刘建亚概率论与数理统计课后习题第2,3章答案.pdf

概率论与数理统计课后习题 第2章随机变量及其分布 1 题目见课本P55 解 知识点 P34离散随机变量分布的性质 这两个表都不是离散型随机变量的分布列 原因是他们不 满足P34的离散随机变量分布的性质 即 1 P X1 1 0 5 10 P 0 1 因此有 np 2 则由泊松定理近似计算知 1 恰有3件次品的概率为 P X 3 C3 20 P 3 1 P 17 C3 20 0 1 3 0 917 23 3 e 2 0 1901 2 至少有3件次品的概率为 P X 3 1 P X 2 1 P X 0 P X 1 P X 2 1 C0 20 0 1 0 0 920 C1 20 0 1 1 0 919 C2 20 0 1 2 0 918 1 20 0 e 2 21 1 e 2 22 2 e 2 1 e 2 2e 2 2e 2 1 5e 2 0 3231 3 次品数的最可能值为 k n 1 P 2 8 题目见课本P56 解 知识点 P24伯努利概型 P37二项分布概念 P39泊松 定理 X 表示生日是元旦的人的个数 由伯努利概型和二项分布知 X B 730 1 365 进一步 由于 n 730 10 P 1 365 10 P 0 01 N 1 P X N 1 N k 0 k k e k N 1 k k e 10 P 0 001 0 1 因此有 np 5 则由泊松定理近似计算知 没有胃癌患者的概率为 P X 0 50 0 e 5 6 738 10 3 胃癌患者少于5人的概率为 P X 10 k 11 k k e k 11 4k k e 4 0 00284 13 题目见课本P56 解 知识点 P42连续随机变量分布函数的定义及概率密度 的性质 1 由概率密度函数的性质知 1 f x dx 1 0 cxdx 1 2c 因此有 c 2 2 由分布函数和概率密度函数的关系知 P 0 3 x 0 7 0 7 0 3 2xdx 0 4 3 由X的取值范围知道 0 a 1 且由已知条件知 下 式成立 a 0 2xdx 1 a 2xdx 因此得到 a2 1 a2 从而 a 2 2 4 分布函数定义式为 F x x f t dt 当x 0时 F x 0 当0 x 1时 F x 0 x 0 2tdt x2 当x 1时 F x 1 综上所述 有X的分布函数F x 为 F x 0 x 0 x2 0 x 1 1 x 1 14 题目见课本P57 解 知识点 P42连续随机变量分布函数的定义及概率密度 的性质 由随机变量X的概率密度可知 当x 0 时 F x 0 0 dx 0 当x 0 1 时 F x x 0 1 3 dx 1 3x 当x 1 3 时 F x 1 0 1 3 dx 1 3 当x 3 6 时 F x 1 0 1 3 dx x 3 2 9 dx 2 9x 1 3 当x 6 时 F x 1 0 1 3 dx 6 3 2 9 dx 1 综上所述 X的分布函数为 F x 0 x 0 1 3x x 0 1 1 3 x 1 3 2 9x 1 3 x 3 6 1 x 6 3 若k使得P X k 2 3 则有 P X k 1 2 3 1 3 从而知 1 k 3 15 题目见课本P57 解 知识点 P42连续随机变量分布函数的定义及概率密度 的性质 由概率密度的性质知 1 f x dx c 1 x2dx 1 1 c 1 x2dx c 因此得 c 1 由分布函数和概率密度函数的关系知 P X 1 2 1 2 1 2 1 1 1 x2dx 1 6 6 1 3 16 题目见课本P57 解 知识点 P42连续随机变量分布函数的定义及概率密度 的性质 1 由分布函数和概率密度函数的关系知 当x 0时 f x F x e x 当x 0时 F x 存在 且F 0 0 f 0 0 从而 X的概率密度函数为 f x e x x 0 0 x 0 2 由分布函数和概率密度函数的关系知 P X 4 F 4 1 e 4 P X 1 1 P X 1 1 F 1 e 1 17 题目见课本P57 解 知识点 P42连续随机变量分布函数的定义及概率密度 的性质 由分布函数和概率密度函数的关系知 P X 1 P X 1 P X 10min 1 P1 X 10min e 2 进一步 一个月内他未等到服务而离开窗口的次数 Y 满足 二项分布 Y B 5 P1 因此 Y 的分布律为 P Y k Ck 5 P k 1 1 P1 5 k k 0 1 2 5 至少有一次未等到服务而离开的概率 