2013考研数二真题答案完整版.pdf

鲤鱼网 2013 年全国硕士研究生入学统一考试 2013 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 跨考教育 数学教研室 一 选择题 一 选择题 1 8 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 32 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 的 请将所选项前的字母填在答题纸 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 的 请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上指定位置上 1 设cos1sin xxx 其中 2 x 则当时 0 x x 是 A 比x高阶的无穷小 B 比x低阶的无穷小 C 与x同阶但不等价的无穷小 D 与x等价的无穷小 2 设函数由方程 yf x cos ln1xyyx 确定 则 2 lim 1 n f n A B 1 C D 21 2 3 设函数 sin 0 2 2 xx f x x 则 0 x F xf t dt A x 是函数的跳跃间断点 B F xx 是函数的可去间断点 F x C 在 F xx 处连续但不可导 D 在 F xx 处可导 4 设函数 1 1 1 1 1 1 ln xe x f x xe xx 若反常积分 1 f x dx 收敛 则 A 2 C 20 D 02 2 0I 3 0I 4 0I 7 设矩阵 A B C 均为 n 阶矩阵 若 BABC 则 可逆 则 A 矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 B 矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 C 矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 成功在于执着 鲤鱼网祝大家成功 Born to win 精勤求学精勤求学 自强不息自强不息 2 2 D 矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的列向量组等价 8 矩阵与相似的充分必要条件为 11 11 a aba a 200 0b0 000 A a0 b2 B 为任意常数ba 0 C 0 2 ba D 为任意常数ba 2 二 填空题 二 填空题 9 14 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 24 分 请将答案写在答题纸分 请将答案写在答题纸 指定位置上指定位置上 9 1 ln 1 lim 2 x x x x 10 设 函 数 1 1 x t f x e dt 则 yf x 的 反 函 数 1 xfy 在处 的 导 数0y 0y dx dy 11 设封闭曲线 L 的极坐标方程为cos3 66 r 则 L 所围成的平面图形的面积 为 12 曲线 2 arctan ln 1 xt yt 上对应于的点处的法线方程为 1t 13 已知 32 1 xx yexe 2 2 xx yexe 2 3 x yxe 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解 该 方程满足条件 0 0 x y 0 1 x y 的解为y 14 设是 三 阶 非 零 矩 阵 A 为 A 的 行 列 式 为的 代 数 余 子 式 若 ij A a ij A ij a ijij aA0 i j1 2 3 A 则 三 解答题 三 解答题 15 23 小题 共小题 共 94 分分 请将解答写在答题纸请将解答写在答题纸 指定位置上指定位置上 解答应写出文字说明 证明过程或 演算步骤 解答应写出文字说明 证明过程或 演算步骤 15 本题满分 10 分 当时 1 c0 x oscos2cos3xxx 与为等价无穷小 求与的值 n axna 16 本题满分 10 分 鲤鱼网 设是由曲线D 1 3 yx 直线及 0 xa a x轴所围成的平面图形 xy V V分别是绕Dx轴 轴旋转一 周所得旋转体的体积 若 y 10 yx V V 求的值 a 17 本题满分 10 分 设平面内区域由直线D3 3xy yx 及8xy 围成 计算 2 D x dxdy 18 本题满分 10 分 设奇函数 f x在 1上具有二阶导数 且 1 1 1f 证明 I 存在0 1 使得 1f II 存在0 1 使得 1ff 19 本题满分 11 分 求曲线上的点到坐标原点的最长距离与最短距离 33 1 0 0 xxyyxy 20 本题满分 11 分 设函数 1 lnf xx x I 求 f x的最小值 II 设数列 n x满足 1 ln1 n n x x 证明lim n n x 存在 并求此极限 21 本题满分 11 分 设曲线L的方程为 2 11 ln 1 42 yxxxe 1 求L的弧长 2 设是由曲线DL 直线1 xxe 及x轴所围平面图形 求的形心的横坐标 D 22 本题满分 11 分 设 当为何值时 