大学考试试题纸A.pdf

王海华 王海华 湖南科技大学考试试题纸 湖南科技大学考试试题纸 卷 卷 200 200 学年第一学期学年第一学期 高等数学 高等数学 课程课程 院 系 院 系 班级班级 考试时量考试时量 100 分钟分钟 学生人数学生人数 命题教师命题教师 邹鹏贤邹鹏贤 系主任系主任 汤四平汤四平 交题时间 年交题时间 年 月 日月 日 考试时间 考试时间 年年 月月 日日 一 单项选择题 5 4 分共计 20 分 一 单项选择题 5 4 分共计 20 分 1 设 1g xx 且当0 x 时 1x fg x x 则 1 2 f 的值是 D 0 1 3 3ABCD 知识点 复合函数的分解 思路 可得 2 1 2 1 1 2 1 2 1 fx从而 2 函数 f x在xa 点连续是 f x在xa 点有极值的 D ABCD充要条件充分条件必要条件无关条件 知识点 如何判断函数在一点连续 函数在一点取极值 思路 一点连续不能得出这点为极值点 如不为极值点 处连续 但在00 xxy 极值点不能得出函数在这点连续 如点不连续 在极小值点 但点为0sgnsgn0 xxy 因为xsgn在 0 的极限为 1 但xsgn在 0 的函数值为 0 不相等 从而不连续 3 设 xx yee 则 n y C 1 1 1 nn xxxxxxxx AeeB eeC eeDee 知识点 高阶导数 思路 xnx n x n xn eeeey 1 或者取特殊值 令 n 1 2 4 函数 3 1yx 在 1 2 内是 A A B C D 单调增单调减不增不减有增有减 王海华 王海华 知识点 用导数判断函数的单调性 求单调区间 思路 2 1 013 2 xxy 因为 上单调增加 在所以 2 1 y 下列广义积分中收敛的是 D 11 84 321001 dxdxdxdx A B C D xxx x 知识点 广义积分的计算 思路 1 1 lim 3 1 3 3 1 3 1 4 1 4 x x dxx x dx x 因为 其他选项结果都不是一个具 体的数 二 填空 5 4 分共计 20 分 二 填空 5 4 分共计 20 分 3 1 sin lim x xx x 0 知识点 极限的求法 无穷小与有界乘积 思路 可得有界 由无穷小乘有界而因为x x x x sin 0 1 lim 3 arctan2 dx dx x241 2 知识点 微分的计算 思路 乘上自变量的微分 从而其微分等于导数因为 2 41 2 2 arctan x x 2 1 2 1 cos sin 1 xxx dx x 2 2 知识点 定积分的性质 对称区间奇偶函数定积分的化简 有理函数的积分 牛莱公式 思路 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 11 sincos 1 sincos dx x x dx x xx dx x xxx 0 1 sincos 1 sincos 1 1 22 dx x xx x xx 称区间上的积分为奇函数 所以其在对而 dx x x dx x x x x 1 0 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 11 为偶函数 所以而 这是一个有理函数积分 而且被积 函数是假分式 所以 2 2arctan2 1 1 12 1 2 1 0 1 0 2 1 0 2 2 xxdx x dx x x 王海华 王海华 设 2f xx 则 2 f 不存在 知识点 函数在一点左右导数的定义计算 思路 因为函数在 2 的左右两边表达式不同 所以需分左右导数讨论 由左右导数定义知 函数在 2 的左导数为 1 在 2 的右导数为 1 左右导数不相等 所以函 数在 2 的导数不存在 曲线 2 11yx 的拐点为 没有 知识点 拐点的求法 思路 找拐点 须先求出二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点 然后判断这些点左右两 边二阶导数符号 若这些点左右两边二阶导数符号相反 则此点为拐点 因为 2 y 没有二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点 所以没有拐点 三 计算题 每小题 分 共计 分 三 计算题 每小题 分 共计 分 2 2 lim 1 x x x x 2 1 e 知识点 型不定式极限 01 思路 所以 这是因为 2 lim 1 1 2 lim x x x xx 型不定式极限 01 2 1 1 2 lim 1 2 1 2 1 22 lim 1 1 1lim 1 1 1lim 1 2 limeee xxx x x x x x x x x x x x x x x x 2 cos 3 1arctan 0 x x yxxy e 设求 知识点 导数的四则运算 思路 因为 0 不是函数的间断点 所以可以先用四则运算求出导函数 再代入 0 点 若题目 求函数在间断点的导数 需用定义去求 2 2 2 1 1 1 3arctan6 cossin x xxx e xexe y x xx 43 1 1 0 y 21 dx xx 求 知识点 不定积分表 不定积分第二类换元积分法 思路 因为被积函数含根式 做整体根式代换 CxCt t dt tdt ttxx dx txxt 1arctan2arctan2 1 22 1 1 1 2 1 1 22 2 则令 王海华 王海华 已知 4 0 2 x x f t dt 求 4 0 1 fx dx x 知识点 定积分的 积分法 思路 4 4 2 0 2 0 4 0 4 0 4 0 2 2 2 2 2 2 2 2 1 由已知条件 则令 dttfdttfxdxf xtxdxfdxxf x 设 2 ln 1 arctan xt ytt 求 dy dx 2 2 d y dx 讲过两次了 不再重复 四 计算题 每小题 分 共计 分 四 计算题 每小题 分 共计 分 已知函数 32 f xxaxbx 在1x 处有极值 试确定系数 a b 知识点 极值的必要条件 求导数 思路 首先由已知条件 1x 时 bay 12 2所以 可得 其次 1 为极值点 并且 函数在 1 可导 所以 1 为可导的极值点 由极值的必要条件 可 导的极值点必是驻点 从而ba 230 联立方程组 解方程即可 求由曲线 2 yx 与两直线 2yx yx 所围成平面图形的面积 0 511 52 1 2 3 4 由图像看出 看成 X 型区域 x 从 0 到 1 围成部分上边界为 y 2x 下边界为 y x x 从 1 到 2 围成部分上边界为 y 2x 下边界为 2 yx 所以 面积为 3 7 3 2 1 2 2 2 1 2 1 0 dxxxdxxx 五 证明题 分 五 证明题 分 设 f x在 0 上连续 可微 且 01 ffxf x 证明 0 x f xex 知识点 利用导数判断函数单调性 知识点 利用导数判断函数单调性 王海华 王海华 思路 直接令辅助函数等于左边减右边 不好证 需另想办法思路 直接令辅助函数等于左边减右边 不好证 需另想办法 xxxx exfxfexfexfFxexfxF 0 因为令 由已知条件 01 ffxf x