P Y 1 1 P Y 0 1 1 e 2 5 0 5167 20 题目见课本P57 解 知识点 P45指数分布及其概率密度函数 X表示打一次电话所用时间 由已知条件知 X E 0 1 则有 4 1 超过10min的概率为 P X 10 10 0 1 e 0 1xdx e 1 0 368 2 在10min和20min之间的概率为 P 10 x 20 20 10 0 1 e 0 1xdx e 1 e 2 0 233 21 题目见课本P57 解 知识点 P46正态函数分布及其概率密度函数 X 表示某工厂生产螺栓的长度 由已知条件知 X N 10 05 0 062 令P1为一合格螺栓的概率 则有 P1 P1 0 93 X 10 17 10 17 10 05 0 06 9 93 10 05 0 06 2 2 2 2 1 0 9545 令P为一合格螺栓的概率 从而 不合格的概率为 P 1 P1 1 0 9545 0 0455 22 题目见课本P58 解 知识点 P46正态函数分布及其概率密度函数 X表示某厂生产的电子管的寿命 由已知条件知X N 160 2 0 则由 P 120 X 200 200 0 160 0 40 0 40 0 2 40 0 1 0 8 得到 40 0 0 9 因此查表有 0 31 25 从而 0最大为 31 25 满足题意 23 题目见课本P58 解 知识点 P46正态函数分布及其概率密度函数 X 为报名者的考试成绩 由已知条件 90分以上的12人 60分以下的83人可知 联立下面两式 P X 90 1 90 12 526 P X 60 60 83 526 得到 70 0276 9 9920 由于某人的成绩为78分 因此高于78分人数的概率为 P X 78 1 78 1 70 0276 78 9 9920 0 2909 令P1为某单位的录取率 又由于某单位招聘155人 有526人报名 因此 录取率为 P1 155 526 0 2947 进一步由于 P X 78 0 2909 P1 0 2947 故此人能够被录取 24 题目见课本P58 解 知识点 P46正态函数分布及其概率密度函数 1 由正太函数的和标准正太函数的关系知 P 2 2 1 P X 2 1 P 2 X 2 1 2 3 2 2 3 2 1 2 5 0 5 1 0 5 2 5 0 6977 2 由已知条件 P X c P X c 得到 P X c 1 P X c 1 P X c 因此有 P X c 0 5 又由已知条件知 X N 3 22 因此图形关于X 3 对称 即 P X 0 5 从而有 c 3 5 3 由已知条件 P X d 1 P X d 1 d 3 2 0 9 得到 d 3 2 0 1 因此有 3 d 2 0 9 查表得 1 28 0 8997 1 29 0 90147 因此由插值法得 1 282 0 9 从而 3 d 2 1 282 最后有 d 0 436 25 题目见课本P58 解 知识点 P37二项分布概念 P39泊松定理 P46正态函 数分布及其概率密度函数 X表示测量误差 Y 表示测量误差绝对值超过19 6的次数 P1表示测量误差绝对值超过19 6的概率 P表示测量误差绝对值超过19 6的次数不小于3的概率 由已知条件知 X N 0 102 则有 测量误差绝对值超过19 6的概率为 P1 X 19 6 1 P1 19 6 X 19 6 1 19 6 10 19 6 10 2 1 19 6 10 0 05 又由伯努利概型和二项分布知 Y B 100 0 05 进一步 由于 n 100 10 P 0 05 n P X n k P X n qn k 1 p 1 n k 1qk 1 p qn k 1 p 1 p 1 qn 1 q p qk 1 P X k 命题得证 27 题目见课本P58 证明 知识点 P20全概率公式 P40泊松分布 微积分中 泰勒级数展开 X表示每只母鸡产k个蛋 Y 表示每个蛋能孵化成小鸡 则每只母鸡有n只小鸡的概率为 P Y n k n P X k P Y n X k k n k k e Cn kp n 1 p k n p n n e k n 1 p k n k n p n n e e 1 p p n n e p 命题得证 28 题目见课本P58 解 知识点 P51复合函数的概率密度函数及其分布 1 由X的分布列知 当X 2 时 有Y 3 此时概率为 1 10 当X 1 时 有Y 1 此时概率为1 5 当X 0 时 有Y 1 