，OA=OC，2=3，1=3，则AC平分DAB；（2）法1：如图2，AB是O的直径，ACB=90，又B=60，1=3=30，在RtACD中，CD=2，1=30，AC=2CD=4，在RtABC中，AC=4，CAB=30，AB=8，连接OE，EAO=23=60，OA=OE，AOE是等边三角形，AE=OA=AB=4；法2：如图3，连接CE，AB为O的直径，ACB=90，又B=60，1=3=30，在RtACD中，CD=2，AD=6，四边形ABCE是O的内接四边形，B+AEC=60，又DEC=B=60，在RtCDE中，CD=2，DE=2，AE=ADDE=4点评：此题考查了切线的性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，利用了转化及数形结合的思想，遇到直线与圆相切，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得到垂直，利用直角三角形的性质来解决问题21相似三角形的判定与性质；一次函数综合题；勾股定理；菱形的判定与性质。专题：代数几何综合题。分析：（1）根据题意得：CQ=2t，PA=t，由RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，PDBC，即可得tanA=，则可求得QB与PD的值；（2）易得APDACB，即可求得AD与BD的长，由BQDP，可得当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即可求得此时DP与BD的长，由DPBD，可判定PDBQ不能为菱形；然后设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，列方程即可求得答案；（3）设E是AC的中点，连接ME当t=4时，点Q与点B重合，运动停止设此时PQ的中点为F，连接EF，由PMNPQC利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案解答：解：（1）根据题意得：CQ=2t，PA=t，QB=82t，在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，PDBC，APD=90，tanA=，PD=t（2）不存在在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，AB=10PDBC，APDACB，即，AD=t，BD=ABAD=10t，BQDP，当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即82t=，解得：t=当t=时，PD=，BD=10=6，DPBD，PDBQ不能为菱形设点Q的速度为每秒v个单位长度，则BQ=8vt，PD=t，BD=10t，要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，当PD=BD时，即t=10t，解得：t=；当PD=BQ，t=时，即=8，解得：v=当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ是菱形（3）解法一：如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系依题意，可知0t4，当t=0时，点M1的坐标为（3，0），当t=4时点M2的坐标为（1，4）设直线M1M2的解析式为y=kx+b，解得，直线M1M2的解析式为y=2x+6点Q（0，2t，P（6t，0）在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标（，t）把x=代入y=2x+6得y=2+6=t，点M3在直线M1M2上过点M2做M2Nx轴于点N，则M2N=4，M1N=2M1M2=2线段PQ中点M所经过的路径长为2单位长度；解法二：如图3，设E施AC的中点，连接ME当t=4时，点Q与点B重合，运动停止设此时PQ的中点为F，连接EF过点M做MNAC，垂足为N，则MNBCPMNPQC=，即，MN=t，PN=3t，CN=PCPN=（6t）（3t）=3t，EN=CECN=3（3）=t，tanMEN=2，tanMEN的值不变，点M在直线EF上，过F做FHAC，垂足为H则EH=2，FH=4EF=2当t=0时，点M与点E重合；当t=4时，点M与点F重合，线段PQ中点M所经过的路径长为2单位长度故答案为：（1）82t，t点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及一次函数的应用此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用22考二次函数综合题。