-兼谈2014年山东省理科解析几何试题解法.pdf

抛物线切线有关命题的研究 兼谈 年山东省理科解析几何试题解法 陈新伟 山东省宁阳县第一中学 抛物线定义简洁 性质丰富 图形开放且优 美 又和生活实际联系比较紧密 所以 以抛物线 为背景对圆锥曲线内容的考查一直都是高考的热 点 而抛物线切线如同 墙头红杏 因其性质灵活 多变 也就随之成为高考考查的亮点 经江苏省特 级教师蔡玉书老师的点拨 笔者结合抛物线切线 的有关命题研究 年山东省理科第 题 背景分析 引理 过抛物线犆 狔 狆 狓 狆 上任 意一点犘 狓 狔 的切线方程为狔 狔 狆 狓 狓 引理 过抛物线外任意一点犘 狓 狔 作 抛物线的两条切线 切点为犃 犅 则直线犃 犅 切 点弦 的方程为狔 狔 狆 狓 狓 在以抛物线为背景的试题命制过程中 一个 不可回避的问题就是抛物线的定义 这是万丈高 楼的地基 抛物线的定义涉及最主要的两个数学 元素就是焦点 准线 抛物线的切线和这两个基本 元素之间有着千丝万缕的联系 这种 剪不断 理 还乱 的联系就成为了高考命题的热点 在人教 版第二章的 阅读与思考 中 教材 介绍了抛物线所具有的光学性质及生活中的广泛 应用 这也和注重数学知识发生 发展和应用的命 题思想相吻合 理应成为命题者的思维源头 性质 从抛物线焦点发出的光线 经过抛 物线上的一点反射后 反射光线平行于抛物线的 轴 图 注解 如图 在抛物线的光学性 质中 抛物线在点犃 处的切线犃犇 就是 光学界面 过犃点与 切 线 垂 直 的 直 线 犃 犅就是光学法线 由抛物线的光学性 质结合平面几何知识 可知 从而 犉 犃 犉 犇 这其实也给我们提供了过抛物线上任 意一点犃作切线的简明作法 即以焦点犉为圆心 焦半径犉 犃为半径作圆 该圆与抛物线的轴交于 点犇 如图 交点位于狓轴的负半轴 则犃 犇 即 为抛物线的切线 由 可 知犉 犃 犉 犇 这其实就是 年山东省理科压轴 题第 题的命题背景 性质 抛物线焦点弦两端点处的切线互相 垂直 两切线的交点在抛物线准线上且与焦点弦 中点的连线和抛物线对称轴平行 阿基米德三角 形若干性质 证明 如图 不妨设抛物线犆 狔 狆 狓 狆 的焦点为犉 直线犃 犈过焦点 设犃 狓 狔 犈 狓 狔 因直线犃 犈过焦 点 故狓 狓 狆 狔 狔 狆 由引理 知抛物线 犆在犃点处的切线方程为狔 狔 狆 狓 狓 斜率 为犽 狆 狔 在犈点处的切线方程为狔 狔 狆 狓 狓 斜率为犽 狆 狔 所以犽 犽 狆 狔 狔 故 抛物线焦点弦两端点处的切线互相垂直 设两切线交点为 犙 由 狔 狔 狆 狓 狓 狔 狔 狆 狓 狓 烅 烄 烆 两 式 相 减 得 狔 狆 狓 狓 狔 狔 由狓 狔 狆 狓 狔 狆 得狔 狔 狔 代入 式 由狔 狔 狆 狔 狆 狓 得狓 狆 所以犙 狆 狔 狔 从而抛物线焦点弦 两端点处的两切线交点在抛物线的准线上 从犙 点的坐标可以看出两切线交点与焦点弦中点的连 线和抛物线对称轴平行 证毕 由性质 可以看出 抛物线在犈点的切线与 法线犃犇平行 从性质 角度理解 山东理第 年第 期 中学数学月刊 题其实是性质 的一个特殊情形 年山东理数学第 题解法探究 题目 年山东理第 题 已知抛物线 犆 狔 狆 狓 狆 的焦点为犉 犃为犆上异于原 点的任意一点 过点犃的直线犾交犆于另一点犅 交狓轴的正半轴于点犇 且有犉 犃 犉 犇 当点犃的 横坐标为 时 犃 犇 犉为正三角形 求犆的方程 答案 狔 狓 若直线犾 犾 且犾 和犆有且只有一个 公共点犈 证明直线犃 犈过定点 并求出定点坐标 犃 犅 犈的面积是否存在最小值 若存 在 请求出最小值 若不存在 请说明理由 第 问子问题 犻 解法 如图 由题意知犾 为抛物线在点犈 处的切线 由引理 知直线犾 狔 狔 狓 狓 所 以犽 犾 狔 由犉 犃 犉 犇 得犇 狓 故犽犃 犇 狔 由犾 犾 得犽犾 犽犃 犇 即 狔 狔 所以 狔 狔 从而犈 狓 狔 当狓 时 犽犃 犈 狔 狔 犽犃 犉 狔 狓 狔 狔 狔 狔 故犽 犃 犈 犽犃 犉 所以犃 犉 犈三点共 线 直线犃 犈过点犉 当狓 时 显然直线犃 犈为狓 也过点 综上 直线犃 犈恒过定点 解法 设直线犃 