此时概率为1 4 当X 1 时 有Y 3 此时概率为1 4 当X 2 时 有Y 5 此时概率为1 5 因此Y 2X 1的分布列为 Y 2X 1 3 1135 P Y y 1 10 1 5 1 4 1 4 1 5 6 2 由X的分布列知 当X 2 时 有Y 4 此时概率为 1 10 当X 1 时 有Y 1 此时概率为1 5 当X 0 时 有Y 0 此时概率为1 4 当X 1 时 有Y 1 此时概率为1 4 当X 2 时 有Y 4 此时概率为1 5 因此 当Y 0 时 概率为1 4 当Y 1 时 概率为 9 20 当Y 4 时 概率为 3 10 从而 Y X2的分布列为 Y X2014 P Y y 1 4 9 20 3 10 29 题目见课本P58 解 知识点 P51复合函数的概率密度函数及其分布 令 y 2lnx 0 x 1 则有 x e y 2 0 y 因为X的概率密度函数为 f x 1 0 x 1 0 其他 从而随机变量Y 2lnX的概率密度函数为 fY y fX g 1 y g 1 y 1 2e y 2 综上所述 fY y 1 2e y 2 y 0 0 y 0 30 题目见课本P58 解 知识点 P51复合函数的概率密度函数及其分布 因为y x 3 不是 0 6 上的单调函数 当y 0 3 时 事件 X 3 y 是不可能 事件 所以 FY y P Y y P X 3 y P 3 y X 3 y 0 当y 0 3 时 X 3 y 3 y X 3 y 故 FY y P Y y P X 3 y FX 3 y FX 3 y 又因为 X U 0 6 fX x 1 6 所以 当0 y 3时 随机变量Y 的概率密度函数为 fY y F Y y 1 1 6 1 6 1 3 当y为其他值时 fY y 0 综上所述 fY y 1 3 0 y 3 0 其他 31 题目见课本P58 解 知识点 P51复合函数的概率密度函数及其分布 1 Y 2X2 1 因为Y 2x2 1不是 1 上的单调函数 当y 1时 事件 2X2 1 y 是不可能事件 所以 FY y P Y y P 2x2 1 y 0 当y 1 时 2X2 1 y y 1 2 X y 1 2 故 FY y P Y y P 2x2 1 y P y 1 2 X y 1 2 FX y 1 2 FX y 1 2 又因为 X N 0 1 fX x 1 2 e x2 2 所以 当y 1时 随机变量Y 的概率密度函数为 fY y 1 2 e y 1 4 1 2 e y 1 4 1 2 2 y 1 1 2 y 1 e y 1 4 当y 1时 fY y 0 综上所述 fY y 1 2 y 1 e y 1 4 y 1 0 y 1 2 Y X 因为y x 不是 0 上的单调函数 7 当y 0时 事件 x y 是不可能事件 所以 FY y P Y y P x y 0 当y 0 时 X y y X y 故 FY y P Y y P X y P y X y FX y FX y 又因为 X N 0 1 fX x 1 2 e x2 2 所以 当y 0时 随机变量Y 的概率密度函数为 fY y 1 2 e y2 2 1 2 e y2 2 1 2 e y2 2 当y 0 时 fY y 0 综上所述 fY y 2 e y 2 2 y 0 0 y 0 32 题目见课本P58 解 知识点 P51复合函数的概率密度函数及其分布 当x 4k 1 k 0 1 时 sin 2x 1 当x 4k 2 k 0 1 时 sin 2x 0 当x 4k 3 k 0 1 时 sin 2x 1 当x 4k 4 k 0 1 时 sin 2x 0 从而可知 Y 可能的取值为 1 0 1 P Y 1 1 23 1 27 1 23 1 1 24 2 15 P Y 0 1 22 1 24 1 22 1 1 22 1 3 P Y 1 1 21 1 25 1 21 1 1 24 8 15 因此 Y 的分布列为 Y 101 P 2 15 1 3 8 15 33 题目见课本P58 解 知识点 P51复合函数的概率密度函数及其分布 由于 f x 1 3 3 x2 x 1 8 0 其它 因此 F x 0 x 1 x 1 3 1 1 x 8 1x 8 从而随机变量 Y F X 0 X 1 X 1 3 1 1 X 8 1X 8 当y 0时 FY y P Y y 0 当0 y 1时 此时 1 x 8 FY y P F X y P X y 1 3 y 1 3 1 3 1 y 当y 1 时 显然有FY y 1 