双曲线中的面积问题.doc

双曲线中的面积问题学习反比例函数时，我们经常遇到一些求解与其函数图象双曲线有关的面积问题。要解决好这些问题，应注意以下几个方面的基础知识：设反比例函数式为y=。由双曲线上一点向两条坐标轴做垂线段，由这两条垂线段与两坐标州围成的矩形的面积计算。（如图1，以第一象限的图象为例）由四边形PMON为矩形。设P点坐标为（m，n），P在y=图象上，则有mn=k。OM=，ON=S四边形OMPN=OMON=由双曲线上一点向其中一条坐标轴的作垂线段，并连接这一点与原点的线段，由这两条线段与坐标轴围成的三角形的面积的计算。（如图2，仍以第一象限的图象为例）由图象可知，SPOM=SPON= S四边形OMPN=。理解点的坐标的几何意义：点P的坐标为（m，n），则表示P到y轴的距离；表示P到x轴的距离。用好双曲线的对称性：双曲线关于原点O对称，因此双曲线y=与过原点O的正比例函数y=k2x的交点关于原点O对称。会利用反比例函数关系式y=设双曲线上点的坐标。如点P在双曲线y=的图象上，设P点的横坐标为m，则P点的坐标可表示为（m，）会用割补法求面积。尤其要注意有时需先利用坐标轴构造出特殊图形（如矩形、梯形、直角三角形等）。一、用好双曲线的对称性例1若函数y=kx（k0）与函数y=的图象相交于A、C两点，ABx轴于B。则ABC的面积为（ ）。A。1 B。2 C。3 D。4解：由A在双曲线y=上，ABx轴于B。 SABO=1=又由A、B关于O对称，SCBO= SABO= SABC= SCBO+SABO=1 故选（A）二、正确理解点的坐标的几何意义例2如图，反比例函数y=与一次函数y=x+2的图象交于A、B两点，交x轴于点M，交y轴于点N，则SAOB= 。解：由y=x+2交x轴于点M，交y轴于点NM点坐标为（2，0），N点坐标为（0，2） OM=2，ON=2由 解得或A点坐标为（2，4），B点坐标为（4，2）SAOB=SAON+SMON+SBOM =ON+OMON+OM=6（或SAOB=SAOM+SBOM=OM+OM=6）三、注意分类讨论例3如图，正方形OABC的面积为9，点O是坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y=（k0，x0）的图象上。点P（m、n）是函数函数y=上任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线。垂足分别为E、F，并设矩形OEPF中和正方形OABC不重合部分的面积为S。求点B的坐标和k值。当S=时，求P点的坐标。解：设B点坐标为（x0，y0），B在函数y=（k0，x0）的图象上，S正方形OABC= x0y0=9，x0=y0=3即点B坐标为（3，3），k= x0y0=9当P在B点的下方（m3）时。设AB与PF交于点H，点P（m、n）是函数函数y=上，S四边形CEPF=mn=9，S矩形OAHF=3nS=93n=，解得n=。当n=时，=，即m=6P点的坐标为（6，）当P在B点的上方（m3）时。 同理可解得：P1点的坐标为（，6）当S=时，P点的坐标为（6，）或（，6）。四、善用“割补法”例4如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A（1，4），B（3，m）两点。求一次函数解析式；求AOB的面积。解：由A（1，4），在y=的图象上，k2=xy=4B（3，m）在y=的图象上，B点坐标为（3，）A（1，4）、B（3，）在一次函数y=k1x+b的图象上，可求得一次函数解析式为：y=x+。设一次函数y=x+交x轴于M，交y轴于N（如图）。则M（4，0），N（0，）SAOB=SMONSOBMSAON=OMONOMON =441=五、构造特殊辅助图形例5如图，已知直线y=x与双曲线y=（k0）交于A、B两点，且点A横坐标为4。求k的值；若双曲线y=（k0）上一点C的纵坐标为8，求AOC的面积。过原点O的另一条直线交双曲线y=（k0）于P、Q两点（P点在第一象限），若由点ABPQ为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标。解：A横坐标为4，在直线y=x上，A点坐标为（4，2）A（4，2）又在y=上，k=42=8C的纵坐标为8，在双曲线y=上，C点坐标为（1，8）过A、C分别作x轴、y轴垂线，垂足为M、N，且相交于D，则得矩形ONDM。S矩形ONDM=48=32。又SONC=4，SCDA=9，SOAM=4SAOC= S矩形ONDMSONCSCDASOAM=32494=15由反比例函数图象是中心对称图形，OP=OQ，OA=OB，四边形APBQ是平行四边形。SPOA=S四边形APBQ=6设P点的坐标为（m，），过P、A分别作x轴、y轴垂线，垂足为E、M。SPOE=SAOM=k=4若0m4时，如图所示。SPEO