2010年高考数学试题分类汇编——数列.pdf

高考真题汇编 1 2010201020102010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编 数列数列 2010201020102010 浙江理数浙江理数 3 设 n S为等比数列 n a的前n项和 25 80aa 则 5 2 S S A 11 B 5 C 8 D 11 解析 解析 通过 25 80aa 设公比为q 将该式转化为08 3 22 qaa 解得q 2 带入所求式可知答案选 D 本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式 与前 n 项和公式 属中档题 20102010 全国卷全国卷 2 2 理数理数 4 如果等差数列 n a中 345 12aaa 那么 127 aaa A 14 B 21 C 28 D 35 答案 C 命题意图 本试题主要考查等差数列的基本公式和性质 解析 17 345441274 7 312 4 728 2 aa aaaaaaaaa 20102010 辽宁文数辽宁文数 3 设 n S为等比数列 n a的前n项和 已知 34 32Sa 23 32Sa 则公比q A 3 B 4 C 5 D 6 解析 选 B 两式相减得 343 3aaa 4 43 3 4 4 a aaq a 2010201020102010 辽宁理数辽宁理数 6 设 an 是有正数组成的等比数列 n S为其前 n 项和 已知 a2a4 1 3 7S 则 5 S A 15 2 B 31 4 C 33 4 D 17 2 答案 B 命题立意 本题考查了等比数列的通项公式与前 n 项和公式 考查了同 学们解决问题的能力 解析 由 a2a4 1 可得 24 1 1a q 因此 1 2 1 a q 又因为 2 31 1 7Saqq 高考真题汇编 2 联力两式有 11 3 2 0 qq 所以 q 1 2 所以 5 5 1 4 1 31 2 1 4 1 2 S 故选 B 2010201020102010 全国卷全国卷 2 2 2 2 文数 文数 6 如果等差数列 n a中 3 a 4 a 5 a 12 那么 1 a 2 a 7 a A 14 B 21 C 28 D 35 解析 解析 解析 解析 C C C C 本题考查了数列的基础知识 本题考查了数列的基础知识 本题考查了数列的基础知识 本题考查了数列的基础知识 345 12aaa 4 4a 127174 1 7 728 2 aaaaaa 20102010 江 西 理 数江 西 理 数 5 等 比 数 列 n a中 1 2a 8 a 4 函 数 128 f xx xaxaxa 则 0f A 6 2B 9 2C 12 2D 15 2 答案 C 解析 考查多项式函数的导数公式 重点考查学生创新意识 综合与灵活地应 用所学的数学知识 思想和方法 考虑到求导中 含有 x 项均取 0 则 0f只与 函数 f x的一次项有关 得 412 123818 2a aaaa a 20102010 江西理数江西理数 4 2 111 lim 1 333n x A 5 3 B 3 2 C 2D 不存在 答案 B 解析 考查等比数列求和与极限知识 解法一 先求和 然后对和取极限 1 1 3 3 lim 1 2 1 3 n n 2010201020102010 安徽文数 安徽文数 5 设数列 n a的前 n 项和 2 n Sn 则 8 a的值为 A 15 B 16 C 49 D 64 5 A 高考真题汇编 3 解析 887 644915aSS 方法技巧 直接根据 1 2 nnn aSSn 即可得出结论 2010 重庆文数 2 在等差数列 n a中 19 10aa 则 5 a的值为 A 5 B 6 来源 高 求数列 2 an 的前 n项和Sn 解 由题设知公差d 0 由a1 1 a1 a3 a9成等比数列得 12 1 d 1 8 12 d d 解得d 1 d 0 舍去 故 an 的通项an 1 n 1 1 n 高考真题汇编 15 由 知2 m a 2 n 由等比数列前 n 项和公式得 Sm 2 2 2 23 2n 2 1 2 12 n 2 n 1 2 2010201020102010 全国卷全国卷 2 2 2 2 文数文数 18 本小题满分 12 分 已知 n a是各项均为正数的等比数列 且 12 12 11 2 aa aa 345 345 111 64 aaa aaa 求 n a的通项公式 设 2 1 nn n ba a 求数列 n b的前n项和 n T 解析 本题考查了数列通项 前 解析 本题考查了数列通项 前 解析 本题考查了数列通项 前 解析 本题考查了数列通项 