【内部资料】5-6-1余数问题,题库教师版.pdf

5 6 余数问题 题库 教师版 page 1 of 20 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富 题目难度较大的知识体系 也是各大杯赛小升初考试必 考的奥数知识点 所以学好本讲对于学生来说非常重要 许多孩子都接触过余数的有关问题 并有不少孩子说 遇到余数的问题就基本晕菜了 余数问题主要包括了带余除法的定义 三大余数定理 加法余数定理 乘法余数定理 和同余定理 及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用 一 一 带余除法的定义及性质带余除法的定义及性质 一般地 如果 a 是整数 b 是整数 b 0 若有 a b q r 也就是 a b q r 0 r b 我们称上面的除法算式为一个带余除法算式 这里 1 当0r 时 我们称 a 可以被 b 整除 q 称为 a 除以 b 的商或完全商 2 当0r 时 我们称 a 不可以被 b 整除 q 称为 a 除以 b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型 如图 这是一堆书 共有 a 本 这个 a 就可以理解为被除数 现在要求按照 b 本一捆打包 那么 b 就是除数 的角色 经过打包后共打包了 c 捆 那么这个 c 就是商 最后还剩余 d 本 这个 d 就是余数 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中 4 个量的关系 并且可以看出余数一定要比除数小 二 二 三大余数定理三大余数定理 1 1 余数的加法定理余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数 等于 a b 分别除以 c 的余数之和 或这个和除以 c 的余数 例如 23 16 除以 5 的余数分别是 3 和 1 所以 23 16 39 除以 5 的余数等 于 4 即两个余数的和 3 1 当余数的和比除数大时 所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数 例如 23 19 除以 5 的余数分别是 3 和 4 所以 23 19 42 除以 5 的余数等于 3 4 7 除以 5 的余数 即 2 5 5 6 6 余数问题余数问题 教学目标教学目标 知识点拨知识点拨 5 6 余数问题 题库 教师版 page 2 of 20 2 2 余数的乘法定理余数的乘法定理 a 与 b 的乘积除以 c 的余数 等于 a b 分别除以 c 的余数的积 或者这个积除以 c 所得的余数 例如 23 16 除以 5 的余数分别是 3 和 1 所以 23 16 除以 5 的余数等于 3 1 3 当余数的和比除数大时 所求的余数等于余数之积再除以 c 的余数 例如 23 19 除以 5 的余数分别是 3 和 4 所以 23 19 除以 5 的余数等于 3 4 除以 5 的余数 即 2 3 3 同余定理同余定理 若两个整数 a b 被自然数 m 除有相同的余数 那么称 a b 对于模 m 同余 用式子表示为 a b mod m 左边的式子叫做同余式 同余式读作 a 同余于 b 模 m 由同余的性质 我们可以得到一个非常重要的推论 若两个数 a b 除以同一个数 m 得到的余数相同 则 a b 的差一定能被 m 整除 用式子表示为 如果有 a b mod m 那么一定有 a b mk k 是整数 即 m a b 三 三 弃九法原理弃九法原理 在公元前 9 世纪 有个印度数学家名叫花拉子米 写有一本 花拉子米算术 他们在计算时通常是 在一个铺有沙子的土板上进行 由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确 他们的检验 方式是这样进行的 例如 检验算式1234 1898 18922678967178902889923 1234 除以 9 的余数为 1 1898 除以 9 的余数为 8 18922 除以 9 的余数为 4 678967 除以 9 的余数为 7 178902 除以 9 的余数为 0 这些余数的和除以 9 的余数为 2 而等式右边和除以 9 的余数为 3 那么上面这个算式一定是错的 上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理 即如果这个等式是正确的 那么左边 几个加数除以 9 的余数的和再除以 9 的余数一定与等式右边和除以 9 的余数相同 而我们在求一个自然数除以 9 所得的余数时 常常不用去列除法竖式进行计算 只要计算这个自然数 的各个位数字之和除以 9 的余数就可以了 在算的时候往往就是一个 9 一个 9 的找并且划去 所以这种方 法被称作 弃九法 所以我们总结出弃九发原理 任何一个整数模 9 同余于它的各数位上数字之和 以后我们求一个整数被 9 除的余数 只要先计算这个整数各数位上数字之和 再求这个和被 9 除的余 数即可 利用十进制的这个特性 不仅可以检验几个数相加 对于检验相乘 相除和乘方的结果对不对同样适 用 注意 弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确 但不能保证一定正确 例如 检验算式 9 9 9 时 等式两边的除以 9 的余数都是 0 但是显然算式是错误的 但是反过来 如果一个算式一定是正确的 那么它的等式 