2013年高考数学预测新课标数学考点预测(21)不等式选讲.pdf

20132013 年高考数学预测年高考数学预测新课标数学考点预测 新课标数学考点预测 新课标数学考点预测 新课标数学考点预测 21212121 不等式选讲 一 不等式选讲 一 一 考点介绍 1 理解绝对值的几何意义 并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件 a b a b a b R a b a c c b a b R 2 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式 ax b c ax b c x c x b a 3 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法 比较法 综合法 分析法 反证 法 放缩法 4 能够利用平均值不等式 柯西不等式求一些特定函数的最值 5 了解数学归纳法的原理及其使用范围 会用数学归纳法证明一些简单问题 二 高考真题 2007200720072007 广东卷理广东卷理广东卷理广东卷理14 14 14 14 设函数 213f xxx 则 2 f 若 5f x 则x的取值范围是 解析解析 2 f 63 2 1 2 2 由5312 xx得xx 212 则 xxx 2122 得11 x 答案答案 6 1 1 2 2 2007200720072007海南 宁夏卷理海南 宁夏卷理海南 宁夏卷理海南 宁夏卷理 22222222 设函数 214f xxx I 解不等式 2f x II 求函数 yf x 的最小值 解析解析 令214yxx 则 1 5 2 1 334 2 54 xx yxx xx 的解集为 5 7 3 xx 由函数214yxx 的图像可知 当 1 2 x 时 214yxx 取得最小 值 9 2 3 3 3 3 2008200820082008 广东卷理广东卷理广东卷理广东卷理 14 14 14 14 已知a R R R R 若关于x的方程 2 1 0 4 xxaa 有实根 则a的取值范围是 解析 方程即 2 11 0 44 aaxx 利用绝对值的几何意义 或零点分段法进行求 解 可得实数a的取值范围为 1 0 4 答案答案 1 0 4 4 4 4 4 2008200820082008 海南 宁夏卷理海南 宁夏卷理海南 宁夏卷理海南 宁夏卷理 22222222 已知函数 84f xxx 作出函数 yf x 的图像 解不等式842xx 解析解析 44 21248 48 x f xxx x 图像如下 不等式842xx 即 2f x 由2122x 得5x 由函数 f x图像可知 原不等式的解集为 5 5 5 5 5 2008200820082008 江苏卷理江苏卷理江苏卷理江苏卷理 21 21 21 21 设a b c为正实数 求证 333 111 2 3 abc abc 解析解析 因为 a b c为正实数 由平均不等式可得 3 333333 111111 3 abcabc i 即 333 1113 abcabc 所以 333 1113 abcabc abcabc 而 33 22 3abcabc abcabc i 所以 333 111 2 3 abc abc 三 名校试题三 名校试题 考点一 考点一 考点一 考点一 含有绝对值的不等式的解法含有绝对值的不等式的解法 1 2008 届宁夏银川一中高三年级第二次模拟考试 设函数 f x 2x 1 x 3 1 解不等式 f x 5 2 求函数 y f x 的最小值 解析解析 1 当 x 2 1 时 f x 1 2x x 3 5 x 1 x 1 1 x0 b 0 c 0 abc 1 试证明 2 3 1 1 1 222 baccabcba 解析解析 由 22 0 0 44 xyxy x yxy yy 得 所以 11 4 11 11 1 1 2 23 cba cb a cba bc cba 同理 11 4 11 1 3 cabcab 11 4 11 1 3 bacbac 相加得 左 111 2 1 cba 2 3 2 3 3 abc 考点四 考点四 证明不等式的基本方法证明不等式的基本方法 5 5 5 5 2008200820082008 年宁夏银川一中高三年级第三次模拟考试年宁夏银川一中高三年级第三次模拟考试 设 a R 且 a 2 2 2 2 比较 a 2 2 与2 2 2 2 a 的大小 解析解析 2 2a 2a 2 2 a a 3 分 当2a 且0a 时 2 0 2 a a 2 2a 2a 6 分 当0a 时 2 0 2 a a 2 2a 2a 7 分 当2a 时 2 0 2 a a 1 