前n项和及方程与方程组的基础知识 项和及方程与方程组的基础知识 项和及方程与方程组的基础知识 项和及方程与方程组的基础知识 1 1 1 1 设出公比根据条件列出关于设出公比根据条件列出关于设出公比根据条件列出关于设出公比根据条件列出关于 1 a 与与与与d的方程求得的方程求得的方程求得的方程求得 1 a 与与与与d 可求得数列的通项公可求得数列的通项公可求得数列的通项公可求得数列的通项公 式 式 式 式 2 2 2 2 由由由由 1 1 1 1 中求得数列通项公式中求得数列通项公式中求得数列通项公式中求得数列通项公式 可求出可求出可求出可求出 BNBNBNBN 的通项公式的通项公式的通项公式的通项公式 由其通项公式化可知由其通项公式化可知由其通项公式化可知由其通项公式化可知 其和可分成两个等比数列分别求和即可求得 其和可分成两个等比数列分别求和即可求得 其和可分成两个等比数列分别求和即可求得 其和可分成两个等比数列分别求和即可求得 20102010 江西理数江西理数 22 本小题满分 14 分 证明以下命题 1 对任一正整 a 都存在整数 b c b 求 c 的取值范围 高考真题汇编 19 高考真题汇编 20 高考真题汇编 21 2010201020102010 山东文数山东文数 18 本小题满分 12 分 已知等差数列 n a满足 3 7a 57 26aa n a的前 n 项和为 n S 求 n a及 n S 令 2 1 1 n n b a nN 求数列 n b的前 n 项和 n T 高考真题汇编 22 20102010 北京文数北京文数 16 本小题共 13 分 已知 n a为等差数列 且 3 6a 6 0a 求 n a的通项公式 若等差数列 n b满足 1 8b 2123 baaa 求 n b的前 n 项和公式 解 设等差数列 n a的公差d 因为 36 6 0aa 所以 1 1 26 50 ad ad 解得 1 10 2ad 所以10 1 2212 n ann 设等比数列 n b的公比为q 因为 2123 24 8baaab 所以 824q 即q 3 所以 n b的前n项和公式为 1 1 4 1 3 1 n n n bq S q 20102010 北京理数北京理数 20 本小题共 13 分 高考真题汇编 23 已知集合 121 0 1 1 2 2 nn SX Xx xxxinn 对于 12 n Aa aa 12 nn Bb bbS 定义 A 与 B 的差为 1122 nn ABababab A 与 B 之间的距离为 11 1 i d A Bab 证明 nn A B CSABS 有 且 d AC BCd A B 证明 n A B CSd A B d A C d B C 三个数中至少有一个是偶数 设P n S P中有m m 2 个元素 记P中所有两元素间距离的平均值为 d P 证明 d P 2 1 mn m 考生务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无效 证明 I 设 12 n Aa aa 12 n Bb bb 12 n Cc cc n S 因 为 i a 0 1 i b 所 以 0 1 ii ab 1 2 in www ks 从而 1122 nnn ABabababS 又 1 n iiii i d AC BCacbc 由题意知 i a i b i c 0 1 1 2 in 当0 i c 时 iiiiii a cbcab 当1 i c 时 1 1 iiiiiiii a cbcabab 所以 1 n ii i d AC BCabd A B II 设 12 n Aa aa 12 n Bb bb 12 n Cc cc n S d A Bk d A Cl d B Ch 记 0 0 0 n OS 由 I 可知 高考真题汇编 24 d A Bd AA BAd O BAk d A Cd AA CAd O CAl d B Cd BA CAh 所以 1 2 ii bain 中 1 的个数为k 1 2 ii cain 的 1 的 个数为l 设t是使 1 iiii baca 成立的i的个数 则2hlkt 由此可知 k l h三个数不可能都是奇数 即 d A B d A C d B C三个数中至少有一个是偶数 III 2 1 A B P m d Pd A B C 其中 A B P d A B 表示P中所有两个元素间距离的总和 设P种所有元素的第i个位置的数字中共有 i t个 1 i mt 个 0 则 A B P d A B 1 n ii i t mt 由于 i t i mt 2 1 2 4 m in 所以 A B P d A B 2 4 nm 从而 2 22 1 42 1 A B P mm