2005年全国高中数学联赛加试题另解.pdf

1 2 中等数学 2 0 0 5 年全国高中数学联赛加试题另解 李建泉整理 天津师范大学数学教育科学与数学奥林匹克研究所 3 0 0 0 7 4 第一题如图l 在 A B C 中 设A B A C 过点A 作A A B C 的外接圆的切线Z 又 以点A 为圆心 A C 为半径作圆分别交线段 A B 于点D 交直线Z 于点E F 证明 直线 D E D F 分别通过 A A B C 的内心与一 个旁心 证法1 如图 1 作么B A C 的角平 分线与加 F D 分 别交于点 由 FAE 图1 于A C A D A E 所以 么A C 么A D 么A E D 昙么似D I A C B 故 C 为么A C B 的角平分线 于是 为A A B C 的内心 联结C 因为A 是D C 的中垂线 则 么I C I 么I D I I 么F D E 9 0 0 由于 c 为么A C B 的角平分线 所以 c 为么 l c 8 的外角平分线 即 为 A B C 角A 内的旁心 曹学良天津市实验中学 3 0 0 7 4 证法2 1 设 A B C 的内心为 胼交 E F 所在直线于点E 7 在 A D E 7 中应用张角公式有 s i n A B 8 m 虿 矿2 面 下面证明 A s i n A B 8 1 n 虿 矿 可十 遂型 A D 丛型 A C 式 成立铮警 攀 CB 5 mic o si 铮百2 可 在 A I C 中应用正弦定理 知上式成 立 所以 式 成立 注意到由式 确定的A E 7 是唯一的 又因为A D A C 则A E 7 A C A E 即 点E 与E 7 重合 故D E 三点共线 即D E 通过A A B C 的内心 2 设AA B C 在么A 内的旁心为 假 设研 交朋所在直线于点F 7 在 以 尸中 应用张角公式有 s i n c 孚 面厂 下面证明 s i n c 会 万广 A s m 万 s i n 矿C 2 1 厂 面 吲 A 8 1 ni s i nC 2 1 丁 瓦r 万方数据 2 0 0 6 年第1 期 1 3 一m 出一2 s i n 罢 s i n 詈 i nc 式 成立甘 毛r 号产 s l ni c 0 8 虿 可2 百 在 A C I 中应用正弦定理 知上式成 立 所以 式 成立 注意到由式 确定的A F 7 是唯一的 又因为A D A C 则A F 7 A C A F 即 么戤C 么C G I 又么D F C 去么D A C 么C A I 所以 A 厶 c F 四点共圆 故么A C 么A F C 从而 A F C G I C 因为F A A C 所以 G 1 G C 即 为 A B C 角A 内的旁心 李赛天津市第一中学 3 0 0 0 5 1 点F 与F 7 重合 证法4 如图 F爿E 故D F 三点共线 即D F 通过 A B C 的一个旁心 广 强山西省实验中学高0 3 0 3 班 0 3 0 0 0 2 注 也可用张角公式的逆命题直接证 不 用同一法 证法3 如图 2 设么B A C 的角平 分线与D E F D 分 别交于点 与 A B C 的外接圆 交于点G 则 ZD E C FAE 图2 去么D A C 么1 4 C 二 所以 A C E 四点共圆 于是 么A G c 么C A E 么E I C 么G A C 1 E C 故 A G c E I C 从而 么A C G 么E C I 么G C I 么A C E 因此 C I G AC E A 因为A C A E 所以 G I C C 即 为 A B C 的内心 因为么E A C 么A G C 则 3 记直线D E D F 分别交么B A C 的平 分线于点 联 结C I C D 作轴反 射变换S A I 则 一C 图3 令B B 7 则点曰7 在A C 的延长线上 联结B 7 D 由于么E A B 7 么A B C 么A B 7 D 因此 BD E F 故么I C B I D B 么A E D 么A D I 么A C I 从而 