17．2　勾股定理的逆定理.doc

172 勾股定理的逆定理（林经武录入）第1课时典例解读例1 如图所示，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作PBQ = 60，且BQ = BP，连结CQ（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系并证明你的结论；（2）若PA : PB : PC =3 : 4 : 5，连结PQ，试判断PQC的形状，并说明理由【解前导析】P是等边ABC内一点，PBQ = 60，故易推得ABP CBQ，从而得出AP =CQ由PA、PB、PC间的关系可将其转化在同一三角形之中，得出此三角形为直角三角形【规范解答】（1）ABC = PBQ = 60，ABP = CBQ，又AB = BC，BP = BQ，ABP CBQ，AP = CQ；（2）连结PQ，可得PBQ为等边三角形，PB = PQ，又PA = CQ，由PA : PB : PC =3 : 4 : 5可得CQ : PQ : PC =3 : 4 : 5，设CQ = 3k，PQ = 4 k，PC = 5 k，由CQ2 + PQ2 = 25k 2 = PC2，PQC 为直角三角形【规律总结】（1）猜想某个结论可以先通过度量，再根据三角形全等来证明；（2）由三边之比为3 : 4 : 5可根据勾股定理的逆定理判定为直角三角形课堂作业知识点一 原命题、逆命题1命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题是： ，这个逆命 （填“成立”或“不成立”)【等腰三角形是等边三角形，不成立】2下列各命题的逆命题成立的是（ ）【A】A两直线平行，同旁内角互补B若两个数相等，则这两个数的平方也相等C对顶角相等D若a = b，则|a| = |b|知识点二 勾股定理的逆定理3下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）【D】A1.5，2，2.5 B6，8，10 C7，24，25 D2.5，3，54下列线段，不能构成直角三角的是（ ）【D】Aa = 6，b = 8，c = 10 Ba = 5，b = 4，c = 3Ca = 1，b = 2，c = Da = 2，b = 3，c = 5若三角形三边长分别为n + l，n + 2，n + 3，当n值是（ ）时，这个三角形是直角三角形【B】A1 B2 C3 D不确定课后作业1三角形三边长a、b、c，满足(a+b)2=c2+2ab，则这个三角形是（ ）【D】A等边三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D直角三角形2在ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c且a2+c2=b2，则下列说法错误的是（ ）【A】AC是直角 BC是锐角 CA是锐角 DB是直角3在ABC中，AC=16，AB=8，BC=10，则（ ）【D】AA=90 BB=90 CC=90 DABC不是直角三角形4将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（ ）【C】A钝角三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D等腰三角形5下列三角形中，是直角三角形的是（ ）【D】A三边满足关系a+b=cB三边之比为4 : 5 : 6C其中一边是另一边的一半D三边为9、40、416在ABC中，AB=12 cm，AC=9 cm，BC=15 cm，下列关系成立的是（ ）【B】AB+CA BB+C=A CB+CA D以上都不对7若一个三角形的三边之比为5 : 12 : 13，且周长为60 cm，则它的面积是 cm2【120】8已知一个三角形的三边长分别是12 cm、16 cm，20 cm，则这个三角形的面积为 cm2【96】9已知在ABC中，AB = 12，BC = 9，那么当AC2 = 时，ABC是直角三角形【225或63】10如图，AC = 8，BC = 6，在ABE中，ED为AB边上的高，DE = 12，SABE = 60，那么ABC是否为直角三角形？【答案：SABE = ABDE = AB12 = 60，AB = 10在ABC中，AC = 8，BC = 6，AB = 10，AC2 + BC2 = AB2ABC为直角三角形】11如图，在四边形ABCD中，AB = BC = 2，CD = l，AD = 3，ABC=90，求BCD的大小【答案：ABC = 90，AC2 = AB2 + BC2 = 22 + 22 = 8在ACD中，AC2 + CD2 = 8 + 12 = 9 = AD2，ACD是直角三角形，ACD = 90，BCD = BCA + ACD = 45+ 90= 135】12如图所示的一块地，已知AD = 4 m，CD = 3 m，ADC = 90，AB = 13 m，BC = 12 m，求这块地的面积【答案：连接AC，在RtADC中，AC2 = AD2 + CD2 = 42 + 32 = 52，则AC = 5 m在ABC中，由AC2 + BC2 = 52 + 122 = 132 = AB2，得ABC是直角三角形，又SABC - SADC = ACBC -ADCD = 512 -43 = 24（m2），这块地的面积为24 m2】13如图所示，在ABC中，CD丄AB于D，AC = 4，BC = 3，AD = （1）求CD、BD的长；（2）求证：ABC是直角三角形【答案：（1）CD丄AB，CD2 = AC2 - AD2 = 42 - ()2 = (4 - )(4 + ) = ，CD = ，同理BD = （2）AB = + = 5，AC2 + BC2 = 16 + 9 = 25 = AB2，ABC是直角三角形】中考链接 1若ABC的三边a、b、c，满足条件a2 + b2 + c2 +338 = 10a + 24b + 26c，试判断ABC的形状【答案：a2 + b2 + c2 + 338 = 10a + 24b + 26c，移项，得a2 - 10a + b2 - 24b + c2 - 26c + 338 = 0又a2 - 10a +25 +b2 -24b + 144 + c2 - 26c + 169 = 0，即(a - 5)2 + (b - 12)2 + (c - 13)2 = 0(a - 5)20， (b - 12)20，(c - 13)20，a = 5，b = 12，c = 13由于52 + 122 = 132，该三角形为直角三角形】第2课时典例解读例1 甲、乙两辆汽车同时从P点出发，如图所示，各自沿一个固定方向行进，甲车每小时走16 km，乙车每小时走12 km，它们离开P点一个半小时后相距30 km，如果已知甲车沿东北方向行驶，能知道乙车沿哪一方向行驶吗？【解前导析】解决此类确定方向的应用题首先要从实际问题中抽象出数学模型，画出图形，再结合其他知识求出直角三角形中的未知边或相关量由题意，由于甲车行驶的方向已知，若能求出两车行驶路线的夹角即可求出乙车的行驶方向【规范解答】依题意，得PQ = 161.5 = 24（km），RP = 121.5 = 18（km），QR = 30 km242 + 182 = 302，即PQ2 + PR2 = QR2，QPR =90又甲车沿东北方向行致，乙车沿西北或东南方向行驶易错警示例2 在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且（a + b）（a - b）= c2，则（ ）AA为直角BB为直角CC为直角DABC不是直角三角形【错解】C【错因分析】因为常见的直角三角形在表示时，一般将直角标注为C，因而有同学就习惯性地认为C就一定表示直角，导致错误【正解】由条件得a2 = b2 + c2，ABC是直角三角形，且A为直角，故选A课堂作业知识点 勾股定理逆定理的应用1一个三角形水池，它的三边分别为8.5 m、7.5 m和4 m，则三角形中最大的角是（ ）【B】A钝角 B直角 C锐角 D不能确定2在同一平面内把边BC = 3，AC = 4，AB = 5的三角形沿最长边翻折后得ABC，则CC的长等于（ ）【D】A B C D课后作业1有一个木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和底边上的高的长，但他把这三个数据弄混了，请你帮他找出来，是（ ）【C】A13，12，12 B12，12，8 C13，10，12 D5，8，42在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，下列命题中假命题是（ ）【B】A如果C -B =A，则ABC是直角三角形B如果c2 = b2 - a2，那么ABC是直角三角形，且C = 90C如果（c + a）（c - a）= c2，那么ABC是直角三角形D如果A :B :C = 5 : 2 : 3，则ABC是直角三角形3周师傅做一个长方形桌面，测量得到桌面的长为60cm，宽为32 cm，对角线为68 cm，这个桌面 （填“合格”或“不合格”）【合格】4如图，一牧童在A处放马，牧童家在B处，A、B两处距河岸的距离AC、BD的长分别为500 m和700 m，且C、D两地的距离为500 m天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水，再赶回家，那么牧童最少要走 【1 300 m】5在RtABC中，BAC = 90，AB = 3，M为BC上的点，连接AM（如图所示），如果将ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是 【2】6把两块含30的相同的直角三角尺按如下图所示摆放，使点C、B、E在同一直线上，连接CD，若AC = 6 cm，则BCD的面积是 cm2【18cm2】7如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60方向以毎小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你能知道乙船沿哪个方向航行吗？【答案：BM = 82 = 16，BP = 152 = 30，已知MP = 34162 + 302 = 342，即BM2 + BP2 = MP2，MBP=90，又因为甲船沿北偏东60方向航行，可知PBC = 30，即乙船沿南偏东30方向航行】8求实中学有两个班的同学到郊外春游，两班同学同时同地出发，已知甲班的速度为30米/分，乙班的速度为40米/分，半小时后，两班同学同时停下来，这时两班同学相距1 500米（1）两班同学行走的方向是否为直角？（2）如要两班同学接下来以原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？【答案：（1）两班同学行走的方向为直角，因为半小时后，甲班的路程为3030 = 900（米），乙班的路程为4030 = 1 200（米），而9002 + 1 2002 = 1 5002，所以这时由行走路线所形成的角为直角（2）设x分钟后两班同学相遇，根据题意得30x + 40x = 1 500解之得x = 】9如图所示，某钢铁厂O原来有两条笔直的公路通向某大河的两个码头，经测量从钢铁厂O到两码头A、B的距离分別为OA = 60 km，OB = 80 km，两码头A、 B之间的距离为AB = 100 km，钢铁厂组织了数名专家经过论证，认为从钢铁厂重修条公路，使钢铁厂O到大河的距离最短，然后在河岸再建一个码头，更能节约资金，请画出修路的路线，并求出所修路的长度【答案：过O作OC丄AB，垂足为C，则所修的路线为OC在OAB中，因为OA2 + OB2 = 602 + 802 = 10 000，AB2 + 1002 = 10 000，所以OA2 + OB2 = AB2