九十五学指定科目考试试题分析.pdf

九十五學 指定科目考試試題分析 學甲 1 試 問 方 程 式有 幾 個 相 實 解 23 1 1xx 0 1 0個 2 1個 3 2個 4 3個 5 6個 答案 1 2 2 13 10 24 xxx 3 2 1xx精解 1 x為實 則1 恆大於 故 無實根 3 2 11xx 0 3 2 1xx精解 2 x為實 2 1xx 為實 又1 的實根只有1 2 11xx 又 根為虛根 故原方程式無實 解 2 20 xx 22 cossin 0 1 2 33 kk ik 2 1yxx 精解 3 得 又 3 1y 1 的三次方根為 即三根為 2 31i 2 31i 1 1 得 虛根 2 1yxx 1 2 13 1 2 i yxx 2 得 虛根 2 13 1 2 i yxx 3 得 虛根 故原方程式無實根 教學解析 本題引導學生複 根的求法 如精解 3 中的解法 也引導學生對二次函 恆大 於 的判斷中解題 由解 2 1xx 恆大於 自然判斷原方程式無實根 如精解 1 也可引導 學生的三根中只有為實根 故以 2 1xx1 1 1 解之無實根 可直接判斷原方程式無實根 2 在 坐 標 平 面 上 設 P 為 2 2yxx 圖 形 上 的 一 點 P 的 x 坐 標 為 則 P 點 的 位 置 在 3 log 10 1 第 一 象 限 2 第 二 象 限 3 第 三 象 限 4 第 四 象 限 5 坐 標 軸 上 答案 4 精解 1 由 2 2 19 21 24 yxxxxx 2 2 由圖 一 點 又 故由圖形中 可知點 P 在第 四象限內 3 log 10 Pk 3 log 10 33 log 10log 92 3 log 10 k 圖 一 精解 2 由 將 代入得 2 21yxxxx 33 log 10 1 log 102y 3 log 10 x 又 得 即lo1 log 1020y 3 1log 100 3 log 1020 33 g 10 故 的大小比較 結合二次 象限 如精解 1 中的解法 或可直接比較 33 log 10log 92 代入二次函 中 算其值為正 或負 即可解此題 如精解 2 中的解法 在精解 1 中的解法 是將代 3 log 102 的 這是代 與幾何相結合的精 解題 3 10 15 之 面 積 為且 周 長 為SPPAB 則 1 S為 空 集 合 集 案 3 如圖 二 2 S恰 含 2個 點 3 S恰 含 4個 點 y x B 5 6 A 1 3 P D 4 S為 線 段 之 5 S為 直 線 之 集 答 精解 1 22 43AB 5 1 4PD 105 2 PD 得 高 單位的 直線上 點 P 座 在與直線 AB 相距 4 圖 二 10PAPB 5a 點 P 在以 A B 為焦點 且的橢圓上 此橢圓的 55 5 22 acb 5 3 4 2 3 又4S 故此橢圓與 平 線有四個交點 即 精解 2 5 3 2 PD 5PAPB 如圖 三 10PAPB 當時 面積 10 得高 4 又 5 43 2 5 b 0128 b b 4 b 3 4 4 040 11 21 aaC 6 4 4 131 11 24 aaC 4 4 22 13 28 aC 8 8 080 11 2256 bbC 8 8 171 11 232 bbC 8 8 262 17 264 bbC 8 8 353 17 23 bbC 2 8 8 44 13 212 bC 5 8 直接由上述結果知 3 4 5 正確 教學解析 可 用二項式定 係 的對稱性即CC kn k nn 可以節 一半的計算 在分析 巴斯卡三角形 其中間項最大的性質 奇 項時 則可容 判斷選項 5 這是精解的精神 所在 5 在 坐 標 平 面 上 以 表 示 拋 物 線 y 2 x 的 圖 形 試 問 以 下 哪 些 方 程 式 的 圖 形 可 以 由 經 適 當 的 平 移旋 轉 得 到 1 或 2 2yx 2 2 yx 3 2 xy 4 43 2 yxx 5 2 xyxy 答案 3 4 精解 直接將 1 2 3 4 畫在 一坐標平面上得 2 4 2 同 2 2 2x 431yxx 由圖 四 項中的方程式 可經平移或旋轉得到 中得 2 3 4 選 2 yx 的圖形 選項 5 2 yx 經軸旋轉得 0 45 2 2 xy x xy y 代入 2 yx 得 2 2 2 22 xyxy xyx 開口大小與 y 2 xyxy 相同 故選項 5 選 教學解析 我們已知拋物線圖形開口大小與 2 x或 2 y 的係 有關 故由圖形中可直接判斷 1 2 3 4 中的方程式圖形是否可經平移或旋轉得到 