存在矩阵使得 10 101 a AB b 1 a bCACCAB 并求所有矩阵C 23 本题满分 11 分 设二次型 22 1231 122331 12233 2 f x xxa xa xa xb xb xb x 记 11 22 33 ab ab ab I 证明二次型f对应的矩阵为2 TT II 若 正交且均为单位向量 证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型 22 12 2yy 成功在于执着 鲤鱼网祝大家成功 鲤鱼网 2013 年全国硕士研究生入学统一考试 2013 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题答案 一 选择题 一 选择题 1 8 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 32 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 的 请将所选项前的字母填在答题纸 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 的 请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上指定位置上 1 C 2 C 3 C 4 D 5 A 6 B 7 B 8 B 二 填空题 二 填空题 9 14 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 24 分 请将答案写在答题纸分 请将答案写在答题纸 指定位置上指定位置上 9 答案 1 2 e 10 答案 1 1 1 e 11 答案 3 128 12 答案 ln20 4 yx 13 答案 32xxx yeexe 14 答案 1 三 解答题 三 解答题 15 23 小题 共小题 共 94 分分 请将解答写在答题纸请将解答写在答题纸 指定位置上指定位置上 解答应写出文字说明 证明过程或 演算步骤 解答应写出文字说明 证明过程或 演算步骤 15 解析 因为当时 1 c0 x oscos2cos3xxx 与为等价无穷小 n ax 所以 0 1 coscos2cos3 lim1 n x xxx ax 又因为 成功在于执着 鲤鱼网祝大家成功 Born to win 精勤求学精勤求学 自强不息自强不息 2 2 全国统一服务热线 全国统一服务热线 400 668 2155 1 coscos2cos3 1 coscoscoscos2coscos2coscos2cos3 1 coscos 1 cos2 coscos2 1 cos3 xxx xxxxxxxx xxxxxx x 即 00 1 coscos2cos31 coscos 1 cos2 coscos2 1 cos3 limlim nn xx xxxxxxxx axax x 0 222222 0 1 coscos 1 cos2 coscos2 1 cos3 lim 111 2 3 222 lim nnn x nnn x xxxxx axaxax xo xxo xxo x axaxax x 所以 且2n 149 17 222 a aaa 16 解析 由题意可得 15 2 33 0 3 5 a x Vxdxa 17 33 0 6 2 7 a y Vx x dxa 因为 10 yx V V 所以 75 33 63 107 7 75 aaa 17 解析 12 222 DDD x dxdyx dxdyx dxdy 2368 22 02 33 xx xx x dxdyx dxdy 416 3 18 解析 1 令 0 0 0 1 1 10 F xf xx FfFf 则 0 1 使得 0 1Ff 即 2 令则 1 x G xefx 0 G 又由于 f x为奇函数 故 fx为偶函数 可知 0G 则 使G 1 1 0 即 即 1 0efe f 1ff 鲤鱼网 19 最长2 最短1 20 答案 1 1 2 由于1 1 ln n n x x 则 nn xx 11 1 1n x 又由于1 1 1 lnln n nn x xx 则 故有上界 则由单调有界收敛定理可知 存在 令 则 exn n x n n x lim axn n lim a a x xn n n 1 ln 1 lim 由于1 1 1 ln n n x x 则 1 1 ln a a 故 1 a 21 答案 1 4 3 1 4 1 22 ee 2 3 7 4 12 ln 2 1 4 ln 2 1 4 3 24 1 2 1 2 e ee dxx x dxx x x x e e 22 答案 121 12 0 1 1 ba kkk C kk 23 答案 1 222222222 111222333121 21 131 313232 323 2 2 2 42 4 42 2 fabxabxabxa abb x a abb x xa ab b x x x 2222 11121 2131 31121311 21 3 2222 121 222232 3122231 222 3 2222 131 3232 333132331 32 33 222 2222 222 2 TT aba abba abbaa a