2 两端一定满足弃九法的规律 这个思想往 往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题 四 中国剩余定理四 中国剩余定理 1 1 中国古代趣题中国古代趣题 中国数学名著 孙子算经 里有这样的问题 今有物 不知其数 三三数之 剩二 五五数之 剩 三 七七数之 剩二 问物几何 答曰 二十三 5 6 余数问题 题库 教师版 page 3 of 20 此类问题我们可以称为 物不知其数 类型 又被称为 韩信点兵 韩信点兵又称为中国剩余定理 相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少 韩信答说 每 3 人一列 余 1 人 5 人一列余 2 人 7 人一列余 4 人 13 人一列余 6 人 刘邦茫然而不知其数 我们先考虑下列的问题 假设兵不满一万 每 5 人一列 9 人一列 13 人一列 17 人一列都剩 3 人 则兵有多少 首先我们先求 5 9 13 17 之最小公倍数 9945 注 因为 5 9 13 17 为两两互质的整数 故其最 小公倍数为这些数的积 然后再加 3 得 9948 人 孙子算经的作者及确实著作年代均不可考 不过根据考证 著作年代不会在晋朝之后 以这个考证来 说上面这种问题的解法 中国人发现得比西方早 所以这个问题的推广及其解法 被称为中国剩余定理 中国剩余定理 Chinese Remainder Theorem 在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位 2 2 核心思想和方法核心思想和方法 对于这一类问题 我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法 下面我们就以 孙子算经 中的问题为例 分析此方法 今有物 不知其数 三三数之 剩二 五五数之 剩三 七七数之 剩二 问物几何 题目中我们可以知道 一个自然数分别除以 3 5 7 后 得到三个余数分别为 2 3 2 那么我们首先 构造一个数字 使得这个数字除以 3 余 1 并且还是 5 和 7 的公倍数 先由5 735 即 5 和 7 的最小公倍数出发 先看 35 除以 3 余 2 不符合要求 那么就继续看 5 和 7 的 下一个 倍数35 270 是否可以 很显然 70 除以 3 余 1 类似的 我们再构造一个除以 5 余 1 同时又是 3 和 7 的公倍数的数字 显然 21 可以符合要求 最后再构造除以 7 余 1 同时又是 3 5 公倍数的数字 45 符合要求 那么所求的自然数可以这样计 算 2 703 212 45 3 5 7 233 3 5 7 kk 其中 k 是从 1 开始的自然数 也就是说满足上述关系的数有无穷多 如果根据实际情况对数的范围加以限制 那么我们就能找到所 求的数 例如对上面的问题加上限制条件 满足上面条件最小的自然数 那么我们可以计算2 703 212 452 3 5 7 23 得到所求 如果加上限制条件 满足上面条件最小的三位自然数 我们只要对最小的 23 加上 3 5 7 即可 即 23 105 128 模块一 模块一 带余除法带余除法的定义和性质的定义和性质 例 例 1 1 第五届小学数学报竞赛决赛第五届小学数学报竞赛决赛 用某自然数用某自然数a去除去除1992 得到商是 得到商是 4646 余数是 余数是r 求 求a和和r 解析 解析 因为1992是a的46倍还多r 得到19924643 14 得1 9 9 2 4 6 4 3 1 4 所以43a 14r 巩固 巩固 1013除以一个两位数 余数是除以一个两位数 余数是12 求出符合条件的所有的两位数 求出符合条件的所有的两位数 解析 解析 1013 121001 10017 11 13 那么符合条件的所有的两位数有11 13 77 91 因为 余数小 于除数 所以舍去11 答案只有13 77 91 巩固 巩固 清华附中小升初分班考试清华附中小升初分班考试 甲 乙两数的和是甲 乙两数的和是1088 甲数除以乙数商 甲数除以乙数商11余余32 求甲 乙两数 求甲 乙两数 解析 解析 法 1 因为 甲 乙1132 所以 甲 乙 乙1132 乙 乙12321088 则乙 108832 1288 甲1088 乙1000 法 2 将余数先去掉变成整除性问题 利用倍数关系来做 从1088中减掉32以后 1056就应当 是乙数的 11 1 倍 所以得到乙数1056 1288 甲数1088881000 例题精讲例题精讲 5 6 余数问题 题库 教师版 page 4 of 20 巩固 巩固 一个两位数除一个两位数除 310 余数是 余数是 37 求这样的两位数 求这样的两位数 解析 解析 本题为余数问题的基础题型 需要学生明白一个重要知识点 就是把余数问题 即 不整除问 题 转化为整除问题 方法为用被除数减去余数 即得到一个除数的倍数 或者是用被除数加上 一个 除数与余数的差 也可以得到一个除数的倍数 本题中 310 37 273 说明 273 是所求余数的倍数 而 273 3 7 13 所求的两位数约数还要满 足比 37 大 符合条件的有 39 91 例 例 2 2 2003年全国小学数学奥林匹克试题年全国小学数学奥林匹克试题 有两个自然数相除 商是有两个自然数相除 商是17 余数是 余数是13 已知被除数 已知被除数 除数 商与余数之除数 商与余数之和为和为2113 则被除 则被除数是多少 数是多少 解析 解析 被除数 除数 商 余数 