2009年江苏高考数学试题评析.pdf

高考复习 2009年江苏高考数学试题评析 单 墫 江苏省南京师范大学数学系 210097 今年江苏数学高考题 总体上较为平稳 没有太难的题 其中 个别立体几何题有与往 年雷同的嫌疑 填充题大多是基本题 侧重检查学生的 基本功 不偏不怪 不蓄意为难学生 这是非 常正确的 其中只有第 13题与第 14题稍有难 度 第 13题 如图 1 在平面直角坐标系 xOy 中 A1 A2 B1 B2为椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1 a b 0 的 4个顶点 F为其右焦点 直线 A1B2与直 线 B1F相交于点 T 线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点 则该椭圆的离心率为 本题应求出 A1B2方程 x a y b 1 再求出 B1F方程 x c y b 1 两式相加即可解出 T 的坐标 xT 2ac a c yT a c b a c OT 中点 M 的坐标是 xM 1 2 xT ac a c yM 1 2 yT a c b 2 a c 代入椭圆方程得 c 2 a c 2 a c 2 4 a c 2 1 化简得 c 2 100ac 3a 2 0 所以离心率 只取正值 e c a 10 10 2 4 3 2 27 5 第 14题 设 an 是公比为 q的等比数 列 q 1 令 bn an 1 n 1 2 若 数列 bn 有连续 4项在集合 53 23 19 37 82 中 则 6q 本题数列 an 有连续 4项在集合 54 24 18 36 81 中 因而数列中既有正项也 有负项 并且正负项交错 公比 q 1 所以 q 2 54 24 9 4 q 3 2 因为 q 0 6q 9 今年的数列题不难 没有放在最后作为 压轴题 出乎许多人的预料 第 17题 设 an 是公差不为零的等差 数列 Sn为其前 n项和 满足 a 2 2 a 2 3 a 2 4 a 2 5 S7 7 1 求数列 an 的通项公式及前 n 项和 Sn 2 试求所有的正整数 m 使得 amam 1 am 2 为 数列 an 中的项 可以说一说的是 等差数列中 连续奇数 31 第 8期 高中数学教与学 项的和等于中间一项乘以项数 据此立即可 以求出 a4 1 7 S7 1 再由 1 2d 2 1 d 2 1 1 d 2 及 d 0易得 d 2 应用题是不等式的应用 但过份冗长的 题目 恐怕会影响考生的心情 影响水平的发 挥 第 19题 按照某学者的理论 假设一个 人生产某产品的单件成本为 a元 如果他卖出 该产品的单价为 m元 则他的满意度为 m m a 如果他买进该产品的单价为 n元 则他的满意 度为 a n a 如果一个人对两种交易 卖出或买 进 的满意度分别为 h1和 h2 则他对这两种交 易的综合满意度为h1h2 现假设甲生产 A B两种产品的单件成本 分别为 12元和 5元 乙生产 A B两种产品的单 件成本分别为 3元和 20元 设产品 A B的单价 分别为 mA元和 mB元 甲买进 A与卖出 B的综 合满意度为 h甲 乙卖出 A 与买进 B 的综合满 意度为 h乙 1 求 h甲和 h乙关于 mA mB的表达式 当 mA 3 5m B时 求证 h甲 h乙 2 设 mA 3 5mB 当 mA mB 分别为多少 时 甲 乙两人的综合满意度均最大 最大的 综合满意度为多少 3 记 2 中最大的综合满意度为 h0 试 问能否适当选取 mA mB的值 使得 h甲 h0和 h乙 h0同时成立 但等号不同时成立 试说明 理由 不难求出 h甲 12 mB mA 12 mB 5 h乙 20 mA mA 3 mB 20 于是 h甲 h乙经过化简等价于 3 mB 5 mA mAmB 3 mB 5 mA 60 0 即 mA 3 5mB 是 h甲 h乙的充分必要条件 这 也说明了 mA 3 5mB 从何而来 当然 题目已经给出条件 mA 3 5m B时 不难验证 h甲 h乙 比较好的 可以避免繁分 的 办法是令 mB 5t 从而 mA 3t 代入得 h甲 4t t 4 t 1 