分析：（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）根据已知条件可求出OB的解析式为y=x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y=xm由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标；（3）综合利用几何变换和相似关系求解方法一：翻折变换，将NOB沿x轴翻折；方法二：旋转变换，将NOB绕原点顺时针旋转90特别注意求出P点坐标之后，该点关于直线y=x的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个，避免漏解解答：解：（1）抛物线y=y=ax2+bx（a0）经过A（3，0）、B（4，4），解得：抛物线的解析式是y=x23x（2）设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（4，4），得：4=4k1，解得：k1=1直线OB的解析式为y=x，直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=xm，点D在抛物线y=x23x上，可设D（x，x23x），又点D在直线y=xm上，x23x=xm，即x24x+m=0，抛物线与直线只有一个公共点，=164m=0，解得：m=4，此时x1=x2=2，y=x23x=2，D点的坐标为（2，2）（3）直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），点A关于直线OB的对称点A的坐标是（0，3），设直线AB的解析式为y=k2x+3，过点（4，4），4k2+3=4，解得：k2=，直线AB的解析式是y=，NBO=ABO，点N在直线AB上，设点N（n，），又点N在抛物线y=x23x上，=n23n，解得：n1=，n2=4（不合题意，舍去）N点的坐标为（，）方法一：如图1，将NOB沿x轴翻折，得到N1OB1，则N1（，），B1（4，4），O、D、B1都在直线y=x上P1ODNOB，P1ODN1OB1，点P1的坐标为（，）将OP1D沿直线y=x翻折，可得另一个满足条件的点P2（，），综上所述，点P的坐标是（，）或（，）方法二：如图2，将NOB绕原点顺时针旋转90，得到N2OB2，则N2（，），B2（4，4），O、D、B1都在直线y=x上P1ODNOB，P1ODN2OB2，点P1的坐标为（，）将OP1D沿直线y=x翻折，可得另一个满足条件的点P2（，），综上所述，点P的坐标是（，）或（，） 本题是基于二次函数的代数几何综合题，综合考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数（直线）的平移、一元二次方程根的判别式、翻折变换、旋转变换以及相似三角形等重要知识点本题将初中阶段重点代数、几何知识熔于一炉，难度很大，对学生能力要求极高，具有良好的区分度，是一道非常好的中考压轴题2011年福州19.（满分11分）如图， RtABC中，ABC=90，以AB为直径的O交AC于点D，过点D的切线交BC于E（1）求证：；（2）若tanC=，DE=2，求AD的长 20.（满分11分）由于电力紧张，某地决定对工厂实行“峰谷”用电规定：在每天的8:00至22:00为“峰电”期,电价为a元/度；每天22:00至8:00为为“谷电”期,电价为b元/度下表为某厂4、5月份的用电量和电费的情况统计表：月份用电量（万度）电费（万元）4126.45168.8(1)若4月份“谷电”的用电量占当月总电量的，5月份“谷电”的用电量占当月总用电量的，求a、b的值(2)若6月份该厂预计用电20万度，为将电费控制在10万元至10.6万元之间（不含10万元和10.6万元），那么该厂6月份在“谷电”的用电量占当月用电量的比例应在什么范围？ABCDMNPQ21.（满分14分）已知：如图，四边形ABCD是等腰梯形，其中ADBC，AD=2，BC=4，AB=DC=2，点M从点B开始，以每秒1个单位的速度向点C运动；点N从点D开始，沿DAB方向，以每秒1个单位的速度向点B运动若点M、N同时开始运动，其中一点到达终点，另一点也停止运动，运动时间为t（t0）过点N作NPBC与P，交BD于点Q（1）点D到BC的距离为 ；（2）求出t为何值时，QMAB；（3）设BMQ的面积为S，求S与t的函数关系式；（4）求出t为何值时，BMQ为直角三角形22.（满分14分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D.（1）求抛物线的解析式. （2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同 时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设S=PQ2(cm2)试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由. （3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标. （第22题）19.（本题满分11分）(1)连接BD，AB为直径，ABC=90，BE切O于点B，因为DE切O于点D，所以DE=BE，EBD=EDB，ADB=90，EBD+C=90，BDE=CDE=90，C=EDC，DE=CE，.-5分(2) 因为DE=2，所以BC=4，在RtABC中，tanC=，所以AB=BC=2，在RtABC中，AC=6，又因为ABDACB，所以，即，所以AD=.