C 平分么A C B 即 是 A B C 的 内心 又么B 7 C I 么B D l l 么A D F 么A F D 么B D 1 l 么B C I l 所以 c 平分么A C B 的外角 从而 是 A B C 角A 内的旁心 综上所述 结论成立 李潜 西北工业大学1 1 0 5 0 5 0 2 班 7 1 0 0 7 2 证法5 如图1 设么A C B 的外角平分线 交直线F D 于点 联结A 交D E 于点 万方数据 1 4 中等数学 先证明 为 A B C 角A 内的旁心 由直线Z 为 A B C 外接圆的切线及A D A F 知 么B A F 么A C B 么A C I l 么A F I I 么A C B 百1 A B C 么B A C 去 1 8 0 一 B A r 4 2 Z A C B 么A 8 c B A C 1 8 0 0 一么A C B 1 8 0 0 故A F C 四点共圆 又A F A C 则么A IF 么A I IC 由么B D I 么A D F 1 1 8 0 0 一么A C B L B C I l 知B C J D 四点共圆 故么A B C 么D I IC 2 L M C 结合么 l A C 么A lC 要 么仙c 么B A C 知么 A C z s A c 故A 为么B A C 的平分线 为 A B C 的一个旁心 F D 过 A B C 角A 内的旁心 接下来证明 为 A B C 的内心 联结C I 由Z i A c 4 j A c L D E C 知A c E 四点共圆 于是 有 么A C I 么A E D 由A D A E 么F A B 么A C B 知 么A C I A E D 去 A C B 故G 为 A C B 的平分线 所以 为 A B C 的内心 D E 过 A B C 的内心 刘才华山东省宁阳第一中学 2 7 1 4 0 0 证法6 如图4 以A 为原点 E F A D 分别为x Y 轴 建立直角坐标系 0 为 A B C 外接圆圆 心 令么B A O a 么C A O p A O l r A E R C 厂 羰一t 赌 E彳Fx 则A B C 2 r c o s 口 图4 A C2b2R 2 F C O S 卢 B C a 2 r s i n 口 p E 一2 r c o s 卢 0 F 2 r c o s 卢 0 B 2 r c o s 口 s i n 口 2 r c o s 2 a C 一2 r e o s 卢 s i n 卢 2 r c o s 2 f 1 D R s i n a R c o s 口 所以 D 2 r c o s 卢 s i n 口 2 r c o s 卢 c o sa 于是 直线D E D F 的方程分别为 Y 罴 戈 2 r c o sp s i n l a Y 一黑 戈一2rcosY 卢 2 F 面L 戈一 p A B C 的内心 旁心分别为 艺警 艺警 厶 芒案 警 2 c o s 口 c o st 3 s i n 笔譬 故铲 s i n i 丁丽 C o 对s2 2 c o sO t C O S 9 c o s 生2 坐 2 五2 s i n 互习C O S 丁 一 I 2 嘲O C O S 卢 s i n 掣 2 c o s 譬 n 半 万方数据 z 0 0 6f f 第l 期 一一 旦 一 一一 2 懈 卢 C O S 珊2 甘s i n a 一譬 s i n 学 y 2 l s i n 一 最后一式显然成立 所以 D F 过点厶 鼍鬯册赫 竽 豢萎篆懈D F 刘 A 三I A 二 D E 过点I 一 甘 严 堡生 研十2 r 1 s i na e o s 卢 车寺 L 菇7 十 c u 尊P 2 一 o sp c o s 字 甘 s m 再巧再c o s 百一 万一 一 竺竺竺 一1 s i n 口 s i n 善 2 r c o sf 1 孕 J 学 1 渤口 嘲a 如孚 s i n 掣 c o s 嘲学 s i r 口一c o s 油字 s i n 字 甘s i n a 