且满足a2a4 64 a3 2 是a2 a4的等差中项 1 求数列 an 的通项公式 2 设 1 2 21 log 2 nnnn aBaA 试比较An与Bn的大小 并证明你的结论 解析解析 1 8 0 8 64 64 33 2 342 aaaaaa n 又 2 分 423 2aaa是 的等差中项 0252 8 8 20 2 2 2 423 qqq q aaa即即 解得q 2 或 2 1 q 舍去 4 分 228 33 3 nnn nn qaaa 的通项公式为数列 5 分 2 由 1 得 212 2 1 1 2log 22 nBA n n n n 当n 1 时 A1 2 B1 1 1 2 4 A 1 B1 当n 2 时 A2 6 B2 2 1 2 9 A 2 B2 当n 3 时 A3 14 B3 3 1 2 16 A 3B4 由上可猜想 当 1 n 3 时 AnBn 8 分 下面用数学归纳法给出证明 当n 4 时 已验证不等式成立 假设n k k 4 时 Ak Bk 成立 即 21 1 22 k k 1 22 2212 1 1 1 44 4422 1 22 22 222 1 k kk k Bkkk kkkAkn时当 即当n k 1 时不等式也成立 由 知 当 4 nn BANnn 时 综上 当31 n时 An 时 四 考点预测四 考点预测四 考点预测四 考点预测 高考对这部分知识的考查主要考查绝对值的几何意义 解含参绝对值不等式的解法 证明不等式的基本方法 会用数学归纳法证明一些简单问题等 题型仍以填空题或解答题形 式出现 1 不等式125xx 的解集为 解析解析 当x 2 时 原不等式可以化为 1 2 xx 5 解得x 3 即不等式 组 2 125 x xx 的解集是 3 当21x 时 原不等式可以化为 1 2 xx 5 即 3 5 矛盾 所以不 等式组 21 125 x xx 的解集为 当x 1 时 原不等式可以化为 1 2 xx 5 解得x 2 即不等式组 1 125 x xx 的解集是 2 综上所述 原不等式的解集是 3 2 答案答案 3 2 2 若 5f xxtx 的最小值为 3 则实数t的值是 解析解析 由 5553fxxtxxtxt 得2t 或 8 答案答案 2t 或 8 3 已知 g x x 1 x 2 则 g x 的值域为 若关于x的不等式 2 1 g xaaxR 的解集为空集 则实数a的取值范围是 解析解析 当 x 1 时 g x x 1 x 2 1 当 x 时 g x x 1 x 2 2x 3 所以 g x 1 当 x 时 g x x 1 x 2 1 综合以上 知 1 g x 1 2 1 g xaaxR 的 解 集 为 空 集 就 是 1 g x max 2 1aa 所 以 1 0 a 答案答案 0 1 4 4 宁夏区银川一中宁夏区银川一中 20092009 届高三年级第四次月考数学试题届高三年级第四次月考数学试题 理科理科 选考题选考题 已知 x 4 3 x a 1 若不等式的解集为空集 求 a 的范围 2 若不等式有解 求 a 的范围 解析解析 解法一 1 当x 4 时 x 4 x 3 x 3 时 4 x x 3 a 1 a 若要求不等式无解 则 a 1 否则不等 式的解集为全集 当 x 3 时 4 x 3 x a 7 2x a 在 x 3 区间 不等式左端的函数单调递 减 在 x 3 时取最小值 1 若要求不等式无解 则 a 1 综合以上 a 1 2 当 x 4 时 x 4 3 x x 4 x 3 2x 7 因为 x 4 所以 2x 7 1 当 3 x 4 时 x 4 3 x 4 x x 3 1 当 x 3 时 x 4 3 x 4 x 3 x 7 2x 因为 x 3 所以 x 3 所以 7 2x 1 所以 x 4 3 x 最小值为 1 要使 x 4 3 x 1 解法二 设 y x 4 x 3 x 3 3 x 等价于 3 72 43 1 4 72 xx x xx y 其图象为 由图象知 当 a 1 时 x 4 3 x a 无解 当 1 a 时 x 4 3 x 4 分 2 222 abc bcacababc 222 1abc bcacababc abc bcacababc 2 222 1abc bcacababc abcbcacababc 21 abc abc abc 不等式选讲不等式选讲不等式选讲不等式选讲 二二二二 一 考点介绍 不等式选讲是对以前所学不等式内容的深化 通过不等式的证明 不等式的证明 不等 式的几何意义 不等式的背景 从不等式的数学本质上加以剖析 从而提高思维逻辑能力 分析解决问题的能力 主要内容是 1 绝对值不等式的解法及证明 2 柯西不等式 3 用不 等式求函数极值 4 