人教版教材第十八章勾股定理第89页复习题18的8题已知.doc

巧用展开解中考题河北省围场县棋盘山中学 黄金明 电话邮编：068455列宁曾经说过：“从生动的直观到抽象的思维，再由思维到实践是认识真理、是认识客观实在的辨证道路”近几年来在各地的中考题中出现了一类由立体转化成平面再进行解决的问题，大都采用了平面展开的办法，这些题目也源于我们的教材，现举例说明。人教版教材第十八章勾股定理第89页复习题18的8题：已知圆柱的底面半径为6厘米，高为10厘米，一只蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是多少？（精确到0.1厘米）我们知道蚂蚁从A到B所走的路线是一条曲线如图1.1，目前学生还无法用所学的知识求曲线的长，另外最短的路线怎样走，更是无从可知，我们借助平面展开的方法，把圆柱体的侧面展开是一个矩形，B点恰好在图2 的一边的中点上，根据“两点之间，线段最短”得到AB即是所求的最短的路线，再根据勾股定理AB的长，、由立体图形转化成转化直观的平面图形。2010年绍兴中考试卷第十六题：水管的外部需要包扎，包扎时用带子缠绕在管道的外部若要使管子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况）需要计算带子的缠绕角度（指的是缠绕中将部分带子拉成如图所示的平面ASBCD中的ABC，其中AB为管道侧面母线的一部分）若带子宽度为1，水管的半径为2，则的余弦值为 。解决这个问题需要把缠绕一圈的带子展开成为一个平行四边形ABCD，把空间的几何问题化为平面几何问题-解直角三角形，将数学中的母线、角度、直径等渗透其中，当学生的空间想象能力受到影响时，可借助动手展开的实践进行转化，对带子的缠绕角度的理解就是这个题的难点。如图，把缠绕一圈的带子展开，因为AB为管道的母线的一部分，所以CD就是管道的母线的一部分，且A与C重合，可以知道AC为管道的周长AC=2、BAC=90BADABC过A作AHBC垂足为H，由带子的宽度为1，可知AH=1，因为BAH+B=90cosBAH+HAC=90所以BAH=HAC=，在直角三角形AHC中，HAC的余弦值=1/2, 的余弦值=1/22010年无锡市中考试卷28题：一个三棱柱包装盒（图1），它的底面是边长为10厘米的正三角形，三个侧面都是矩形。现将宽为5厘米的彩色纸带AMCN截成平行四边形ABCD（图2），然后用这个平行四边形纸带按（图3）方式把这个三棱柱的侧面包贴（要求包贴是没有重合的部分，也没有缝隙），纸带在侧面绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包满。（1） 请在图3中，计算裁剪的角度BAD（2） 计算按图3包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度。解：（1）由图3包贴方法可知：AB的长度等于三棱柱的地面周长，所以AB=30，又因为纸带的宽度为15，所以sin BAD=sin ABM=AM/AB=15/30=1/2,所以BAD=30。（2）在图3中，将三棱柱过A点的棱剪开展平得到如图4的侧面展开图，将ABE向左平移30厘米，将CDF向右平移30厘米，拼成图5的平行四边形ABCD，由题意可知：BC=BF+CF=2CF=2(CD/ cos30)=403,所以所需的纸带长度为图2 中的MB+BC=30cos30+403=553。解析：从上面的解题看，近年来的中考重视学生综合能力的靠查，把数学的基础知识、技能、过程、方法有机的结合起来，从生活中汲取解决问题的方法，通过对立体图形的展开、平移、翻折、旋转等实践，对抽象的实际问题进行解决和探索，因而达到知识与能力双重考查的目的。试一试：已知圆锥的底面半径为