2 yx 的圖形 而選項 5 則 用坐標旋轉公式得選項 5 中少 2的倍 故 可選 6 考 慮 多 項 式 函 試 問 以 下 哪 些 選 項 是 正 確 的 1 5432 253f xxxxx f k lim0 100 k f k k為 正 整 2 1 1 lim f xf 0 1 x x 3 函 f在 區 間 1 2 1 遞 增 2 4 6 8 10 551015 q x 2 x2 h x x2 g x x 2 4 x 3 f x x 2 圖 四 4 0 則 f x 5 在 坐 標 平 面 上 y f x 的 圖 形 與 直 線 y 3 恰 有 個 交 點 答案 2 4 5 精解 1 0 x 5432 5432 100210010051003 k kkkk 25 3 lim kkkk 5432 5 253 lim kkkk g k 1 k k 其中為四次多項式 故 正確 2 g k 1 f xf 432 58310fxxxx x 1583 100 f 1x lim1 1 f x 又 故原式 成 3 由 43232 831fxxx 583105xxxxxx 0 2 1 513100 x xxx 1x f x或 因0恆正 故0 x 1x 0 x 01x 2 5131xx 在或時遞增 而在時遞減 故 3 正確 4 由 03f 10f 得 f x 10f f x a 在01x 時遞減 又為最小值 故在01x 時 b 0f x 10f為最值 小故 f x在1x f x在時為遞增 又 1x 0 x 由 a f時 b 得 時 正確 5 由 3 中 0f x 0 x 03f f x3y 的增減性得為極大值 其圖形與的水平線恰交 點 如圖 五 6 4 2 2 4 55 h x 3 f x x5 2 x4 x3 5 x2 3 選 填 題 35 明 A至E各題為選填題 劃記在答案卡之 解答 所標示的 號 7 24 內 每一題完全 圖 五 三 答對得7分 答錯 倒扣 未完全答對 給分 A 設u v 為 非 向 以 u 表u 之 長 2 2 3 uvuv 且 表u 與v 之 夾 角 則 cos 化 成 最 簡 分 答案 7 8 9 7 8 22222 v 4234129uvuvuu v i 22 222 4 1 44129 2 uv vuu vv i 1 精 解 由 2 得 22 4125uu vv i0 將 1 代 入 得 22 1612cos50vu vv u v 為 的 2 2112 2cosvu v 7 cos 8 夾 角 精 解 的 夾 角2u v 會 因 u v 1v 2u 得長 而 改 變 故 可 設 223uv 22 44129vuu v i416 129u v 21 12 u v ii 217 cos 12 28 精 解 3 設2u 1v 以 幾 何 想 法 解 之 如 圖 平 四 邊 形 ABCD4AD 3 AB 2 由 平 四 邊 形 定 得 AC 2 222 4322BD 46 BD 由 ABD 中 用 餘 弦 定 得 222 2cosBDADABAD AB 461692 4 3 cos 7 cos 8 B 在 坐 標面 於 一 半 徑 為空 間 中 球 面 S 交 xy 平 13 圓 心 為 2 3 0 的 圓 且 S 通 過 點 6 6 6 則 S 的 半 徑 為 答案 29 10 11 圖 精解 1 設球面的球心 2 3 Rt 2 13RPt SRQt 13PQ 如圖 七 由 222 62636RAt RPRA 由得 22 131691236ttt 22 13251236tt 故半徑t4t 2 41329RP 精解 2 如圖 八 設球心 2 3 Rt 點B為球面S與平面 的交圓之圓心 則 由6z 2 3 6B5AB RQt 6BQ 6BRt 13PQ 故 2 2 65RAt 2 13RPt 由 2 22 6513tt 4t 故球半徑29RP C 設 實 係 二 階 方 陣 A 滿 足 3145 AA 圖 七 圖 八 721 9 21 15 ac A bd 則 a b c d 答案 精解 1 將相結合得 邊同乘 得 故 解 2 由 13 4 3 9 abc 7d 72 31 91 45 A A 7921 3415 A 217921 153415 ac bd 1 21 15 7910 3401 ac bd 1 7949 3437 ac bd 4 3 9 7abcd 精 72 31 91 45 A A 2 172 1531 2191 1545 ac bd ac bd 由 1476321 73531512 1898413 94542054 abcd abcd