一字 s i n 掣 最后一式显然成立 所以 D E 过点 2 证明D F 过点 A D F 过点厶 铮y 一旦生 一2 r 1 s i na c o sp 车亨y 一 石 一 咖P 7 C 口 一S m 口 2二rcos再a co瓣s f l s i n 一2 动 二再瓣 2 阳即 甘c o s 字 8 i n a 1 c 0 6 口 8 1 1 1 掣 豳掣一 2 口下十锄丁一 面口 o o s 字一o o sa 幽字 班 1 5 0 0 0 6 第二题设正数8 6 c 石 Y z 满足 c y 眩 a a g 蹦 b b x a y 2c 求函数 2 菇 y z 南 V 币巧 Z r 忑 的最小值 解 由已知条件可得 6 粥 倒一6 c b x a y c 一 口 哕 b z 一口 0 即2 6 麟 n 2 一b 2 一c 2 0 解得菇 6 2 C 2 一a 2 2 k 同理 Y 0 2 C 2 一b 2 2 a c Z 0 2 6 2 一c 2 2 n 6 故八菇 Y 彳 b 2 c 2 一a 2 2 2 瓦而 7 i 丽 孬十 a 2 c 2 一b 2 2 2 a c a 2 c z 2 a c b 2 i fa 2 b 2 一C 2 2 芴氘五刁了面函巧 由柯西不等式得 戈 y z 2 b c b 2 c 2 2 b c a 2 2 0 2 c 2 2 a c b 2 2 曲 口2 6 2 2 a b C 2 b 2 c 2 一口2 口2 c 2 一b 2 十 0 2 6 2 一c 2 2 a 2 b 2 c 2 2 即f x y z 未露i a 2 忑 b 2 硒C 2 2 其中M n 26 c b z d E c 2a b b 3c b e 3 一 厨仁 一一2 a 一 里孚 瞄 盖2 馨 辛 2 争 万方数据 1 6中等数学 口3c n c 3 一n 3b a b 3 下面先证明 2 口一b 口一c b 2 b o b c c 2 C n c b 0 o b c R 因为口 6 c R 且为轮换式 故不妨 设口 b c 0 则 c 2 c n C b 1 0 口2 口一b 一C 0 于是 有 口2 口一b f l 一c b 2 6 一n b c C 2 c o c b b 2 口一6 口一c 6 2 b 一口 b c b 2 n b 2 O 将式 展开得 口4 b 4 c 4 口26 c 曲2c 口幻2 0 36 0 3c 6 3 c b 3a c 3 n c 3b 由式 可得 f x y z 丽是拦 丽孺篙等襞砜 2 b 2 c 2 2 2 口4 b 4 c 4 2 6 2c 2 2 2 c 2 2 b 2 口2 一 一2 当且仅当o b c 即搿 Y 二 去时 上式等号成立 弓爱芳华中师范大学数学与统计学 院 4 3 0 0 7 9 第三题对每个正整数凡 定义函数 r0 当n 为平方数 加卜i 南 当n 不为平方数 其中 咒 表示不超过菇的最大整数 z 菇 2 4 0 一 菇 试求 以k 的f g I l 解 若k 不是平方数 则存在口 N 使 得n 2 k o 1 2 贝0o i n l 即 k k 一口 所以 南 志 蛆k a 故 以后 划 o 妻 错 壹k 5 地k 4 薹 学 t 业k 1 6 1 J 薹 销 鑫 镶 0 4 24 1 4 2 4 1 I 1 6 3 2 l 3 8 4 2 2 1 4 1 0 5 3 2 2 l 5 1 24 6 4 44 3 2 I 2 I 1 6 1 4 7 4 3 24 2 2 1 7 1 6 8 I 5 4 3 2 4 2 2 1 8 t 1 8 9 I 6 4 4 3 34 2 4 2 2 1 9 I 加 1 0 6 5 4 3 2 2 2 2 1 1 0 2 2 1 1 7 5 4 3 3 2 2 2 2 1 1 1 2 4 1 2 8 64 4 4 3 3 2 2 2 2 l 1 2 2 6 1 3 8 6 5 4 3 4 3 2 2 2 I 24 24 1 1 3 4 2 8 1 4 4 9