综上所述 随机变量Y F X 的分布函数 FY y 0 y 0 y 0 y 1 1y 1 8 概率论与数理统计课后习题 第3章多维随机变量及其分布 1 题目见课本P81 解 知识点 P59二维随机变量及其分布 由二维分布函数的定义知 P 1 X 2 3 i 故得 X 和 Y联合分布为 HH HH H H X Y 1234 1 1 4 000 2 1 8 1 8 00 3 1 12 1 12 1 12 0 4 1 16 1 16 1 16 1 16 利用 pi j pij和 p j i pij 求出关于和的边缘分布 律 并写在联合分布律表格的边缘上 可得下表 HH HH H H X Y 1234pi 1 1 4 000 1 4 2 1 8 1 8 00 1 4 3 1 12 1 12 1 12 0 1 4 4 1 16 1 16 1 16 1 16 1 4 p j 25 48 13 48 7 48 3 48 1 4 题目见课本P81 解 知识点 P60二维离散型随机变量及其分布 X 表示取到黑球的个数 Y 表示取到白球的个数 由题知白球有2个 黑球有3个 从中取4个球 则至少有2个 黑球 因此 X 可能取值为 2 3 Y 可能取值为 1 2 X Y 可能取值为 2 2 3 1 其他为零 从而 X Y 概率分布为 P X 4 j Y j C4 j 3 Cj 2 C4 5 j 1 2 将 X Y 概率分布列表如下 HH HH H H X Y 12 20 3 5 3 2 5 0 5 题目见课本P81 解 知识点 P62二维连续性随机变量 1 1 由概率密度的性质可知 f x y dxdy 0 0 Ae 3x 4y dxdy A 0 e 3xdx 0 e 4ydy A 12 1 因此 A 12 2 由概率密度函数和分布函数的关系知 当 x 0 y 0 时 F x y x y f u v dudv 12 x 0 y 0 e 3u 4v dudv 3 x 0 e 3xdu 4 y 0 e 4ydv 1 e 3x 1 e 4y 当 x y 为其它时 F x y 0 故 X Y 联合分布函数为 F x y 1 e 3x 1 e 4y x 0 y 0 0 其他 3 由 1 2 和 X Y 概率密度函数知 P 0 X 1 0 Y 2 12 1 0 2 0 e 3x 4y dx dy 3 1 0 e 3xdx 4 2 0 e 4ydy 1 e 3 1 e 8 0 9499 6 题目见课本P81 解 知识点 P60联合分布函数性质 2 及P62联合概率密度 函数和分布函数的关系 由分布函数的性质得 F lim x y A B arctan x 2 C arctan y 3 A B 2 C 2 1 F lim x A B arctan x 2 C arctan y 3 A B 2 C arctan y 3 0 F lim y A B arctan x 2 C arctan y 3 A B arctan x 2 C 2 0 联立上面3式 得 A 1 2 B 2 C 2 从而 X Y 的联合密度函数为 f x y 2F x y x y 1 2 1 2 1 x 2 2 1 3 1 y 3 2 1 2 6 4 x2 9 y2 7 题目见课本P81 解 知识点 P75连续随机变量函数和的分布 由连续随机变量和的分布可知 P X Y 1 x y 1 f x y dxdy 1 2 0 1 x x e ydxdy 1 e 1 2e 1 2 8 题目见课本P82 解 知识点 P67二维连续型随机变量的边缘分布 1 X 的边缘密度函数 当 0 x 1 时 fX x f x y dy 2 0 x2 xy 3 dy 2x2 2 3x 当 x 为其他时 由于 f x y 0 所以 fX x 0 因此 X 的边缘密度函数为 fX x 2x2 2 3x 0 x 1 0 其他 2 Y 的边缘密度函数 当 0 y 2 时 fY y f x y dy 1 0 x2 xy 3 dx 1 6y 1 3 当 y 为其他时 2 由于 f x y 0 所以 fY y 0 fY y 1 6y 1 3 0 y 2 0 其他 9 题目见课本P82 解 知识点 P64二维均匀分布 P67二维连续型随机变量 的边缘分布 由题知区域 D 包围的的面积为 SD 1 0 x x2 1dxdy 1 0 x x2 dy 1 6 所以 f x y 的密度函数为 f x y 6 x y D 0 其他 1 X 的边缘密度函数 当 0 x 1 