被除数 除数 17 13 2113 所以被除数 除数 2083 由于被除数是 除数的 17 倍还多 13 则由 和倍问题 可得 除数 2083 13 17 1 115 所以被除数 2083 115 1968 巩固 巩固 2002 年全国小学数学奥林匹克试题年全国小学数学奥林匹克试题 两数相除 商两数相除 商 4 余余 8 被除数 除数 商数 余数四数之和 被除数 除数 商数 余数四数之和 等于等于 415 则被 则被除数是除数是 解析 解析 因为被除数减去 8 后是除数的 4倍 所以根据和倍问题可知 除数为4154884 179 所以 被除数为79 48324 巩固 巩固 用一个自然数去除另一个自然数 商为用一个自然数去除另一个自然数 商为 40 余数是 余数是 16 被除数 除数 商 余数的和是被除数 除数 商 余数的和是 933 求 求 这这 2 个自然数各是多少 个自然数各是多少 解析 解析 本题为带余除法定义式的基本题型 根据题意设两个自然数分别为 x y 可以得到 4016 4016933 xy xy 解方程组得 856 21 x y 即这两个自然数分别是 856 21 例 例 3 3 20002000 年 祖冲之杯 小学数学邀请赛试题年 祖冲之杯 小学数学邀请赛试题 三个不同的自然数的和为三个不同的自然数的和为 20012001 它们分别除以 它们分别除以 1919 2323 3131 所得的商相同 所得的余数也相同 这三个数是所得的商相同 所得的余数也相同 这三个数是 解析 解析 设所得的商为a 除数为b 19 23 31 2001ababab 7332001ab 由19b 可求得27a 10b 所以 这三个数分别是19523ab 23631ab 31847ab 巩固 巩固 2004 年福州市 迎春杯 小学数学竞赛试题年福州市 迎春杯 小学数学竞赛试题 一个自然数 除以一个自然数 除以 11 时所得到的商和余数是相等时所得到的商和余数是相等 的 除以的 除以 9 时所得到时所得到的商是余数的的商是余数的 3 倍 这个自然数是倍 这个自然数是 解析 解析 设这个自然数除以 11 余a 011 a 除以 9 余b 09 b 则有119 3aabb 即37ab 只有7a 3b 所以这个自然数为12 784 例 例 4 4 1997 1997 年我爱数学少年数学夏令营试题年我爱数学少年数学夏令营试题 有有 4848 本书分给两组小朋友 已知第二组比第一组多本书分给两组小朋友 已知第二组比第一组多 5 5 人人 如果把书全如果把书全部分给第一组 那么每人部分给第一组 那么每人 4 4 本 有剩余 每人本 有剩余 每人 5 5 本 书不够本 书不够 如果把书全分给如果把书全分给 第二组 第二组 那么每人那么每人 3 3 本 有剩余 每人本 有剩余 每人 4 4 本 书不够本 书不够 问 第二组有多少人问 第二组有多少人 解析 解析 由48412 4859 6 知 一组是 10 或 11 人 同理可知48316 48412 知 二组是 13 14 或 15 人 因为二组比一组多 5 人 所以二组只能是 15 人 一组 10 人 巩固 巩固 一个两位数除以一个两位数除以 13 的商是的商是 6 除以 除以 11 所得的余数是所得的余数是 6 求这个两位数 求这个两位数 解析 解析 因为一个两位数除以13的商是6 所以这个两位数一定大于13 678 并且小于13 6 1 91 又因为这个两位数除以 11 余 6 而 78 除以 11 余 1 这个两位数为78583 模块二 模块二 三大余数三大余数定理定理的应用的应用 例 例 5 5 有一个大于有一个大于 1 1 的整数 除的整数 除45 59 101所得的余数相同 求这个数所得的余数相同 求这个数 解析 解析 这个题没有告诉我们 这三个数除以这个数的余数分别是多少 但是由于所得的余数相同 根据 同余定理 我们可以得到 这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差 也就是说它是任意两 5 6 余数问题 题库 教师版 page 5 of 20 数差的公约数 1014556 594514 56 14 14 14的约数有1 2 7 14 所以这个数可 能为2 7 14 巩固 巩固 有一个整数 除有一个整数 除 39 51 14739 51 147 所得的余数都是所得的余数都是 3 3 求这个数 求这个数 解析 解析 法 1 39336 1473144 36 144 12 12 的约数是1 2 3 4 6 12 因为余数为 3 要小 于除数 这个数是4 6 12 法 2 由于所得的余数相同 得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差 也就是说它是 任意两数差的公约数 51 3912 14739108 12 108 12 所以这个数是4 6 12 巩固 巩固 有一个自然数 除有一个自然数 除 345345 和和 543543 所得的余数相同 且商相差所得的余数相同 且商相差 3333 求这个数是多少 求这个数是多少 解析 解析 由于这个数除 345 和 543 的余数相同 那么它可能整除 543 345 并且得到的商为 33 所以所 求的数为 543345 336 巩固 巩固 20012001 年全国小学数学奥林匹克试题年全国小学数学奥林匹克试题 若若 28362836 45824582 51645164 65226522 四个自然数都被同一个自然数四个自然数都被同一个自然数 