-11分20. （本题满分11分）(1) 由题意，得12a12b6.4 8a4b6.416a16b8.8 12a4b8.8 解得a0.6 b0.4-6分 （2）设6月份“谷电”的用电量占当月总电量的比例为k由题意，得1020(1k)0.620k0.410.6 解得0.35k0.5-10分 答：该厂6月份在平稳期的用电量占当月用电量的比例在35%到50%之间（不含35%和50%）-11分21（满分14分）解：（1）-2分(2)t=1.2s-5分（3）当时,s= -8分当时,s= -11分(4)t=1.5s或者t=12/7s-14分22. （满分14分）解: (1)据题意知: A(0, 2), B(2, 2) ，D（4，）, 抛物线的解析式为: -4分 (2) 由图象知: PB=22t, BQ= t, S=PQ2=PB2+BQ2=(22t)2 + t2 , 即 S=5t28t+4 (0t1) -6分假设存在点R, 可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.S=5t28t+4 (0t1), 当S=时, 5t28t+4=,得 20t232t+11=0, 解得 t = ，t = （不合题意，舍去）-7分此时点 P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，）若R点存在，分情况讨论:【A】假设R在BQ的右边, 这时QRPB, 则，R的横坐标为3, R的纵坐标为 即R (3, )，代入, 左右两边相等，这时存在R(3, )满足题意. 【B】假设R在BQ的左边, 这时PRQB, 则：R的横坐标为1, 纵坐标为即(1, ) 代入, 左右两边不相等, R不在抛物线上. 【C】假设R在PB的下方, 这时PRQB, 则：R(1，)代入, 左右不相等, R不在抛物线上. 综上所述, 存点一点R(3, )满足题意. -11分（3）A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，M的坐标为（1，）-14分2011年福州图920.(满分12分)如图9,在中,是边上一点,以为圆心的半圆分别与、边相切于、两点,连接.已知,.求:(1)； (2)图中两部分阴影面积的和.21.(满分12分)已知,矩形中,的垂直平分线分别交、于点、,垂足为. (1)如图10-1,连接、.求证四边形为菱形,并求的长；(2)如图10-2,动点、分别从、两点同时出发,沿和各边匀速运动一周.即点自停止,点自停止.在运动过程中,已知点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,当、四点为顶点的四边形是平行四边形时,求的值.若点、的运动路程分别为、(单位:,),已知、四点为顶点的四边形是平行四边形,求与满足的数量关系式.图10-1图10-2备用图22.(满分14分) 已知,如图11,二次函数图象的顶点为,与轴交于、两点(在点右侧),点、关于直线:对称.(1)求、两点坐标,并证明点在直线上;(2)求二次函数解析式;(3)过点作直线交直线于点,、分别为直线和直线上的两个动点,连接、,求和的最小值.图11备用图20.(满分12分)解:(1)连接、分别切于、两点又四边形是矩形 四边形是正方形 ,在中, (2)如图,设与交于、两点.由(1)得,四边形是正方形 在中, 图中两部分阴影面积的和为21.(满分12分) (1)证明:四边形是矩形,垂直平分,垂足为 四边形为平行四边形又 四边形为菱形设菱形的边长,则 在中由勾股定理得,解得(2)显然当点在上时,点在上,此时、四点不可能构成平行四边形;同理点在上时,点在或上,也不能构成平行四边形.因此只有当点在上、点在上时,才能构成平行四边形以、四点为顶点的四边形是平行四边形时,点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒, ,解得以、四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒.由题意得,以、四点为顶点的四边形是平行四边形时,点、在互相平行的对应边上.分三种情况:i)如图1,当点在上、点在上时,即,得ii)如图2,当点在上、点在上时, 即,得iii)如图3,当点在上、点在上时,即,得图1图2图3综上所述,与满足的数量关系式是22.(满分14分) 解:(1)依题意,得解得,点在点右侧 点坐标为,点坐标为直线: 当时,点在直线上(2)点、关于过点的直线:对称 过顶点作交于点则, 顶点 代入二次函数解析式,解得 二次函数解析式为(3)直线的解析式为 、直线的解析式为由 解得 即,则 点、关于直线对称 的最小值是, 过点作直线的对称点,连接,交直线于则, 的最小值是,即的长是的最小值 由勾股定理得 的最小值为（不同解法参照给分）2010年福建省福州市中考数学试卷19（2010福州）如图，AB是O的直径，弦CDAB与点E，点P在O上，1=C，（1）求证：CBPD；（2）若BC=3，sinP=，求O的直径20（2010福州）郑老师想为希望小学四年（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包的价格比每本词典多8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元？（2）郑老师计划用1000元为全班40位同学每人购买一件学习用品（一个书包或一本词典）后，余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品，共有哪几种购买书包和词典的方案？