时 fX x f x y dy x x2 6dy 6 x x2 当 x 为其他时 由于 f x y 0 所以 fX x 0 因此 X 的边缘密度函数为 fX x 6 x x2 0 x 1 0 其他 2 Y 的边缘密度函数 当 0 y 1 时 fY y f x y dy y y 6dx 6 y y 当 y 为其他时 由于 f x y 0 所以 fY y 0 fY y 6 y y 0 y 1 0 其他 10 题目见课本P82 解 知识点 P70连续性随机变量的条件分布 首先求 X Y 的边缘密度函数 1 X 的边缘密度函数 当 0 x 1 时 fX x f x y dy x x 1dy 2x 当 x 为其他时 由于 f x y 0 所以 fX x 0 因此 X 的边缘密度函数为 fX x 2x 0 x 1 0 其他 从而条件概率密度函数fY X y x 为 fY X y x f x y fX x 1 2x y x 1 0 其他 2 Y 的边缘密度函数 当 1 y 1 时 fY y f x y dy 1 y 1dx 1 y 当 y 为其他时 由于 f x y 0 所以 fY y 0 fY y 1 y 1 y 1 0 其他 从而条件概率密度函数fX Y x y 为 fX Y x y f x y fY y 1 1 y y x 1 0 其他 11 题目见课本P82 解 知识点 P70连续性随机变量的条件分布 1 条件概率密度函数fY X y x 当 1 x 1 时 fX x f x y dy 1 x2 21 4 x2y dy 21 4 x2 1 2 1 x 4 21 8 x2 1 x4 当 x 为其他时 由于 f x y 0 所以 fX x 0 3 因此 X 的边缘密度函数为 fX x 21 8 x2 1 x4 1 x 1 0 其他 从而条件概率密度函数fY X y x 为 fY X y x f x y fX x 2y 1 x4 x2 y 1 1 x 1 0 其他 2 概率P Y 3 4 X 1 2 P Y 3 4 X 1 2 3 4 fY X y x 1 2 dy 1 3 4 fY X y x 1 2 dy 1 3 4 2y 1 1 2 4 dy 1 3 4 32 15y dy 7 15 12 题目见课本P82 解 知识点 P72随机变量的独立性 X Y 相互独立 下面证明 由 X Y 分布函数知 X 边缘分布函数为 FX x F X 1 e x x 0 0 其他 由 X Y 分布函数知 Y 边缘分布函数为 FY y F Y y 0 y 1 1 y 1 0 其他 由上面的计算知 对所有的 x y 都有 F x y FX x FY y 因此 X Y 相互独立 13 题目见课本P82 解 知识点 P62概率密度函数性质 P72随机变量的独立 性 1 求常数A 由概率密度函数的性质知 f x y dxdy 1 0 1 0 Axy2dxdy A 6 1 因此有 A 6 2 证明 X Y 相互独立 X 的边缘密度函数 当 0 x 1 时 fX x f x y dy 1 0 6xy2dy 2x 当 x 为其他时 由于 f x y 0 所以 fX x 0 因此 X 的边缘密度函数为 fX x 2x 0 x 1 0 其他 Y 的边缘密度函数 当 0 y 1 时 fY y f x y dy 1 0 6xy2dx 3y2 当 y 为其他时 由于 f x y 0 所以 fY y 0 fY y 3y2 0 y 1 0 其他 由上面计算的 X Y 边缘密度函数知 fX x fY y 6xy2 0 x 1 0 y 0 y 0 0 其他 2 因为 X Y 相互独立 则有 P X 1 Y 0 P X 1 1 fX x dx 1 0 e xdx 1 e 1 16 题目见课本P83 解 知识点 P75二维离散随机变量函数的分布 Z1的所有可能的取值为 2 3 4 5 而 P Z1 2 P X Y 2 P X 1 Y 1 1 5 P Z1 3 P X 1 Y 2 P X 2 Y 1 1 5 P Z1 4 P X 2 Y 2 P X 3 Y 1 2 5 P Z1 5 P X Y 5 P X 3 Y 2 1 5 因此 Z1分布律为 Z12345 P 1 5 1 5 2 5 1 5 Z2的所有可能的取值为 1 2 3 而 P Z2 1 P X 1 Y 1 1 5 P Z2 2 P X 2 Y 1 P X 2 Y 2 P X 1 Y 2 2 5 P Z2 3 P X 3 Y 1 P X 3 Y 2 2 