2019-2020学年新余市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年江西省新余市高一上学期期末数学试题一、单选题1过点且倾斜角为90的直线方程为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据倾斜角为的直线的方程形式，判断出正确选项.【详解】由于过的直线倾斜角为，即直线垂直于轴，所以其直线方程为.故选：B【点睛】本小题主要考查倾斜角为的直线的方程，属于基础题.2下列命题正确的是（ ）A经过任意三点有且只有一个平面.B过点有且仅有一条直线与异面直线垂直.C一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行.D面与平面相交，则公共点个数为有限个.【答案】B【解析】根据公理、异面直线垂直、线面平行、面面相交的知识对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，如果这三个点共线，经过这三个点不止一个平面，所以A选项错误.对于B选项，过上一点作，直线与确定平面，过作直线，则，则，而，所以，由于过平面外一点只能作平面一条垂线，所以B选项正确.对于C选项，一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的直线平行或异面，所以C选项错误.对于D选项，面与平面相交，则公共点个数为无限个，都在交线上，故D选项错误.故选：B【点睛】本小题主要考查公理、异面直线垂直、线面平行和面面相交等知识的运用，属于基础题.3在正方体中，异面直线与所成角为（ ）A30B45C60D90【答案】C【解析】通过平移作出异面直线所成的角，解三角形求得所成角的大小.【详解】连接如图所示，由于，所以是异面直线与所成角，由于三角形是等边三角形，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，属于基础题.4利用二分法求方程的近似解，可以取得的一个区间为（ ）A（0,1）B（1,2）C（2,3）D（3,4）【答案】D【解析】构造函数，利用零点存在性定理判断出函数零点所在区间，也即方程的解所在区间.【详解】构造函数，由于在上是单调递增函数，所以零点所在区间为，也即方程的解所在区间为.故选：D【点睛】本小题主要考查零点存在性定理，考查二分法的理解，属于基础题.5已知是直线，是平面，且满足，则下列结论：；.其中一定正确的命题的个数是（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】A【解析】首先判断结论正确，然后利用图像法判断为假命题.【详解】由于，所以，故正确.画出满足，的图像如下图所示，由图可知，所以错误；而与相交，所以错误.故正确命题的个数为.故选：A【点睛】本小题主要考查空间点线面位置关系命题真假性的判断，属于基础题.6已知两直线与，若，则（ ）A2BC1或D【答案】D【解析】根据两条直线平行的条件列式，由此求得的值.【详解】由于，所以，解得.故选：D【点睛】本小题主要考查根据两条直线平行求参数，属于基础题.7已知一个正三棱锥的高为3，如下图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中，则此正三棱锥的体积为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据的长，求得正三棱锥的底面边长，由此求得底面积，进而求得正三棱锥的体积.【详解】由于，所以，根据斜二测画法的知识可知，正三棱锥的底面等边三角形的边长为，其面积为，所以正三棱锥的体积为.故选：A【点睛】本小题主要考查根据斜二测画法的直观图，求原图的边长，考查正棱锥的体积的求法，属于基础题.8如图所示为等腰直角三角形，为斜边的中点，分别落在边上，且满足，若分别将、沿着翻折时点能重合（两个三角形不共面），则满足条件（ ）ABCD【答案】B【解析】考虑当分别是中点时，重合，由此判断出符合题意的的取值范围.【详解】由于为等腰直角三角形，所以.当分别是中点时，将、沿着翻折，重合，此时.当时，不能重合；当时，能重合.故选：B【点睛】本小题主要考查折叠问题的分析与判断，考查空间想象能力，属于基础题.9我国古代数学名著九章算术中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体是一个刍甍，其中四边形为矩形，其中，与都是等边三角形，且二面角与相等，则长度的取值范围为（ ）A（2,14）B（2,8）C（0,12）D（2,12）【答案】A【解析】求得长度的两个临界位置的长度，由此求得的取值范围.【详解】由于与都是等边三角形，且边长为，故高为.当和趋向于时，如下图所示.当和趋向于时，如下图所示.