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课题教学案例动态几何问题河南岸中学数学课题组二00九年五月黄 新E-mail:H九年级专题复习研讨课例：动态几何问题惠城区河南岸中学 黄新教学目标：1、了解动态几何问题，知道图形运动过程中，图形位置、数量关系既有变也有不变的关系，动态几何问题常常与函数、方程等知识相联系； 2、理解解决动态几何问题的基本方法，并能运用基本方法解一些动态几何问题； 3、体验动静结合，数形结合。教学重点：解决动态几何问题基本的方法和策略。教学难点：分析动态过程中的不变关系。一、创设情境1（1）如图1，圆内接ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为O的半径，ODBC于点F，OEAC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是ABC的面积的.（2）如图2，若DOE保持120角度不变，求证：当DOE绕着O点旋转时，由两条半径和ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC的面积的. 2正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，（1）证明：RtABM RtMCN；（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时RtABM RtAMN，求此时x的值.观察：上述两题分别是2009年广东省中考试题第20、22题，按理说不会有什么雷同，但是如果仔细分析，发现它们之间也有一些共同特征。你能看出它们之间有什么共同点吗？二、提出问题涉及图形运动的问题我们把它们称为动态几何问题。就动的对象而言图形的运动有点动、线动、面动，就动的形式而言有平移、旋转、翻折、滚动等。从上面的例子，我们可以看出动态几何问题是近几年中考命题的热点问题。那么当我们遇到类似问题时，该怎么思考呢？解决动态几何问题有什么基本的方法和策略吗？下面我们就带着这一问题一块来学习和研究。三、探究与交流1、探究：问题：等腰直角ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让ABC向右运动，最后A点与N点重合试写出重叠部分面积ycm2与MA长度x cm之间的函数关系式思考：（1）在问题中，ABC向右运动，图形中哪些发生了变化，哪些没有变化？（2）在问题中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围。（3）在问题中，“重叠部分面积”，改为“重叠形成的三角形面积”， 取值范围一样吗？2、试一试：如图,矩形ABCD中，AB=3，BC=5，E为AD上一动点(与A、D不重合)，设DE=.(1) 求梯形ABCE的面积关于的函数关系式;(2) 写出自变量的取值范围;(3) 是否存在这样的E点位置,使梯形ABCE的面积等于三角形CDE的面积.如果存在,请具体指出点E位置;如果不存在,说明理由.点拔：（1）E在AD上运动过程中，图形位置、数量关系变或不变的分别是什么？ （2）“是否存在”问题可转化为“方程是否有符合题意的解”求解。3、交流：动态几何问题常常与函数、方程等知识相联系，关键是分析隐藏在运动过程中的一些变与不变的关系。基本的方法和策略是： （1）动中取静 在图形运动过程中，画出某一位置上的瞬间图形，分析变与不变，建立函数关系； （2）考察初始位置和终止位置 确定取值范围。 （3）以静议动 在求图形之间的特殊数量关系或确定特殊位置时，通常建立方程模型，依据方程解的情况进行解释。三、应用与拓展1、例：2009年广东省中考试题第20题分析：（1）是常规性问题，证明的方法很多，这里因为时间关系不作分析，有兴趣的同学课后去研究； （2）是典型的动态几何问题： 图形的运动方式是什么？在旋转过程中，一直在变化的有哪些？而不变的又是什么？ 提示：为了便于观察“不变”，可在图中画出反映起始位置和静止位置特征的有关点或线。OHFOKG的条件下，四边形GOFC的面积可怎样处理？2、练习：上例题中，在上中除OHFOKG之外，是否还有其它不变关系？如果有，能否得到其它解法？3、拓展：如图1，在ABC中，C=90，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH（HFDE，HDE=90）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，DEF=CBA，AHAC=23（1）延长HF交AB于G，求AHG的面积.（2）操作：固定ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯形为DEFH（如图2）.探究1：在运动中，四边形CDHH能否为正方形？若能， 请求出此时t的值；若不能，请说明理由.探究2：在运动过程中，ABC与直角梯形DEFH重叠部分的面积为y，求y与t的函数关系.图1图2四、小结（1）解答动态几何问题的策略和方法；（2）动态几何问题是中考命题的热点问题。五、作业1、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，一动点E 在AD为上以每秒0.5的速度由D向点A运动(与点A不重合)。（1）试写出C