h乙 并且 h甲 2 t 4 t 5 1 2 在 t 4 t 即 t 2时 取得最大值 2 3 第 20题 设 a为实数 函数 f x 2x 2 x a x a 1 若 f 0 1 求 a 的取值范围 2 求 f x 的最小值 3 设函数 h x f x x a 直接写出 不需给出演算步骤 不等式 h x 1的解集 本题作为压轴题 不算附加题 实在是 不合适的 解二次不等式的问题 已经在高考 试卷中屡次出现 往往繁琐而缺乏数学的美 感 其中第 1 小题 与 2 3 毫无关系 硬 放在一起 易产生混淆 误以为 f 0 1 或 由此得出的 a的取值范围 a 1 是 2 3 中的已知条件 这一小题完全可 以而且应当删去 即使 2 3 两小题 也嫌 得重复 保留一个岂不更好 可能是为了充当 大题 故意叠床架屋 解法并不难 只需细心去做 以 3 为例 解法如下 这时 x a h x 2x 2 x a 2 3x 2 2ax a 2 考虑不等式 3x 2 2ax a 2 1 在 3 2a 2 0 即 a 6 2 时 上 式恒成立 在 3 2a 2 0时 上式的解是 32 高中数学教与学 2009年 x a 3 2a 2 3 或 x a 3 2a 2 3 再比较 a 3 2a 2 3 与 a 的大小 a a 3 2a2 3 的解是 a 2 2 a a 3 2a 2 3 的解是 a 0 的直线交抛 物线 C于 D E两点 ME 2DM 记 D 和 E两 点间的距离为 f m 求 f m 关于 m 的表达 式 分析 1 甚易 抛物线方程为 y 2 2x 2 OA方程是 y x 与它垂直的方程是 x y a 将F点坐标 1 2 0 代入得 x y 1 2 3 采用直线的参数方程 x m cos y sin 其中 是 EM 的倾斜角 ME 1 DM 2 1 2 2 1 2是 消去 x y的 的方程 2 sin 2 2 m cos 的两个根 由韦达定理 有 1 2 2m sin2 所以 2 2sin 2 m 代入 得 2 2cos m 再平方得 4 2 2 1 sin 2 m2 即 4 2 2 m 2 4m f m 1 2 3 2 3 2 m 2 4m 第 23题 对于正整数 n 2 用 Tn表示 关于 x的一元二次方程 x 2 2ax b 0有实 数根的有序数组 a b 的组数 其中 a b 33 第 8期 高中数学教与学 高考命题的新亮点 操作型题 张 尚 江苏省泗洪中学 223900 从近几年来的高考及各地模拟试题来 看 一些构思精巧 新颖别致的旨在考查实践 能力的操作题备受命题者青睐 这类试题很 好地体现了数学课程标准提出的 要让学生 在参与特定的数学活动中 在具体情境中初 步认识对象的特征 获得一些体验 新理念 所谓操作型题是指根据已有实验操作经 验或根据语言描述实验操作过程 从中获得 有关结论 或应用有关结论的一类试题 这类 题有具体的操作过程 文字多 数学表达隐含 在操作过程中 需要学生自己挖掘 正因为如 此 学生对操作题感到畏惧 引导学生掌握解 决操作题的技巧 有效提高学生的解题能力 是当务之急 本文在此举例解析 希望可以通 过这些例题的解答 探寻解决这类问题常用 的思路 方法和技巧 一 以生活经验为背景的操作题 这类试题一般情境新颖 富有时代气息 贴近生活 模型大家都非常熟悉 能充分调动 学生有意识地去用数学的意识 思想和方法 解决日常生产生活中的实际问题 从而激发 他们对生活 对数学的热爱 例 1 2009年上海市春季高考题 以下 是面点师一个工作环节的数学模型 如图 1 在数轴上截取与闭区间 0 1 对应的线段 对 折后 坐标 1所对应的点与原点重合 再均匀 1 2 n a和 b可以相等 对于随机选取 的 a b 1 2 n a和 b可以相等 记 Pn 为关于 x的一元二次方程 x 2 2ax b 0有 实数根的概率 1 求 Tn2及 P n2 2 求证 对任意正整数 n 2 有 Pn 1 1 n 本题有很好的几何解释 分析 1 x 2 2ax b 0有实根的充要 条件是 b a 2 因此 Tn就是区域 中整点的个数 图 4 1 不包括 a 轴上整点 包括其它边界上 的整点 因此 由图 4 2 将图