所以的取值范围是.故选：A【点睛】本小题主要考查空间线段长度范围的判断，考查空间想象能力，属于基础题.10某三棱锥的三视图如图所示（网格中正方形的边长为1），则其表面积为（ ） ABCD【答案】D【解析】根据三视图还原为原图，由此计算出几何体的表面积.【详解】根据三视图可知，该几何体的知关于如图所示三棱锥，其中平面，所以，所以.由于，所以平面，所以.所以几何体的表面积为.故选：D 【点睛】本小题主要考查根据三视图求几何体的表面积，属于基础题.11已知在中，其中，的平分线所在的直线方程为，则的面积为（ ）ABC8D【答案】C【解析】首先求得直线与直线的交点的坐标，利用到直线的距离相等列方程，解方程求得点的坐标.利用到直线的距离以及的长，求得三角形的面积.【详解】直线的方程为，即.由解得.设，直线的方程分别为 ，即，.根据角平分线的性质可知，到直线的距离相等，所以，由于，所以上式可化为，两边平方并化简得，解得（），所以.所以到直线的距离为，而，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查直线方程的求法，考查直线与直线交点坐标，考查点到直线距离公式、两点间的距离公式，考查角平分线的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12如图两个同心球，球心均为点，其中大球与小球的表面积之比为3:1，线段与是夹在两个球体之间的内弦，其中两点在小球上，两点在大球上，两内弦均不穿过小球内部.当四面体的体积达到最大值时，此时异面直线与的夹角为，则（ ）ABCD【答案】A【解析】首先判断出正方体内切球和外接球的半径比为，内切球和外接球的表面积之比为，符合题意中的小球和大球的比例.判断当四面体体积最大时，的位置关系，作出异面直线所成的角，解直角三角形求得.【详解】设正方体的边长为，则其内切球半径为，外接球的半径为，所以内切球和外接球的表面积之比为，符合题意中的小球和大球的比例. 依题意最长为，最长为小球的直径.由于三角形的面积，若为定值，则时面积取得最大值.画出图像如下图所示，其中分别是所在正方形的中心，是正方体内切球与外接球的球心.由于，故此时四面体的体积最大.由于，所以四边形为平行四边形，所以，所以是异面直线和所成的角.所以由于，设是的中点，则，所以，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查几何体与球的外切和内接的问题，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.二、填空题13若，则直线与平面有_个公共点；【答案】1【解析】根据已知条件判断出直线与平面相交，由此确定直线与平面的公共点个数.【详解】由于，所以直线与平面有公共点，而，所以直线与平面相交，故直线与平面的公共点个数为个.故答案为：【点睛】本小题主要考查直线和平面的位置关系，属于基础题.14已知直线过一、三、四象限，其中，则点到直线的距离为_.【答案】【解析】根据直线所过象限列不等式组，结合求得的值，再根据点到直线距离公式求得点到直线的距离.【详解】由于直线过一、三、四象限，所以，解得，由于，所以，所以直线方程为，点到直线的距离为.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据直线所过象限求直线方程，考查点到直线距离公式，属于基础题.15如图正三棱锥，其中，点分别为校的中点，则四面体的体积为_； 【答案】【解析】通过分析判断出，由此求得四面体的体积.【详解】由于分别为棱的中点，所以三角形的面积是三角形的面积的四分之一，而到平面的距离是到平面的距离的一半，所以.正三角形的外接圆半径为，所以正三棱锥的高为，所以，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查锥体体积计算，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题.16已知函数，则下列四组关于的函数关系：；，其中能使得函数取相同最大值的函数关系为_.【答案】【解析】先求得取得最大值时的值，再将点的值代入题目所给四个函数关系，由此判断出正确的结论.【详解】依题意，令，当取得最小值时，取得最大值. （i）当时，.（ii）当时：由去分母并化简得，此方程有解，故，整理得，此一元二次不等式有解，所以，整理得，即，解得.综上所述，所以的最小值为.由，化简得，即，所以.即当时，取得最小值，取得最大值.将点代入进行验证：，符合；，符合；，不符合；，符合.所以点满足，不满足.故答案为：【点睛】本小题主要考查二元分式型函数最值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.三、解答题17已知点与点.