21（2010福州）如图，在ABC中，C=45，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H（1）求证：；（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式22（2010福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y=2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA=5若抛物线过点O、A两点（1）求该抛物线的解析式；（2）若A点关于直线y=2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，O1是以BC为直径的圆过原点O作O1的切线OP，P为切点（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O1相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由19考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；锐角三角函数的定义。专题：几何综合题。分析：（1）要证明CBPD，可以求得1=P，根据=可以确定C=P，又知1=C，即可得1=P；（2）根据题意可知P=CAB，则sinCAB=，即=，所以可以求得圆的直径解答：（1）证明：C=P又1=C1=PCBPD；（2）解：连接ACAB为O的直径，ACB=90又CDAB，=，P=CAB，sinCAB=，即=，又知，BC=3，AB=5，直径为5点评：本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质，解题时细心是解答好本题的关键20、考点：一元一次不等式组的应用。专题：方案型。分析：（1）设每个书包的价格为x元，则每本词典的价格为（x8）元根据用124元恰好可以买到3个书包和2本词典，列方程求解；（2）设购买书包y个，则购买词典（40y）本根据不等关系“余下不少于100元且不超过120元”列不等式组求解解答：解：（1）设每个书包的价格为x元，则每本词典的价格为（x8）元根据题意，得3x+2（x8）=124，解得：x=28x8=20答：每个书包的价格为28元，每本词典的价格为20元（2）设购买书包y个，则购买词典（40y）本根据题意得：，解得：10y12.5因为y取整数，所以y的值为10或11或12所以有三种购买方案，分别是：书包10个，词典30本；书包11个，词典29本；书包12个，词典28本点评：解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系21、考点：二次函数的最值；矩形的性质；梯形；相似三角形的判定与性质。专题：综合题；数形结合；分类讨论。分析：（1）易证得AEFABC，而AH、AD是两个三角形的对应高，EF、BC是对应边，它们的比都等于相似比，由此得证；（2）此题要转化为函数的最值问题来求解；由（1）的结论可求出AH的表达式，进而可得到HD（即FP）的表达式；已求得了矩形的长和宽，即可根据矩形的面积公式得到关于矩形EFPQ的面积和x的函数关系式，根据函数的性质即可得到矩形的最大面积及对应的x的值；（3）此题要理清几个关键点，当矩形的面积最大时，由（2）可知此时EF=5，EQ=4；易证得CPF是等腰Rt，则PC=PF=4，QC=QP+PC=9；一、P、C重合时，矩形移动的距离为PC（即4），运动的时间为4s；二、E在线段AC上时，矩形移动的距离为94=5，运动的时间为5s；三、Q、C重合时，矩形运动的距离为QC（即9），运动的时间为9s；所以本题要分三种情况讨论：当0t4时，重合部分的面积是矩形EFPQ与等腰RtFMN（设AC与FE、FP的交点为M、N）的面积差，FM的长即为梯形移动的距离，由此可得到S、t的函数关系式；当4t5时，重合部分是个梯形，可用t表示出梯形的上下底，进而由梯形的面积公式求得S、t的函数关系式；当5t9时，重合部分是个等腰直角三角形，其直角边的长易求得，即可得出此时S、t的函数关系式解答：（1）证明：四边形EFPQ是矩形，EFQPAEFABC又ADBC，AHEF；=；（2）解：由（1）得=，AH=xEQ=HD=ADAH=8xS矩形EFPQ=EFEQ=x（8x）=x2+8x=（x5）2+200，当x=5时，S矩形EFPQ有最大值，最大值为20；（3）解：如图1，由（2）得EF=5，EQ=4C=45，NPC是等腰直角三角形PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9分三种情况讨论：如图2，当0t4时，设EF、PF分别交AC于点M、N，则MFN是等腰直角三角形；FN=MF=tS=S矩形EFPQSRtMFN=20t2=t2+20如图3当4t5时，则ME=5t，QC=9t，S=S梯形EMCQ=（5t）+（9t）4=4t+28如图4当5t9时，设EQ交AC于点K，则KQ=QC=9tS=SKQC=（9t）2=（t9）2综上所述：S与t的函数关系式为：S= 点评：此题主要考查了矩形、等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质及二次函数的应用等知识，同时还考查了分类讨论的数学思想22考点：二次函数综合题。