2014年山东高考数学压轴试题的推广.pdf

年山东高考数学压轴试题的推广 张超 江 苏 省 苏 州 市 第 一 中 学 刘才华 山 东 省 宁 阳 县 第 一 中 学 高峰 山东省青岛市第二中学分校 年山东高考数学文科第 题 在平面 直角坐标系狓 犗 狔中 椭圆犆 狓 犪 狔 犫 犪 犫 的离心率为槡 直线狔 狓被椭圆犆截得的线 段长为 槡 求椭圆犆的方程 过原点的直线与椭圆犆交于犃 犅两点 犃 犅不是椭圆犆的顶点 点犇在椭圆犆上 且 犃 犇 犃 犅 直线犅 犇与狓轴 狔轴分别交于犕 犖 两点 设直线犅 犇 犃 犕的斜率分别为犽 犽 证 明 存在常数 使得犽 犽 并求出 的值 求 犗犕犖面积的最大值 年山东高考数学理科第 题 已知抛 物线犆 狔 狆 狓 狆 的焦点为犉 犃为抛物线 犆上异于原点的任意一点 过点犃的直线犾交抛物 线犆于另外一点犅 交狓轴的正半轴于点犇 且有 犉 犃 犉 犇 当点犃的横坐标为 时 犃 犇 犉为正三 角形 求抛物线犆的方程 若直线犾 犾 且犾 和犆有且只有一个 公共点犈 证明直线犃 犈过定点 并求出定点坐标 犃 犅 犈的面积是否存在最小值 若存 在 请求出最小值 若不存在 请说明理由 上述试题分别以椭圆和抛物线为载体 设计 优美 编排合理 几何味道浓郁 试题以探究的设 问方式 对考生的探究能力进行了正面的考查 引 导考生全面综合所学数学知识 凭借数学直观先 探究并发现结论 然后再从科学角度给予严格的 推理论证 考查了考生综合运用代数工具解决几 何问题的数学素养及运算求解能力 通过探究 我们发现试题可以作进一步推广 命题 对于椭圆犆 狓 犪 狔 犫 犪 犫 犮为椭圆半焦距 犲为椭圆离心率 过原点的直 线与椭圆犆交于犃 犅两点 犃 犅不是椭圆犆的顶 点 点犇在椭圆犆上 且犃 犇 犃 犅 直线犅 犇与 狓轴 狔轴分别交于犕 犖两点 当犲 槡 时 设直线犅 犇 犃 犕的斜率分 别为犽 犽 则犽 犲 犽 当犲 槡 时 则直线犃 犕与狓轴垂直 犗犕犖面积的最大值为犮 犪 犫 图 证法 设 直线犅 犇的方程为狔 犽 狓 犿 则犕 犿 犽 犖 犿 由 狔 犽 狓 犿 犫 狓 犪 狔 犪 犫 烅 烄 烆 得 犪 犽 犫 狓 犿 犽 犪 狓 犪 犿 犪 犫 设犅 狓 狔 犇 狓 狔 则犃 狓 狔 狓 狓 犿 犽 犪 犪 犽 犫 且 犽犃 犇 狔 狔 狓 狓 犽 狓 狓 犿 狓 狓 犽 犿 犪 犽 犫 犿 犽 犪 犫 犽 犪 由犽 犃 犅 狔 狓 及犃 犇 犃 犅 得 犫 犽 犪 狔 狓 则狔 犽 狓 犪 犫 又狔 犽 狓 犿 故狔 犪 犮 犿 当犲 槡 时 由犽 犃 犕 狔 狓 犿 犽 犽 狔 狔 犿 犽 狔 狔 犮 犪 狔 犽 犲 得犽 犲 犽 中学数学月刊 年第 期 当犲 槡 时 狓犕 狓犃 所以直线犃 犕与狓轴 垂直 由狔 犽 狓 犿和狔 犪 犮 犿 得犿 犮 犪 狔 犽 犫 犪 狔 狓 由狓 犪 狔 犫 得狘狓 狔 狘 犪 犫 所以犛 犗犕犖 犿 狘犽 狘 犮 犪 犫 狘狓 狔 狘 犮 犪 犫 犪 犫 犮 犪 犫 证 法 设犃 狓 狔 犇 狓 狔 则 犅 狓 狔 因为狓 犪 狔 犫 狓 犪 狔 犫 所以 得狓 狓 犪 狔 狔 犫 即 狔 狔 狓 狓 犫 犪 故犽 犃 犇 犽犅 犇 狔 狔 狓 狓 狔 狔 狓 狓 犫 犪 又犃 犅 犃 犇 所以犽 犃 犇 犽犃 犅 从而犽犅 犇 犫 犪 犽犃 犅 设犕 狓 则犽犅 犇 犽犅 犕 狔 狓 狓 犽犃 犅 犽犗 犃 狔 狓 所以 狔 狓 狓 犫 狔 犪 狓 显然狔 于是狓 犪 犫 犫 狓 当犲 槡 时 犽犃 犕 狔 狓 狓 狔 狓 犪 犫 犫 狓 犫 犫 犪 狔 狓 犫 犫 犪 犽犗 犃 犫 犫 犪 犽犃 犅 又犽 犅 犇 犫 犪 犽犃 犅 所 以犽犅 犇 犫 犪 犪 犽犃 犕 犪 犮 犪 犪 犽犃 犕 犪 犮 犪 