abcd abcd 14 12 17 15 16 221 得 由 7305bd 423 得 由 9416bd 56得 代入得 ac ac D 透 明 箱 內 有 編 號 分 別 為 1 至 9 的 九 個 球 每 次 隨 機 取 出 一 個 記 其 編 號 後 放 回 箱 內 以 P n 表 示 前 n 次 取 球 的 編 號 之 總 和 為 偶 的 機 已 知 存 在 常 r s 使 sP n 731 94 1 33 7bd 0 4 9ac 得 P nr1 對 任 意 正 整 n 都 成 則 r s 化 成 最 簡 分 答案 18 51 rs 99 精解 1 先計算出 1 2 3 ppp如下 4 1 9 p 445541 2 999981 p 偶偶奇奇 32 445364 3 3 999729 p 偶 偶 偶奇 奇 偶 將 1 2 3 ppp代入遞迴關係式得 414 rs 81 9 36441 72981 rs 得 51 99 rs 精解 2 分析 1p n 有 種 源 一者前次取球號之和為偶 再加第次取偶 號球 二者 前次取球號之和為奇 再加第次取奇 號球 得 n1n n1n 45455 11 99999 p np np np np n 51 99 p n 故得 51 99 rs 標 平 面 的 原 點x 軸E 以 O 表 坐 給 定 一 點 A 4 3 而 點 B x 0 在 正上 變 動 xl 表 AB長 則 OAB 中 邊值 邊值長 比長 比 x l x 為 化 成 最 簡 分 案 的 最 大 值 答 5 3 精解 1 如圖 九 2 22 49825l xxxx 則 2 22 2 1 825 81825 125 xxx xx xx l x xx 考慮 函 2 11 258y xx 1 並 1 t x 得 24 23 19 20 21 22 圖 九 2 22 849 258125125 252525 yttttt 當 4 25 9 25 25 4 x t 時 得最小值 即得當 22 11 39 825 11 1 5 25 25 xx l x xx 故得 xx 故得 8 xx xx x5 3l x 的最大值為 精解 2 由 2 825 xx l x xx 2 2 825 x y xx 22 825yxy xy x 2 18250yxxyy 又 x為 得判別式 yyy 正實 解 圖 九 2 841 250 222 641000361000yyyyy 2 255 93 825 xx l x xx x l x 2 25 92500 9 yyy 25 9 故的最大值y 得 故得 5 3 的最大值為 精解 3 用柯西 等式 22 2 22 44 43143 33 xx 2 22 25 43 9 xx 2 2 2 25 9 43 x x 2 2 2 5 3 43 xx l x x 故 5 3 x l x 解 4 由精 2 8 l x xx 25 xx 2 2 825 x f x xx 2 2 2 850 825 xx fx xx 0fx 得 解得或0 x 25 4 得 25 4 f 2525 49 f 為最大值 即 255 93 x l x 精解 5 如圖 十 的邊長 圖 十 OAB 5AxOAx BlOB 3 sin 5 AOB 由正弦定 得 3 sinsinsin 5 l xl x xx AOBAA 55 sin 3sin3 l xxx A Al x 5 3 x l x sin1A 當時 為最 大值 即當時 得 0 90A x5 3 的最大值 l x 第 貳 部 分 非 選 擇 題 佔 23 分 明 本大題計算題 答案必題共有二證明務寫在答案卷上 並於題號 標明題號 一 二 與子題號 1 2 3 同時必須寫出演算過程或 由 否則將予扣分 每題配分標 於題前 一 1 3 分 將 48510 分 解 成 質 因 的 乘 積 案 1 精解 2 7 分 寫 出 在 1 和 250 之 間 且 與 48510 互 質 的 所 有 合 合 就 是 比 1 大 而 是 質 的 整 22 2 35 711 答 2 169 221 247 1 將 48510 質因 分解 得 22 485102 35 711 1的倍 扣除 所剩如下 2 將 但要在 1 和 250 之間的合 故有 滿足條件的合 就這三個 空 2 3 5 7 113 17 19 23 13 13169 13 17221 13 19247 二 傳 中 孫 悟的 如 意 箍 棒 是 由 定 海 神 針 變 形 得 的 這 定 海 神 針 在 底 圓 半 徑 原 為 12 公 分 且 以 每 秒 1 公 分 的 等 速