相除 相除 所得余数相同且为两位数 除数和余数的和为所得余数相同且为两位数 除数和余数的和为 解析 解析 设除数为 A 因为 2836 4582 5164 6522 除以 A 的余数相同 所以他们两两之差必能被 A 整除 又因为余数是两位数 所以 A 至少是两位数 51644582582 652251641358 因 为 582 1358 194 所以 A 是 194 的大于 10 的约数 194 的大于 10 的约数只有 97 和 194 如果 194A 2386 19414120 余数不是两位数 与题意不符 如果97A 经检验 余数都 是 23 除数 余数9723120 巩固 巩固 已知已知 20082008 被一些自然数去除 所得的余数都是被一些自然数去除 所得的余数都是 1010 那么这样的自然数共有多少个 那么这样的自然数共有多少个 解析 解析 本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目 由题意所求的自然数一定是 2008 10 即 1998 的约数 同时还要满足大于 10 这个条件 这样题目就转化为 1998 有多少个大于 10 的约数 3 19982 337 共有 1 1 3 1 1 1 16 个约数 其中 1 2 3 6 9 是比 10 小 的约数 所以符合题目条件的自然数共有 11 个 巩固 巩固 在小于在小于 10001000 的自然数中 分别除以的自然数中 分别除以 1818 及及 3333 所得余数相同的数有多少个所得余数相同的数有多少个 余数可以为余数可以为 0 0 解析 解析 我们知道 18 33 的最小公倍数为 18 33 198 所以每 198 个数一次 1 198 之间只有 1 2 3 17 198 余 O 这 18 个数除以 18 及 33 所得的余数相同 而 999 198 5 9 所以共有 5 18 9 99 个这样的数 巩固 巩固 2008 2008 年仁华考题年仁华考题 一个三位数除以一个三位数除以 1717 和和 1919 都有余数 并且除以都有余数 并且除以 1717 后所得的商与余数的和等于后所得的商与余数的和等于 它除以它除以 1919 后所得到的商与余数的和 那么这样的三位数中最大数是多少 最小数是多少 后所得到的商与余数的和 那么这样的三位数中最大数是多少 最小数是多少 解析 解析 设这个三位数为s 它除以 17 和 19 的商分别为a和b 余数分别为m和n 则1 71 9sa mb n 根据题意可知ambn 所以 samsbn 即1618ab 得89ab 所以a是 9 的倍数 b是 8 的倍数 此时 由ambn 知 81 99 nmabaaa 由于s为三位数 最小为 100 最大为 999 所以10017999am 而116m 所以171 17999aam 100171716ama 得到558a 而a是 9 的倍数 所以a 最小为 9 最大为 54 当54a 时 1 6 9 nma 而18n 所以12m 故此时s最大为17 54 12930 当9a 时 1 1 9 nma 由于1m 所以此时s最小为17 9 1 154 所以这样的三位数中最大的是 930 最小的是 154 5 6 余数问题 题库 教师版 page 6 of 20 例 例 6 6 两位自然数两位自然数ab与与ba除以除以 7 7 都余都余 1 1 并且 并且ab 求 求abba 解析 解析 abba 能被 7 整除 即 10 10 9abbaab 能被 7 整除 所以只能有7ab 那么ab 可能为 92 和 81 验算可得当92ab 时 29 ba 满足题目要求 92292668ab ba 巩固 巩固 学校新买来学校新买来 118118 个乒乓球 个乒乓球 6767 个乒乓球拍和个乒乓球拍和 3333 个乒乓球网 如果将这三种物品平分给每个班级 个乒乓球网 如果将这三种物品平分给每个班级 那么这三种物品剩下的数量相同 请问学校共有多少个班 那么这三种物品剩下的数量相同 请问学校共有多少个班 解析 解析 所求班级数是除以118 67 33余数相同的数 那么可知该数应该为1186751 和673334 的公约数 所求答案为 17 巩固 巩固 20002000 年全国小学数学奥林匹克试题年全国小学数学奥林匹克试题 在除在除 1351113511 1390313903 及及 1458914589 时能剩下相同余数的最大整时能剩下相同余数的最大整数数 是是 解析 解析 因为13903 13511392 14589 13903686 由于 13511 13903 14589 要被同一个数除时 余数相同 那么 它们两两之差必能被同一个数整除 392 686 98 所以所求的最大整数是 98 例 例 7 7 20032003 年南京市少年数学智力冬令营试题年南京市少年数学智力冬令营试题 2003 2与与 2 2003的和除以的和除以 7 7 的余数是的余数是 解析 解析 找规律 用 7 除 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 的余数分别是 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 的个数是 3 的倍数时 用 7 除的余数为 1 2 的个数是 3 的倍数多 1 时 用 7 除的余数为 2 2 的 个数是 3 的倍数多 2 时 用 7 除的余数为 4 因为 20033 667 2 22 所以 2003 2除以 7 余 