（1）求过点且与直线垂直的直线方程；（2）求与直线平行且距离为的直线方程.【答案】（1）；（2）或【解析】（1）求得直线的斜率，由此求得与垂直的直线的斜率，进而求得所求直线方程.（2）设出与直线平行的直线的方程，利用两平行线间的距离公式列方程，由此求得所求直线方程.【详解】（1）直线的斜率为，与其垂直的直线斜率为，由点斜式得，化简得.（2）直线的方程为，即，设与直线平行的直线方程为，由两平行线间的距离公式得，解得或，故所求的直线方程为或.【点睛】本小题主要考查根据平行、垂直求直线方程，属于基础题.18如图四棱锥，平面，四边形是矩形，点为侧棱的中点，过三点的平面交侧棱于点. （1）求证：点为侧棱的中点；（2）若，求证：.【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】（1）先证得平面，再由线面平行的判定定理，证得，结合是的中点，证得是的中点.（2）利用等腰三角形的性质证得，通过证明平面，证得，由此证得平面，进而证得.【详解】（1）四边形是矩形，且平面平面，平面又平面，平面平面，而点为侧棱的中点，点为侧棱的中点 （2）且点为侧棱的中点，又平面，且，故平面，平面，【点睛】本小题主要考查线面平行的判定定理和性质定理，考查线面垂直、线线垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.19已知函数.（1）求该函数的定义域；（2）若函数仅存在两个零点，试比较与的大小关系.【答案】（1） （2）【解析】（1）根据对数真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.（2）化简表达式为对数函数与二次函数结合的形式，结合二次函数的性质，求得以及的取值范围，从而比较出与的大小关系.【详解】（1）依题意可知，故该函数的定义域为；（2），故函数关于直线成轴对称且最大值为，【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查对数型复合函数对称性和最值，属于基础题.20已知直线恒过定点.（1）求点的坐标；（2）若点与点关于轴成轴对称，点是直线上一动点，试求的最小值.【答案】（1） （2）【解析】（1）将直线的方程重新整理，由此列方程组，解方程组求得的坐标.（2）先求得点的坐标，设出点坐标，利用两点间的距离公式求得的表达式，结合二次函数的最值的求法，求得的最小值.【详解】（1）整理即：，令，故点的坐标为；（2）点与点关于轴成轴对称，故点的坐标为，点是直线上一动点，设，故当时，取最小值为.【点睛】本小题主要考查直线过定点的问题，考查两点间的距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21如图，是半圆的直径，为圆周上一点，平面，.（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在点，且使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析 （2）存在，为线段中点.【解析】（1）通过证明证得平面，结合证得平面，由此证得平面平面.（2）通过计算证明证得，设为线段中点，为线段中点，连接，结合（1）的结论，利用等腰三角形的性质证得平面，证得四边形是平行四边形，由此由此还整得，进而证得平面.【详解】（1）平面，又为圆周上一点且是半圆的直径，平面又，平面，且平面，平面平面；（2）点为线段中点，证明如下：设，则，又，取中点，连接又由（1）可知平面平面，故平面又，故，即四边形为平行四边形，平面【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查线面垂直的证明，考查探究性问题的求解，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.22如图在四面体中，是边长为2的等边三角形，为直角三角形，其中为直角顶点，.分别是线段上的动点，且四边形为平行四边形.（1）求证：平面，平面；（2）试探究当二面角从0增加到90的过程中，线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积；（3）设，且为等腰三角形，当为何值时，多面体的体积恰好为？【答案】（1）见解析 （2） （3）【解析】（1）先通过线面平行的判定定理，证得平面，通过线面平行的性质定理，证得，由此证得平面；同理证得平面.（2）画出为、时的投影，由此判断出线段在平面上的投影所扫过的平面区域，进而求得区域的面积.（3）先求得三棱锥的面积为，通过分割的方法，得到，分别求得与的关系式，再由列方程，解方程求得的值.【详解】（1）四边形为平行四边形，而面，面，面而面，面面，而面，面，平面同理，平面；（2）