nmmn d Pd A B CCm 2010201020102010 四川理数四川理数 21 本小题满分 12 分 已知数列 an 满足a1 0 a2 2 且对任意m n N 都有 a2m 1 a2n 1 2am n 1 2 m n 2 求a3 a5 设bn a2n 1 a2n 1 n N 证明 bn 是等差数列 设cn an 1 an qn 1 q 0 n N 求数列 cn 的前 n项和Sn 本小题主要考查数列的基础知识和化归 分类整合等数学思想 以及推理论证 分析与解决问题的能力 解 1 由题意 零m 2 n 1 可得a3 2a2 a1 2 6 再令m 3 n 1 可得a5 2a3 a1 8 20 2 分 高考真题汇编 25 2 当n N 时 由已知 以 n 2 代替m 可得 a2n 3 a2n 1 2a2n 1 8 于是 a2 n 1 1 a2 n 1 1 a2n 1 a2n 1 8w w w k s5 u c o m 即bn 1 bn 8 所以 bn 是公差为 8 的等差数列 5 分 3 由 1 2 解答可知 bn 是首项为b1 a3 a1 6 公差为 8 的等差数列 则bn 8n 2 即a2n 1 a2n 1 8n 2 另由已知 令m 1 可得 an 211 2 n aa n 1 2 那么an 1 an 2121 2 nn aa 2n 1w w w k s5 u c o m 82 2 n 2n 1 2n 于是cn 2nqn 1 当q 1 时 Sn 2 4 6 2n n n 1 当q 1 时 Sn 2 q0 4 q1 6 q2 2n qn 1 两边同乘以q 可得 qSn 2 q1 4 q2 6 q3 2n qn 上述两式相减得 1 q Sn 2 1 q q2 qn 1 2nqnw w w k s5 u c o m 2 1 1 n q q 2nqn 2 1 1 1 1 nn nqnq q 所以Sn 2 1 2 1 1 1 nn nqnq q 综上所述 Sn 1 2 1 1 1 1 2 1 1 nn n nq nqnq q q i 12 分 20102010 天津文数天津文数 22 本小题满分 14 分 在数列 n a中 1 a 0 且对任意 k N 2k 12k2k 1 a a a 成等差数列 其公差为 2k 证明 456 a a a 成等比数列 求数列 n a的通项公式 高考真题汇编 26 记 222 23 23 n n n T aaa iii 证明 n 3 2nT2 n 2 2 解析 本小题主要考查等差数列的定义及前 n 项和公式 等比数列的定义 数 列求和等基础知识 考查运算能力 推理论证能力 综合分析和解决问题的能力 及分类讨论的思想方法 满分 14 分 I 证明 由 题设 可知 21 22aa 32 24aa 43 48aa 54 412aa 65 618aa 从而 65 54 3 2 aa aa 所以 4 a 5 a 6 a成等比数列 II 解 由题设可得 2121 4 kk aak kN 所以 2112121212331 kkkkk aaaaaaaa 441 4 1kk 21 k kkN 由 1 0a 得 21 21 k ak k 从而 2 221 22 kk aakk 所以数列 n a的通项公式为 2 2 1 2 2 n n n a n n 为奇数 为偶数 或写为 2 11 24 n n n a nN III 证明 由 II 可知 21 21 k ak k 2 2 2 k ak 以下分两种情况进行讨论 1 当 n 为偶数时 设 n 2m mN 若1m 则 2 2 22 n k k k n a 若2m 则 22 222 11 2 21111 221 2214441 221 nmmmm kkkkk kkk kkkkkk aaakk k 高考真题汇编 27 2 11 11 4411 11 222 212121 mm kk kk mm k kk kkk 1131 22112 22 mmn mn 所以 2 2 31 2 2 n k k k n an 从而 2 2 3 22 4 6 8 2 n k k k nn a 2 当 n 为奇数时 设 21 nmmN 22 22 2 22 21 212131 4 2221 nm kk kkm mmkk m aaamm m 1131 42 22121 mn mn 所以 2 2 31 2 21 n k k k n an 从而 2 2 3 22 3 5 7 2 n k k k nn a 综合 1 和 2 可知 对任意2 nnN 有 3 22 2 n nT 20102010 天津理数天津理数 22 本小题满分 14 分 在数列 n a中 1 0a 且对任意 kN 21k a 2k a 21k a 