4 又两个数 的积除以 7 的余数 与两个数分别除以 7 所得余数的积相同 而 2003 除以 7 余 1 所以 2 2003除 以 7 余 1 故 2003 2与 2 2003的和除以 7 的余数是415 巩固 巩固 20042004 年南京市少年数学智力冬令营试题年南京市少年数学智力冬令营试题 在在 19951995 19981998 20002000 20012001 20032003 中 若其中几个数中 若其中几个数 的和被的和被 9 9 除余除余 7 7 则将这几个数归为一组 这样的数组共有则将这几个数归为一组 这样的数组共有 组 组 解析 解析 1995 1998 2000 2001 2003 除以 9 的余数依次是 6 0 2 3 5 因为252507 25360253679 所以这样的数组共有下面 4 个 2000 2003 1998 2000 2003 2000 2003 2001 1995 1998 2000 2003 2001 1995 例 例 8 8 20052005 年全国小学数学奥林匹克试题年全国小学数学奥林匹克试题 有一个整数 用它去除有一个整数 用它去除 7070 110110 160160 所得到的所得到的 3 3 个余数个余数 之和是之和是 5050 那 那么这个整数是么这个整数是 解析 解析 70 110 160 50290 50316 2 除数应当是 290 的大于 17 小于 70 的约数 只可能 是 29 和 58 110581 52 5250 所以除数不是 58 70292 12 110293 23 160295 15 1223 1550 所以除数是29 巩固 巩固 20022002 年全国小学数学奥林匹克试题年全国小学数学奥林匹克试题 用自然数用自然数 n n 去除去除 6363 9191 129129 得到的三个余数之和为得到的三个余数之和为 2525 那么 那么 n n 解析 解析 n 能整除6391 12925258 因为2538 1 所以 n 是 258 大于 8 的约数 显然 n 不能 大于 63 符合条件的只有 43 5 6 余数问题 题库 教师版 page 7 of 20 巩固 巩固 号码分别为号码分别为 101 126 173 193101 126 173 193 的的 4 4 个运动员进行乒乓球比赛个运动员进行乒乓球比赛 规定每两人比赛的盘数是他们号码规定每两人比赛的盘数是他们号码 的和被的和被 3 3 除所得的余数除所得的余数 那么打球盘数最多的运动员打了多少盘那么打球盘数最多的运动员打了多少盘 解析 解析 本题可以体现出加法余数定理的巧用 计算 101 126 173 193 除以 3 的余数分别为 2 0 2 1 那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用 2 0 2 1 两两相加除以 3 即可 显然 126 运动员 打 5 盘是最多的 例 例 9 9 20022002 年 小学生数学报 数学邀请赛试题年 小学生数学报 数学邀请赛试题 六名小学生分别带着六名小学生分别带着 1414 元 元 1717 元 元 1818 元 元 2121 元 元 2626 元 元 3737 元钱 一起到元钱 一起到新华书店购买 成语大词典 一看定价才发现有新华书店购买 成语大词典 一看定价才发现有 5 5 个人带的钱不够 个人带的钱不够 但是其但是其中甲 乙 丙中甲 乙 丙 3 3 人的钱凑在一起恰好可买人的钱凑在一起恰好可买 2 2 本 丁 戊本 丁 戊 2 2 人的钱凑在一起恰好可买人的钱凑在一起恰好可买 1 1 本本 这 这 种 成语大词典 的定价是种 成语大词典 的定价是 元 元 解析 解析 六名小学生共带钱 133 元 133 除以 3 余 1 因为甲 乙 丙 丁 戊的钱恰好能买 3 本 所以 他们五人带的钱数是 3 的倍数 另一人带的钱除以 3 余 1 易知 这个钱数只能是 37 元 所以每 本 成语大词典 的定价是 14 17182126 332 元 巩固 巩固 20002000 年全国小学数学奥林匹克试题年全国小学数学奥林匹克试题 商店里有六箱货物 分别重商店里有六箱货物 分别重 1515 1616 1818 1919 2020 3131 千克 千克 两个顾客买两个顾客买走了其中的五箱 已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的走了其中的五箱 已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的 2 2 倍 那么商店剩下倍 那么商店剩下的的 一箱货物重量是一箱货物重量是 千克 千克 解析 解析 两个顾客买的货物重量是3的倍数 15 1618 192031 12 119339 2 剩下的 一箱货物重量除以 3 应当余 2 只能是 20 千克 巩固 巩固 19971997 年全国小学数学奥林匹克试题年全国小学数学奥林匹克试题 六张卡片上分别标上六张卡片上分别标上 11931193 12581258 18421842 18661866 19121912 24942494 六个数 甲六个数 甲取取 3 3 张 乙取张 乙取 2 2 张 丙取张 丙取 1 1 张 结果发现甲 乙各自手中卡片上的数之和一个人是另张 结果发现甲 乙各自手中卡片上的数之和一个人是另 个人的个人的 2 2 倍 则丙手中卡片上的数是倍 则丙手中卡片上的数是 第五届小数报数学竞赛初赛第五届小数报数学竞赛初赛 解析 