数学归纳法在证明不等式方面的应用 二 高考真题 1 2008 广东卷 数学理 14 已知a R R R R 若关于x的方程 2 1 0 4 xxaa 有实 根 则a的取值范围是 解析 方程即 2 11 0 44 aaxx 利用绝对值的几何意义 或零点分段法进行求 解 可得实数a的取值范围 答案 1 0 4 2 2008 海南宁夏卷 数学理 24 已知函数 4 8 xxxf 1 作出函数 xfy 的图象 2 解不等式2 4 8 xx 解析 本题考查绝对值不等式的解法 我们可以利用 零点分段法 先求出每个含绝对值 符号的代数式等于零的未知数的值 然后分类讨论 得到一个分段函数 答案 44 21248 48 x f xxx x 图像如下 不等式842xx 即 2f x 1 1 O x y 2 3 4 2 4 1 2 2 8 4 由2122x 得5x 由函数 f x图像可知 原不等式的解集为 5 3 2008 年江苏卷 数学 21D 设a b c为正实数 求证 333 111 2 3abc abc 解析 本题是几何平均不等式的应用 我们要灵活地掌握它 答案 因为 a b c为正实数 由平均不等式可得 3 333333 111111 3 abcabc i 即 333 1113 abcabc 所以 333 1113 abcabc abcabc 而 33 22 3abcabc abcabc i 所以 333 111 2 3 abc abc 三 名校试题三 名校试题 1 2008 全国高中数学联赛江苏初赛 如果实数m n x y满足anm 22 byx 22 其中a b为常数 那么mxny 的最大值为 A 2 ba B abC 2 22 ba D 2 22 ba 解析 由柯西不等式abyxnmnymx 22222 或三角换元即可得到 abnymx 当 2 a nm 2 b yx 时 abnymx 选 B 答案 B 2 2008 广州市育才中学模拟 不等式125xx 的解集为 A 22 B 21 C 32 D 23 解析 当2x 时 原不等式可以化为 1 2 5xx 解得3x 即不等式组 2 125 x xx 的解集是 3 当21x 时 原不等式可以化为 1 2 5xx 即35 矛盾 所以不等式组 21 125 x xx abba则 ba ba 22 的最小值是 A22B2C 2D1 解析 记tba 则0 t ba ba 22 22 22 2 t t t t 当且仅当2t 即 62 2 a 62 2 b 时取等号 故选 A 答案 A 4 2009 年无锡调研 已知x y z均为正数 求证 111 xyz yzzxxyxyz 解析 本题考查不等式的证明 根据不等式的特点 利用基本不等式即可证明 答案 因为x y z无为正数 所以 12 xyxy yzzxz yxz 同理可得 2yz zxxyx 2zx xyyzy 当且仅当xyz 时 以上三式等号都成立 将上述三个不等式两边分别相加 并除以 2 得 111xyz yzzxxyxyz 5 2008 年高中数学联赛江西预赛 设 x y z为非负实数 满足1xyyzzx 证明 1115 2xyyzzx 解析 证明不等式的思路主要有三 1 比较法 2 分析法 3 综合法 本题可以使用综 合法 结合基本不等式从左向右证明 证明 为使所证式有意义 x y z三数中至多有一个为0 根据对称性 不妨设 0 xyz 则0 0 0 xyz 对正数 x y作调整 由于 2 1122 1 yzzx yzzxz 取等号当且仅当xy 此时条件式成为 2 21xxz 则1x 且有 2 1 2 x z x 于是 2 11112 2 1 xyyzzxx z 2 14 21 x xx 只要证 2 145 212 x xx 即 23 1 9550 xxx 也即 2 15410 xxx 此为显然 取等号当且仅当1 0 xyz 故命题得证 四 考点预测四 考点预测四 考点预测四 考点预测 一 本章是对必修 5 中不等式的补充和深化 从新课标高考看 考点主要有两部分 一是 绝对值不等式 二是不等式的证明与应用 求最值 但要注意不等式的证明与数学归纳法的 结合 但是近年来高考对不等式的证明难度要求有所降低 出现题目较少 因此应将绝对值 不等式的解法和证明放在重点位置 本部分作为四选二的内容之一 必有一道选做的解答题 题目多为中低档题 二 考点预测题 1 设 2 f xaxbx 且1 1 2f 2 1 4f 则 2 f 的取值范围为 解析 本题考查不等式的基本性质 首先建立待求范围的整体与已知范围的整体的 等量关系 再利用 一次性 不等关系的运算求得待求整体的范围 答案 设 2 1 1 fmfnf m n为待定系数 则 42 abm abn ab