犽犃 犕 犲 犽犃 犕 当犲 槡 时 狓 犪 犫 犫 狓 狓 所以直线 犃 犕与狓轴垂直 因为犕 犪 犫 犫 狓 犽犅 犇 犽犅 犕 犫 犪 犽犃 犅 犫 犪 狔 狓 所以直线犅 犕的方程为狔 犫 犪 狔 狓 狓 犪 犫 犫 狓 令狓 得狔犖 犪 犫 犪 狔 犮 犪 狔 因为狓 犪 狔 犫 所以 狘狓 狔 狘 犪 犫 当且仅 当狘狓 狘 槡 犪 狘狔 狘 槡 犫时 取 等 号 所 以 犗犕犖的面积犛 狘狓 狘 狘狔犖狘 犮 犪 犫 狘狓 狔 狘 犮 犪 犫 即 犗犕犖的面积的最大值是 犮 犪 犫 注 当犲 槡 时 命题实际上是江苏省 年高考解析几何试题的推广 年江苏高考试题 如图 在平面直角 坐标系狓 犗 狔中 犕 犖分别是椭圆 狓 狔 的顶 点 过坐标原点的直线交椭圆于犘 犃两点 其中 犘在第一象限 过犘作狓轴的垂线 垂足为犆 连 结犃 犆 并延长交椭圆于点犅 设直线犘 犃的斜率 为犽 图 当 直 线犘 犃 平分线段犕犖 求犽 的值 当犽 时 求点犘到直线犃 犅的 距离犱 对任意犽 求证 犘 犃 犘 犅 推广 已知椭圆犆 狓 犪 狔 犫 犪 犫 的 离心率犲 槡 过坐标原点的直线交椭圆于犘 犃 两点 其中犘在第一象限 过犘作狓轴的垂线 垂 足为犆 连结犃 犆 并延长交椭圆于点犅 则犘 犃 犘 犅 命题 已知抛物线犆 狔 狆 狓 狆 的 焦点为犉 犃为抛物线犆上异于原点的任意一点 过点犃的直线犾交抛物线犆于另一点犅 交狓轴的 正半轴于点犇 且有犉 犃 犉 犇 直线犾 犾 且犾 和 抛物线犆有且只有一个公共点犈 则直线犃 犈过定 点犉 狆 证 明 设犃 狓 狔 狓 狔 犇 狓犇 狓犇 年第 期 中学数学月刊 江苏高考第 题阅卷分析及相关教学建议 刘天程 江苏省常州市北郊高级中学 年江苏高考阅卷工作已经结束 全省数 学卷 包含空白卷 约 万份 填空题均分 分 其余各题均分为 题 分 题 分 题 分 题 分 题 分 题 分 共计 分 今年江苏卷整体偏简单 第 题虽然不难 但却是多年来解法最多的一题 初步统计有 种解法 给阅卷工作带来前所未有 的挑战 下面通过该题的评分标准 总结平时教学 需注意点 虽然每年评分标准不同 但仍有大体不 变之处可供教学参考 试题呈现 图 如图 为保护河上 古桥犗 犃 规划建一座新 桥犅 犆 同时设立一个圆 形保护区 规划要求 新 桥犅 犆与河岸犃 犅垂直 保护区的边界为圆心犕 在线段犗 犃上并与犅 犆相 切的圆 且古桥两端犗和犃到该圆上任一点的距 离均不少于 经测量 点犃位于点犗正北方 向 处 点犆位于点犗正东方向 处 犗 犆 为河岸 犅 犆 犗 求新桥犅 犆的长 当犗犕多长时 圆形保护区的面积最 大 主要解法踩分点说明 本小题主要考查直线方程 直线与圆的位置 关系和解三角形等基础知识 考查建立数学模型 及运用数学知识解决实际问题的能力 满分 分 第 问大致有两类解法 一类是解析几何建 坐标系 另一类是平面几何作辅助线配合解三角 形 第 问大致 两种解法 踩分以点为主 有就 给分 没有就给零分 不给同情分 图 解法 如图 以犗为坐标原点 犗 犆所在直线为狓轴 建立平面直角坐标系 狓 犗 狔 由 题 设 条 件 知 犃 犆 直线犅 犆的 斜 率犽犅 犆 犅 犆 犗 又因为犃 犅 犅 犆 所以直 线犃 犅的斜率犽犃 犅 设点犅的坐标为 犪 犫 则 犽犅 犆 犫 犪 犽犃 犅 犫 犪 注 两个 斜率得 分 缺一不得分 解得犪 犫 得出犅点坐标得 分 所以犅 犆 槡 因此新桥犅 犆的长是 最终结果及答得 分 檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶 如果没有答只要有单 图 由犉 狆 和犉 犃 犉 犇 得 狓 狆 狓犇 狆 则狓犇 狓 狆 所以 犽犃 犅 狔 狓 狓 狆 狔 狆 因为犾 犾 设直