解析 根据 甲 乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的 2 倍 可知 甲 乙手中五张卡 片上的数之和应是 3 的倍数 计算这六个数的总和是 1193 1258 1842 1866 1912249410565 10565 除以 3 余 2 因为甲 乙二人手中五张卡片上的数之和是 3 的倍数 那么丙手中的卡片上 的数除以 3 余 2 六个数中只有 1193 除以 3 余 2 故丙手中卡片上的数为 1193 例 例 1010 求求2461 135 6047 11 的余数 的余数 解析 解析 因为2461 11223 8 135 11 12 3 6047 11549 8 根据同余定理 三 2461 135 6047 11 的余数等于8 3 8 11 的余数 而8 3 8192 192 11 17 5 所以2461 135 6047 11 的余数为 5 巩固 巩固 华罗庚金杯赛模拟试题华罗庚金杯赛模拟试题 求求478 296 351 除以除以 1717 的余数 的余数 解析 解析 先求出乘积再求余数 计算量较大 可先分别计算出各因数除以 17 的余数 再求余数之积除 以 17 的余数 478 296 351除以 17 的余数分别为 2 7 和 11 2 7 11 179 1 巩固 巩固 求求 1997 3的最后两位数 的最后两位数 解析 解析 即考虑 1997 3除以 100 的余数 由于100425 由于 3 327 除以 25 余 2 所以 9 3除以 25 余 8 10 3除以 25 余 24 那么 20 3除以 25 余 1 又因为 2 3除以 4 余 1 则 2 0 3除以 4 余 1 即 20 31 能被 4 和25整除 而4与25互质 所以 20 31 能被100整除 即 20 3除以100余1 由于199720 99 17 所以 1997 3除以 100 的余数即等于 17 3除以 100 的余数 而 6 3729 除以 100 余 29 5 3243 除以 100 余 43 17625 3 3 3 所以 17 3除以 100 的余数等于292943 除以 100 的余数 而 29294336163 除以 100 余 63 所以 1997 3除以 100 余 63 即 1997 3的最后两位数为 63 5 6 余数问题 题库 教师版 page 8 of 20 巩固 巩固 求求 12 644319 的余数的余数 解析 解析 本题为余数乘法定理的拓展模式 即数字的乘方与一个数相除的余数情况 由 6443 19 余 2 求 原式的余数只要求 12 219 的余数即可 但是如果用 2 19 发现会进入一个死循环 因为这时被 除数比除数小了 所以可以进行适当的调整 1266 22264 64 64 19 余数为 7 那么求 12 219 的余数就转化为求64 64 19 的余数 即 49 19 的余数 49 19 余数为 11 所以原式 12 644319 的余数为 11 巩固 巩固 20082 22008 除以除以 7 7 的余数是多少 的余数是多少 解析 解析 3 28 除以 7 的余数为 1 20083 669 1 所以 20083 669 13 669 22 2 2 其除以 7 的余数为 669 122 2008 除以 7 的余数为 6 则 2 2008除以 7 的余数等于 2 6除以 7 的余数 为 1 所以 20082 22008 除以 7 的余数为 213 巩固 巩固 2000 2 2222 个 除以除以 1313 所得余数是所得余数是 解析 解析 我们发现 222222 整除 13 2000 6 余 2 所以答案为 22 13 余 9 巩固 巩固 求求 89 143除以除以 7 7 的余数 的余数 解析 解析 法一 由于 1433 mod7 143 被 7 除余 3 所以 8989 1433mod7 89 143被 7 除所得余数与 89 3被 7 除所得余数相等 而 6 3729 7291 mod7 729 除以 7 的余数为 1 所以 8966655 14 3333335 mod7 个 故 89 143除以 7 的余数为 5 法二 计算 89 3被 7 除所得的余数可以用找规律的方法 规律如下表 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 mod7 3 2 6 4 5 1 3 于是余数以 6 为周期变化 所以 895 335 mod7 巩固 巩固 20072007 年实验中学考题 年实验中学考题 2222 12320012002 除以除以 7 7 的余数是多少 的余数是多少 解析 解析 由于 22222 20022003 4005 123200120021001 2003 1335 6 而 1001 是 7 的倍数 所以这个乘积也是 7 的倍数 故 22222 12320012002 除以 7 的余数是 0 巩固 巩固 3031 3130 被被13除所得的余数是多少 除所得的余数是多少 解析 解析 31 被 13 除所得的余数为 5 当 n 取 1 2 3 时5n被 13 除所得余数分别是 5 12 8 1 5 12 8 1以 4 为周期循环出现 所以 30 5被 13 除的余数与 2 5被 13 除的余数相同 余 12 则 30 31 除以 13 的余数为 12 30 被 13 除所得的余数是 4 当 n 取 1 2 3 时 4n被 13 除所得的余数分别是 4 3 12 9 5 