2013年一道高考解析几何试题的探究与发现.pdf

2 0 1 4 年第2 期 中学数学研究 3 l 将 D 代入双曲线E 的方程 由于点P x o 9 0 在 第一象限 解得y 0 a 2 1 a 2 即点P 在定直 线菇一y 1 上 进而 笔者思考对一般的圆锥凿线还有类似第 2 问的结论吗 经探究 答案是肯定的 命题2 设椭圆E 告 l 的焦点在菇轴 上 F 疋分别是椭圆E 的左 右焦点 P 为椭圆占上 第一象限内的点 直线 2 P 交 轴于点Q 并且F P 上F Q 证明 当a 2 6 2 为定值时 点P 在某定直线 上 证明 设P 殉 F 一c O 疋 c 0 由题 设知 c 则直线F P 的斜率 j I P2 磊瓮 则直线 疋P 的斜率 芝 敌直线R P 的方程为Y 叁 铲c 当一 帅 最 即点Q 坐标为 一C c 一 o 兰 因此 直线E Q 的斜率为j l e i Y O C 一 1 C 一聋 由于即上舶 所以 I 口 惫 点 一1 化简得先 石 一c 2 将 代入椭圆E 的方程 由于点P x o 在第 一象限 解得 2 了手 i 2 了 铲 口 6 d 6 由 相加得 点P 在直线菇 y 石2 6 2 上 当a 2 6 2 为定值时 点P 在某定直线上 特别地 当6 2 1 一口2 时 即得以上高考题 类似地 还可以得到 命题3设双曲线昱 一各 l 的焦点在菇轴 上 E R 分别是双曲线E 的左 右焦点 P 为双曲线 E 上第一象限内的点 直线F 2 P 交Y 轴于点Q 并且 P 上F Q 证明 当a 2 一b 2 为定值时 点P 在某定直 限于篇幅 证明过程不再赘述 定直线为菇一 1 1 8 2 6 2I 命题3 是命题l 的推广 命题4设抛物线E 广 2 彤 p o R 是抛 物线匿 的焦点 F 是抛物线E 的准线与茗轴的交点 P 为抛物线E 上第一象限内的点 直线瓦P 交 轴子 点Q 并且 1 P 上F Q 证明 当p 变化时 点P 在某 定直线上 证明 设P x o y o 一 一号 o 兄 号 o 由 题设知 号 则直线E P 的斜率 l 耳 十i 则直线疋P 的斜率j 2 P 鱼 故直线兄P 的方 一芎 蜥 皇 号 S x 0 i 对 y 芝 互 一彳彳一 即点Q 坐标为 o i 已一 因此 直线F Q 的斜率 虿吖 为蠡 l 口 i 鱼l 由于F l P 上F Q 所以毛舻 七 口 芎一 七 1 化筒得元弛2 一孚 刈号号一 4 将 代入抛物线E 的方程 由于点P x o Y o 在 第一象限 解得茗 生丢缉 丽 即点P 在定直线 2 而万一2 戈上 对商考题的探究辛苦并快乐着 期待有更多的 老师参与进来 探究出更多的精彩 唯 嘬 噜 h H 4 卅噜N 卅q 一噜 噜 h 一 州噜H 峰 叫噜州噜 叫p 一味 H 十 吩 咔 噜v 啼 H 噜刖噜 噜H 噜一一 H 噜劓 州 一 2 0 1 3 年一道高考解析几何试题的探究与发现 浙江省衢州第二中学 3 2 4 0 0 0 傅建红 引例已知椭圆c 毒 6 o 的焦距为4 且过点P 厄 石 引例的籼c 予 寺1 2 l a 6 o 的焦嚣麓箫麓 万方数据 3 2 中学数学研究2 0 1 4 年第2 期 2 设Q x o y o X o Y o 0 为椭圆C 上一点 过点Q 作x 轴的垂线 垂足为E 取点A 0 2 互 连 接A E 过点A 作A E 的垂线交茁轴于点D 点G 是点 D 关于y 轴的对称点 作直线口G 问这样作出的直线 Q G 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点 并说明理 由 这是2 0 1 3 年安徽省高考数学 文科 的最后一 题 很明显 它是一道以椭圆的几何栏质为背景的解 析几何试题 旨在考查学生的逻辑推理能力以及运 算能力 笔者在研读其第 2 问时发现 点A O 2 柜 的纵坐标2 在恰为椭圆C 的长半轴长口 第 1 问中求得椭圆c 的方程为等 1 而题目最后 的结论是 直线口G 与椭圆C 一定有唯一的公共点 印直线口G 恰为过q 点的椭圆的切线 由此引发了 笔者的联想 I 在一般情况下的椭圆是否也有同 样性质 2 此性质是否可以引申到双益线和抛物 线中 经探究发现 上述回答均是肯定的 并且由此 性质还可获得过圆锥曲线上一点引该曲线切线的一 种新作法 本文下面即对上述问题进行探究 约定 本文中的椭圆 双曲线 抛物线方程仅指 务 l 口 6 o 一爷 l n o 6 o nOnD 严 枷 p o 口 粕 均为曲线上异干顶点的 任意一点 为了方便证明 先给出以下引理 J i ll 过椭圆 紊 1 口 6 o 双曲 线与一告 1 口 o b o 上一点Q 茹 y o 的 切线方程为等 警 1 等一等0 1 n0n 2 引理2 过点q x o 的椭圆与 旨 l 8 ao b o 双曲线与一鲁 1 口 o b o 的切 线等 等 l 等一等 1 1 与茗轴的零点为 i a 2 0 2 引理3 过点口 Y o G o 两点的直线 为椭圆手 等0 1 6 o 双曲线 一鲁0 2 nd 1 n 0 b 0 的切线 引理4过抛物线y 2 轨 P 0 上一点 Q X o y o 的切线方程为 Y o Y p 茗 切线与髫 轴的交点为 一 0 过点Q 露 Y o c 一 0 两 点的直线为抛物线y 2 2 p x p O 的切线 上述引理的证明均较为简单 在此从略 一 引出性质 性质1 如图1 口 知 为椭圆上除顶点外 的任意一点 Q E 上菇轴于E 0 取点a O a 连 接A E 过点A 作A D 上A E A D 交互轴于D 点 D 关于 Y 轴的对称点为c 连接口G 则口G 即为过口点的椭 圆的切线 切蟪 芦弋3 K G 0 o 引两条切线 则这 两条切线互相垂直 证明 设P 点的坐标为 X 0 自这一点向椭 圆c 2 引的两切线分别为f 和Z 1 当切线的斜率存在且不为0 时 设过P 的切 线方程为 一Y o 女 名一 r y 一孔 k x 一茹o 由 告 l 得 6 2 驴口2 髫2 3 3 2 6 0 0 刘南山 3 3 2 6 0 0 袁平 2 a 2 k n k 2 x o x 口2 酽 一2 妇o y o 元 一8 2 6 2 0 因为 4 a 4 一萨 2 4 a 2 a 虹 b 2 j 2 2 2 砜 Z b 2 o 所以 a 2 一磊 矿 2 x o k b 2 一儿2 0 宰 设切线f 和l 的斜率分别为毛 七 则后 J 是 母 式方程的两实根 所以而 j 笔二粤 又点尸 一再0 在圆C l 菇2 广 0 2 b 2 上 所以菇 元 a 2 b 2 所以6 2 一露 茗 一a 2 所以蠡 j 一1 所以切线 1 和 互相垂直 2 当其中有一条切线的