专题：压轴题。22分析：（1）将O、A的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值；（2）根据A点的坐标和直线OB的解析式可求出B点的坐标，进而可求出OA、AB、OB的长；设AC与OB的交点为E，连接OC，由于A、C关于OB对称，那么OB垂直平分线段AC，则有BC=AB，AE=CE，OA=OC，由此可求出OC、BC的长，在RtBCO中，根据直角三角形面积的不同表示方法，可求出CE的长，进而可得到AC的长；过C作CDx轴于D，易证得CDAOAB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求出AD、CD的长，从而得到C点的坐标；然后将C点坐标代入抛物线的解析式中进行验证即可；（3）在（2）中已经证得BCOC，则OC是O1的切线，由于P、C不重合，所以P点在第一象限；连接O1P，若存在符合条件的Q点，那么点Q必为直线O1P与抛物线的加点，所以解决此题的关键是求出O1、P的坐标；过O1作O1Hx轴于H，则O1H是梯形CDAB的中位线，易得AH=DH=AD，由此可得求出AH、DH的长，进而可求出OH的长，根据梯形中位线定理即可得到O1H的长，由此可求出点O1的坐标；过P作PFx轴于F，由于OC、OP都是圆的切线，则OC=OP=O1C=O1P=5，由此可得四边形OCO1P是正方形，得POC=90，根据等角的余角相等，可证得OCD=POF，由此可证得POFCOD，即可得到PF、OF的长，也就得出了P点的坐标，然后用待定系数法即可求出直线O1P的解析式，联立抛物线的解析式，即可得到Q点的横坐标解答：解：（1）把O（0，0）、A（5，0）分别代入y=x2+bx+c，得，解得；该抛物线的解析式为y=x2x；（2）点C在该抛物线上理由：过点C作CDx轴于点D，连接OC，设AC交OB于点E点B在直线y=2x上，B（5，10）点A、C关于直线y=2x对称，OBAC，CE=AE，BCOC，OC=OA=5，BC=BA=10又ABx轴，由勾股定理得OB=5SRtOAB=AEOB=OAABAE=2，AC=4；OBA+CAB=90，CAD+CAB=90，CAD=OBA；又CDA=OAB=90，CDAOAB=；CD=4，AD=8；C（3，4）当x=3时，y=9（3）=4；点C在抛物线y=x2x上；（3）抛物线上存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O1相切；过点P作PFx轴于点F，连接O1P，过点O1作O1Hx轴于点H；CDO1HBAC（3，4），B（5，10）O1是BC的中点，由平行线分线段成比例定理得AH=DH=AD=4，OH=OAAH=1，同理可得O1H=7，点O1的坐标为（1，7）BCOC，OC为O1的切线；又OP为O1的切线，OC=OP=O1C=O1P=5四边形OPO1C为正方形，POF=OCD又PFO=ODC=90，POFOCDOF=CD，PF=OD，P（4，3）设直线O1P的解析式为y=kx+b（k0），把O1（1，7）、P（4，3）分别代入y=kx+b，得，解得；直线O1P的解析式为y=x+；若以PQ为直径的圆与O1相切，则点Q为直线O1P与抛物线的交点，可设点Q的坐标为（m，n），则有n=m+，n=y=m2mm+=m2m，整理得m2+3m50=0解得m=，点Q的横坐标为或点评：此题考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质、解直角三角形、相似三角形及全等三角形的判定和性质、切线的判定和性质、切线长定理、函数图象交点坐标的求法等；涉及知识点较多，难度很大2009年福州市课改实验区21（满分12分）如图9，等边边长为4，是边上动点，于H，过作，交线段于点，在线段上取点，使。设。(1)请直接写出图中与线段相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；(2)是线段上的动点，当四边形是平行四边形时,求 的面积（用含的代数式表示）；(3)当（2）中 的面积最大值时，以E为圆心，为半径作圆，根据E与此时四条边交点的总个数，求相应的的取值范围。22（满分14分）已知直线l：y=x+m（m0）交x轴、y轴于A、B两点，点C、M分别在线段OA、AB上，且OC=2CA，AM=2MB，连接MC，将ACM绕点M旋转180，得到FEM，则点E在y轴上, 点F在直线l上;取线段EO中点N,将ACM沿MN所在直线翻折，得到PMG，其中P与A为对称点.记：过点F的双曲线为，过点M且以B为顶点的抛物线为，过点P且以M为顶点的抛物线为.(1) 如图10，当m=6时，直接写出点M、F的坐标， 求、的函数解析式；（2）当m发生变化时， 在的每一支上，y随x的增大如何变化？请说明理由。 若、中的y都随着x的增大而减小,写出x的取值范围。图10解：（）、BF三条线段中任选两条2分 （）在tH中，CHE9，HPQ=EF=BE=4-x5分（）当x时，有最大值此时E、F、P分别为ABC三边BC、AB、AC的中点，且点C、 点Q重合平行四边形EFPQ是菱形过点作D于D，DH当E与四条边交点的总个数是个时，r；当E与四条边交点的总个数是个时，r； 当E与四条边交点的总个数是个时，r；当E与