6 余数问题 题库 教师版 page 9 of 20 10 1 4 3 12 9 10 以 6 为周期循环出现 所以 31 4被 13 除所得的余数等于 1 4被 13 除所得的余数 即 4 故 31 30除以 13 的余数为 4 所以 3031 3130 被 13 除所得的余数是124 133 巩固 巩固 20082008 年奥数网杯年奥数网杯 已知已知 20082008 200820082008a 个 问 问 a除以除以 1313 所得的余数是多少 所得的余数是多少 解析 解析 2008 除以 13 余 6 10000 除以 13 余 3 注意到200820082008 100002008 20082008200820082008 100002008 2008200820082008200820082008 100002008 根据这样的递推规律求出余数的变化规律 20082008除以 13 余6 36 1311 200820082008 除以13 余11 36390 即 200820082008 是 13 的倍数 而2008除以 3 余 1 所以 20082008 200820082008a 个 除以 13 的余数与2008除以 13 的余数相同 为 6 巩固 巩固 19967 77777 个 除以除以 4141 的余数是多少 的余数是多少 解析 解析 找规律 7417 774136 7774139 77774128 77777410 所以 77777 是 41 的倍数 而199653991 所以 19967 77777 个 可以分 成 399 段 77777 和 1 个 7 组成 那么它除以 41 的余数为 7 巩固 巩固 1 2342005 12342005 除以除以 1010 所得的余数为多少 所得的余数为多少 解析 解析 求结果除以 10 的余数即求其个位数字 从 1 到 2005 这 2005 个数的个位数字是 10 个一循环的 而对一个数的幂方的个位数 我们知道它总是 4 个一循环的 因此把所有加数的个位数按每 20 个 20 是 4 和 10 的最小公倍数 一组 则不同组中对应的个位数字应该是一样的 首先计算 123420 123420 的个位数字 为1476563690 163656749094 的个位数字 为 4 由于 2005 个加数共可分成 100 组另 5 个数 100 组的个位数字和是4 100400 的个位数即 0 另外 5 个数为 2001 2001 2002 2002 2003 2003 2004 2004 2005 2005 它们和的个位数字是 1476523 的个位数 3 所以原式的个位数字是 3 即除以 10 的余数是 3 例 例 1111 求所有的质数求所有的质数 P P 使得 使得 2 41p 与与 2 61p 也是质数 也是质数 解析 解析 如果5p 则 2 41 101p 2 61 151p 都是质数 所以 5 符合题意 如果 P 不等于 5 那么 P 除以 5 的余数为 1 2 3 或者 4 2 p除以 5 的余数即等于 2 1 2 2 2 3或者 2 4除以 5 的余数 即 1 4 9 或者 16 除以 5 的余数 只有 1 和 4 两种情况 如果 2 p除以 5 的余数为 1 那么 2 41p 除 以 5 的余数等于4 1 15 除以 5 的余数 为 0 即此时 2 41p 被 5 整除 而 2 41p 大于 5 所 以此时 2 41p 不是质数 如果 2 p除以 5 的余数为 4 同理可知 2 61p 不是质数 所以 P 不等于 5 5 6 余数问题 题库 教师版 page 10 of 20 2 41p 与 2 61p 至少有一个不是质数 所以只有5p 满足条件 巩固 巩固 在图在图表表的第二行中 恰好填上的第二行中 恰好填上8998 这十个数 使得每一竖列上下两个因这十个数 使得每一竖列上下两个因数的乘积除以数的乘积除以 1111 所所 得的余数都是得的余数都是 3 3 解析 解析 因为两个数的乘积除以 11 的余数 等于两个数分别除以 11 的余数之积 因此原题中的8998 可以改换为110 这样上下两数的乘积除以 11 余 3 就容易计算了 我们得到下面的结果 进而得到本题的答案是 巩固 巩固 20002000 年 华杯赛 试题年 华杯赛 试题 3 3 个三位数乘积的算式个三位数乘积的算式234235286abc bcacab 其中其中abc 在在 校对时 发现右边的积的数字顺序出现错误 但是知道最后一位校对时 发现右边的积的数字顺序出现错误 但是知道最后一位 6 6 是正确的 问原式中的是正确的 问原式中的abc是是 多少 多少 解析 解析 由于2342352862342352868 mod9 3 mod9 abc bcacababc 于是 3 8 mod9 abc 从而 用0 1 2 8 mod9 abc 代入上式检验 2 5 8 mod9 abc 1 对a进行讨论 如果9a 那么2 5 8 mod9 bc 2 又cab 的个位数字是 6 所以bc 的个位数字为 4 bc 可能为4 1 72 8 3 64 其中只有 4 1 8 3 b c 符合 2 经检验只有 983 839 398328245326 符合题意 如果8a 那么3 6 0 mod9 bc 3 又bc 的个位数字为2或7 则bc 可能为2 1 4 3 62 76 7 1 其中只有 2 1 b c 符合 3 经检验 821abc 不合题意 如果7a 那么4 7 1 mod9 bc 4 则bc 可能为42 