成等差数列 其公差为 k d 若 k d 2k 证明 2k a 21k a 22k a 成等比数列 kN 若对任意 kN 2k a 21k a 22k a 成等比数列 其公比为 k q 解析 本小题主要考查等差数列的定义及通项公式 前 n 项和公式 等比数列 的定义 数列求和等基础知识 考查运算能力 推理论证能力 综合分析和解决 问题的能力及分类讨论的思想方法 满分 14 分 证明 由题设 可得 4 2121 aak kN kk 所以 131 2121212123 aaaaaaaa kkkkk 44 1 4 1kk 2k k 1 高考真题汇编 28 由 1 a 0 得 22 2 1 22 2 1 2122122 ak kaakkak kkkk 从而 于是 11 21222221 221212 aaaa kk kkkk akakaa kkkk 所以 所以 2 22122 k dkkNaaa kkk 时 对任意成等比数列 证法一 i 证明 由 2 2121 k aaa kk 成等差数列 及 22122 aaa kkk 成等比数列 得 21211 2 2 22121 221 k aa kk aaaq kkk aaq kkk 当 1 q 1 时 可知 k q 1 k N 从而 11111 1 1 2 11 1 1111 21 1 k qqqq kkkk qk 即 所以 1 1qk 是等差数列 公差为 1 证明 1 0a 2 2a 可得 3 4a 从而 1 4 2 2 q 1 1 1 q 1 由 有 11 11 1 k k kkqkN qk k 得 所以 2 2 22211221 2122 aaa kkkkk kN aakak kkk 从而 因此 222 2 2 222 1 2 22214 22 2 1 2212 1 2 1 22242 k aaa kk kkk aak aak kkN kk aaakkk kk 以下分两种情况进行讨论 1 当 n 为偶数时 设 n 2m mN 若 m 1 则 2 2 22 n k k k n a 若 m 2 则 高考真题汇编 29 2222 1 2 2111 221 2 21 4 2 nmmm kkkk kkk kkkk aaak 22 111 111 4414411 11 222 2 1 2 1 2 1 21 1131 22 1 1 2 22 mmm kkk kkkk mm k kk kk kkk mmn mn 所以 22 22 313 2 22 4 6 8 22 nn kk kk kk nnn ana 从而 2 当 n 为奇数时 设 n 2m 1 mN 2 222 2 22 21 21 31 21 4 222 1 nm kk kkm kkmm m aaamm m 1131 42 22 1 21 mn mn 所以 2 2 31 2 21 n k k k n an 从而 2 2 3 22 3 5 7 2 n k k k nn a 综合 1 2 可知 对任意2n nN 有 2 2 3 22 2 n k k k n a 证法二 i 证明 由题设 可得 212222 1 kkkkkkkk daaq aaaq 2 12221222 1 kkkkkkkkkk daaq aq aa q q 所以 1kkk dq d 232211 1 2 222222 1 111 kkkkkk k kkkkkkk aadddq q aaq aq aq 由 1 1q 可知1 k qkN 可得 1 111 1 1111 k kkkk q qqqq 所以 1 1 k q 是等差数列 公差为 1 ii 证明 因为 12 0 2 aa 所以 121 2daa 所以 321 4aad 从而 3 1 2 2 a q a 1 1 1 1q 于是 由 i 可知所以 1 1 k q 高考真题汇编 30 是公差为 1 的等差数列 由等差数列的通项公式可得 1 1 k q 11kk 故 1 k k q k 从而 1 1 k k k dk q dk 所以 12 1121 12 121 kkk kk ddddkk k ddddkk 由 1 2d 可得 2 k dk 于是 由 i 可知 2 212 21 2 kk ak kakkN 以下同证法一 20102010 全国卷全国卷 1 1 理数理数 22 本小题满分 12 分 注意 注意 在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效 已知数列 n a中 11 1 1 n n aac a 设 51 22 n n cb a 求数列 n b的通项公式 求使不等式 1 3 nn aa 证明 1 1 1 高考真题汇编 36 高考真题汇编 37 2 2010 安徽理数 20 本小