5 因此 Z2分布律为 Z1123 P 1 5 2 5 2 5 17 题目见课本P83 解 知识点 P75二维连续随机变量函数的分布 1 由 X Y 概率密度函数知 P X 2Y 1 0 1 2x 0 2 x y dx dy 1 0 dx 1 2x 0 2 x y dy 1 0 x 5 8x 2 dx 7 24 5 2 由课本P76公式 3 5 3 可知 fZ z f x z x dx 其中 f x z x 2 z 0 x 1 0 z x 1 0 其他 当 z 0 或 z 2 时 fZ z 0 当 0 z 1 时 fZ z z 0 2 z dx z 2 z 当 1 z 2 时 fZ z 1 z 1 2 z dx 2 z 2 故 Z 概率密度为 fZ z z 2 z 0 z 1 2 z 2 1 z 2 0 其他 18 题目见课本P83 解 知识点 P75二维连续随机变量函数的分布 P76卷积 公式 由于 X Y 相互独立 得到卷积公式如下 fZ z fX x fY z x dx 当 z 0 时 fZ z z 0 1 2e x 2 1 3e z x 3 dx e z 3 1 e z 6 当 z 0 时 fZ z 0 从而 Z X Y 的概率密度函数为 fZ z e z 3 1 e z 6 z 0 0 z 0 19 题目见课本P83 解 知识点 P75二维连续随机变量函数的分布 P76卷积 公式 由于 X Y 相互独立 得到卷积公式如下 fZ z fX x fY z x dx 当 z 0 时 由 0 z y 1 得y z 0 所以 fZ z 0 当 0 z 0 得0 y z 所以 fZ z z 0 e ydy 1 e z 当 z 1 时 由 0 z y 1 得z 1 y z 所以 fZ z z z 1 e ydy e 1 e z 从而 Z X Y 的概率密度函数为 fZ z 0 z 0 1 e z 0 z 0 0 x 0 由 Y 服从参数 2指数分布 因此有 fY y 2e 2x y 0 0 y 0 设 Z X Y 由 X Y 相互独立 则有 fZ z y fX yz fY y dy yz 0 y 0 若 z 0 则 fZ z 0 若 z 0 则 fZ z 0 y 1e 1yz 2e 2ydy 1 2 0 ye 2 1z ydy 1 2 2 1z 2 从而 Z X Y 的概率密度函数为 fZ z 1 2 2 1z 2 z 0 0 z 0 21 题目见课本P83 解 知识点 P75二维连续随机变量函数的分布 最大值最 小值分布 1 串联的情况 6 因为当 L1和 L2中有一个损坏时 系统 L 就停止工作 所 以 L 的寿命为 Z min X Y 由题给的 X 概率密度函数得到 X 分布函数为 FX x 1 e x x 0 0 x 0 由题给的 Y 概率密度函数得到 Y 分布函数为 FY y 1 e y y 0 0 y 0 故 Z 的分布函数为 FZ z 1 1 FX z 1 FY z 1 e z z 0 0 z 0 于是得到 Z 概率密度函数为 fZ z e z z 0 0 z 0 2 并联的情况 因为当且仅当 L1和 L2都损坏时 系统 L 才停止工作 所 以 L 的寿命为 Z max X Y 由题给的 X 概率密度函数得到 X 分布函数为 FX x 1 e x x 0 0 x 0 由题给的 Y 概率密度函数得到 Y 分布函数为 FY y 1 e y y 0 0 y 0 故 Z 的分布函数为 FZ z FX z FY z 1 e z 1 e z z 0 0 z 0 于是得到 Z 概率密度函数为 fZ z e z e z e z z 0 0 z 0 22 题目见课本P84 解 知识点 P65边缘分布 P68条件分布 P75二维连续随 机变量函数的分布 1 随机变量 X 和 Y 的联合密度函数 由已知条件知 X 的概率密度函数为 fX x 1 0 x 1 0 其他 在 X x 0 x 1 条件下 Y 条件密度函数为 fY X y x 1 x 0 y x 0 其他 当 0 y x 1 时 随机变量 X 和 Y 联合概率密度为 f x y fX x fY X y x 1 x 当 x y 为其他时 有 f x y 0 因此 X 和 Y 联合概率密度为 f x y 1 x 0 y x 1 0 其他 2 Y 的概率密度 当 0 y 1 时 Y 的概率密度为 fY y f x y dx 1 y 1 x dx lny 当 y 0 或 y 1 时 fY y 0 因此 Y 的