6 3 其中没有符合 4 的 b c 如果6a 那么5b 4c 700 600 500210000000222334586abc bcacab 因此 这时abc不可能符合题意 综上所述 983abc 是本题唯一的解 例 例 1212 一个大于一个大于 1 1 的数去除的数去除 290290 235235 200200 时 得余数分别为时 得余数分别为a 2a 5a 则这个自然数是多少 则这个自然数是多少 解析 解析 根据题意可知 这个自然数去除 290 233 195 时 得到相同的余数 都为a 既然余数相同 我们可以利用余数定理 可知其中任意两数的差除以这个数肯定余 0 那么这个 自然数是29023357 的约数 又是233 19538 的约数 因此就是 57 和 38 的公约数 因为 57 和 38 的公约数只有 19 和 1 而这个数大于 1 所以这个自然数是 19 巩固 巩固 一个大于一个大于 1010 的自然数去除的自然数去除 9090 164164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除后所得的两个余数的和等于这个自然数去除 220220 后所得的余后所得的余 5 6 余数问题 题库 教师版 page 11 of 20 数 则这个自然数是多少 数 则这个自然数是多少 解析 解析 这个自然数去除 90 164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90 164254 后所得的余数 所以 254 和 220 除以这个自然数后所得的余数相同 因此这个自然数是25422034 的约数 又 大于 10 这个自然数只能是 17 或者是 34 如果这个数是 34 那么它去除 90 164 220 后所得的余数分别是 22 28 16 不符合题目条件 如果这个数是 17 那么他去除 90 164 220 后所得的余数分别是 5 11 16 符合题目条件 所以这个自然数是 17 例 例 1313 甲 乙 丙三数分别为甲 乙 丙三数分别为 603603 939939 393393 某数 某数A除甲数所得余数是除甲数所得余数是A除乙数所得余数的除乙数所得余数的 2 2 倍 倍 A 除乙数所得余数是除乙数所得余数是A除丙数所得余数的除丙数所得余数的 2 2 倍 求倍 求A等于多少 等于多少 解析 解析 根据题意 这三个数除以A都有余数 则可以用带余除法的形式将它们表示出来 11 603AKr 5049495 33 393AKr 由于 12 2rr 23 2rr 要消去余数 1 r 2 r 3 r 我们只能先把余数处理成相同的 再两数相减 这样我们先把第二个式子乘以 2 使得被除数和余数都扩大 2 倍 同理 第三个式子乘以 4 于是我们可以得到下面的式子 11 603AKr 22 939 222AKr 33 393 424AKr 这样余数就处理成相同的 最后两两相减消去余数 意味着能被A整除 939 26031275 393 4603969 1275 969513 17 51 的约数有 1 3 17 51 其中 1 3 显然不满足 检验 17 和 51 可知 17 满足 所以A等于 17 巩固 巩固 一个自然数除一个自然数除 429429 791791 500500 所得的余数分别是所得的余数分别是5a 2a a 求这个自然数和 求这个自然数和a的值的值 解析 解析 将这些数转化成被该自然数除后余数为2a的数 42952848 791 500 21000 这样 这些数被这个自然数除所得的余数都是2a 故同余 将这三个数相减 得到84879157 1000848152 所求的自然数一定是57和152的公约数 而 57 15219 所以这个自然数是19的约数 显然 1 是不符合条件的 那么只能是 19 经过验 证 当这个自然数是19时 除429 791 500所得的余数分别为11 12 6 6a 时成立 所 以这个自然数是19 6a 巩固 巩固 已知已知 6060 154154 200200 被某自然数除所得的余数分别是被某自然数除所得的余数分别是1a 2 a 3 1a 求该自然数的值 求该自然数的值 解析 解析 根据题意可知 自然数 61 154 201 被该数除所得余数分别是a 2 a 3 a 由于 2 aaa 所以自然数 2 613721 与154同余 由于 32 aaa 所以61 1549394 与 201 同余 所以除数是3721 1543567 和93942019193 的公约数 运用辗转相除法可得到 3567 9193 29 该除数为 29 经检验成立 模块三 模块三 余数综合应用余数综合应用 例 例 1414 著名的裴波那契数列是这样的 著名的裴波那契数列是这样的 1 1 1 1 2 2 3 3 5 5 8 8 1313 2121 这串数列当中第 这串数列当中第 20082008 个数除以个数除以 3 3 所得的余数为多少 所得的余数为多少 解析 解析 斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和 由此可以根据余数 定理将裴波那契数列转换为被 3 除所得余数的数列 1 1 2 0 2 2 1 0 1 1 2 0 5 6 余数问题 题库 教师版 page 12 of 20 第九项和第十项连续两个是 1 与第一项和第二项的值相同且位置连续 所以裴波那契数列被 3 除的余数每 8 个一个周期循环出现 由于 2008 除以 8 的余数为 0 所以