犈的方程为狓 犿 狔 犫 由 狓 犿 狔 犫 狔 狓 烅 烄 烆 得狔 犿 狔 犫 故狔 狔 犫 由解法 知犈 狓 狔 因犃 狓 狔 故 狔 狔 狔 狔 犫 则犫 故直线 犃 犈的方程为狓 犿 狔 所以直线犃 犈恒过定点 第 问子问题 回头再看性质 其实理 题的命制就是 把结论 已知进行倒装生成 我们再来看光学性质 及性质 在题目 中的体现 设犅 狓 狔 图 中反射光线与犃 犅的交点 为犌 由狓 狓 狆 狔 狔 狆 得犈 狆 狓 狆 狔 根据抛物线的光学性质可知狔犌 狔 即狔犌 狆 狔 因光学法线与切线垂直不难得到犽 犃 犇 狔 狆 狆 狔犌 又犽犃 犅 狔 狔 狓 狓 狔 狔 狔 狆 狔 狆 狆 狔 狔 且犃 犇 犅共线 故犽犃 犅 犽犃 犇 即狆 狔犌 狆 狔 狔 所以狔 犌 狔 狔 可见犌为弦犃 犅的中点 解法 过犈作狓轴的平行线交犃 犅于点 犌 狓犌 狔犌 由犈 狓 狔 故犌 狓犌 狔 设 犅 狓 狔 因点犌在直线犃 犅上 故犽犃 犅 犽犃 犌 所 以犽 犃 犅 狔 狔 狓 狓 狔 狔 狔 狔 狔 狔 由 知 犽犃 犅 犽犃 犇 狔 则 狔 狔 狔 解得狔 狔 狔 又因犃 狓 狔 和犌 狓犌 狔 知狔犌 狔 狔 故犌为犃 犅的 中 点 因 此犛 犃 犅 犈 犛 犃 犌 犈 犈 犌 犈 犃 犃 犈 犌 犈 犃 犃 犈 犌 因 犈 犃 犈 犌 狘狔 狘 狔 犃 犈 犌 故 犛 犃 犅 犈 狘狔 狘 狔 犃 犈 犌 又因狘狔 狘 狔 当且仅当犃 犈 狓轴 时 取 到 等 号 又 犃 犈 犌 故犛 犃 犅 犈 狘狔 狘 狔 犃 犈 犌 所以 当且仅当犃 犈 狓 轴时取等号 故 犛 犃 犅 犈 解法 利用切线灵活转化三角形的面积 设犾 与狓轴的交点为犎 点犅 狓 狔 因犈 狓 狔 由引理 知抛物线在点犈处的切线方程为 狔 狔 狓 狓 则犎 狓 故犎犇 狓 中学数学月刊 年第 期 狓 设 直 线犃 犅 狔 狔 狓 犫 由 狔 狔 狓 犫 狔 烅 烄 烆 狓 得 狔 狔 狔 犫 因此狔 狔 狔 即狔 狔 狔 由题意犾 犾 故犛 犃 犅 犈 犛 犃 犅犎 犎犇 狘狔 狔 狘 狓 狓 狔 狔 当且仅当狓 且狔 时 取得等号 所以 犛 犃 犅 犈 图 解法 利用切 线形成的等角转化三 角形的面积 如图 设 犃 犇 犉 由 题 意 犃 犇 犉 犉 犃犇 犅 犇 狓 故犃 犅 狘狔 狔 狘 狔 狔 由 抛 物 线定义得犃 犈 狓 狓 由 知狓 狓 故犃 犈 狓 狓 设点犈到直线犃 犅的距离为 犱 则犱 犃 犈 狓 狓 故犛 犃 犅 犈 犃 犅 犱 狔 狔 狓 狓 狔 狘狔 狘 狓 狓 当 且 仅 当 狔 狘狔 狘 狓 狓 同时成立时取得等号 即狔 狓 所以 当犃 犉与狓轴垂直时 犛 犃 犅 犈 以上对于 的解法均比官方答案的解法 简洁 这均是利用抛物线切线几何性质得到的巧 妙解答 推广研究 定理 已知抛物线犆 狔 狆 狓 狆 的 焦点为犉 犃为犆上异于原点的任意一点 过点犃 的直线交犆于另一点犅 交狓轴的正半轴于点犇 且有犉 犃 犉 犇 延长犃 犉交抛物线犆于点犈 则 犛 犃 犅 犈 狆 简证 设 犃 犉 犇 直线犃 犈 狔 狓 狆 由 狔 狓 狆 狔 狆 狓 烅 烄 烆 得狓 狆 狓 狆 故狓 狓 狆 由抛 物线定义得犃 犈 狓 狓 狆 狆 狆 由 解法 知 犛 犃 犅 犈 犛 犃 犌 犈 犈 犌 犈 犃 犈 犃 犅 狆 狆 当且仅当 时取得等号 定理 已知抛物线犆 狔 狆 狓 狆 的 焦点为犉 犃为犆上异于原点的任意一点 过点犃 的直线犾交犆于另一点犅 交狓轴的正半轴于点 犇 且有犉 犃 犉 犇 若直线犾 犾 且与犆相切于犈 直线犾 与抛物线犆的准线交于犙 则犛 犃 犅 犈 犛 犃 犈 犙 图 证明 如图 直 线犙 犃 犙 犈分 别 为 抛 物线犆的两条切线 过 犙作狓轴的平行线犙 犘 与犃 犈交于犘 由性质 可 得犙 犘 犈 犃 犛 犃 犈 犙 犙 犘 狘狔 狔 狘 犈 犃 狘狔 狔 狘 因犛 犃 犅 犈 犈 犌 狘狔 狔 狘且犈 犃 犈 犌 故犛 犃 犅 犈 犛 犃 犈 犙 注 需要特殊说明的是 犃 犈 犙其实是阿 基米德三角形 这也是本题的命制背景 细研此题 还可获