剖析试题背景探究问题本源——对2013年高考江西卷解析.pdf

第3 3 卷第1 期2 0 1 4 年1 月 数学教学研究 6 1 剖析试题背景探究问题本源 对2 0 1 3 年高考江西卷解析几何题的深入研究 邹生书 湖北省阳新县高级中学4 3 5 2 0 0 年年岁岁花相似 岁岁年年人不同 每 年都有不少的优质高考题 这些试题都是命 题专家精心设计的杰作 值得我们去品味与 欣赏 如果能够透析试题 掀起高考题目的 盖头 来 破译其中所蕴含的神秘密码 将会 是一件非常惬意的事情 同时如果能有意识 地引导学生去撩开数学试题的面纱 发现结 论 推广命题 剖析试题背景 探究问题本源 让学生享受学习成功的喜悦 达到融会贯通 的学习境界 那又会是 别有一番滋昧在心 头 2 0 1 3 年高考江西卷解析几何题是一道 难得的优质高考题 本题亲和淡雅 内涵丰富 背景深远 本文笔者将与读者一起深度剖析 试题背景 探究问题本源 1 考题呈现 题目如图1 椭 圆c 薯 荸 1 n 6 o 经过点P 1 虿3 k J 厂 廷夕 图1 离心率e 一去 直线 的方程为X 4 厶 I 求椭圆C 的方程 A B 是经过右焦点F 的任意一弦 不过点P 设直线A B 与z 相交于点M 记 P A P B P M 的斜率分别为k 1 志2 k 3 问 是 否存在常数A 使得k 尼2 A k s 若存在 求 A 的值 若不存在 说明理由 答案如下 过程略 一2 2 工 椭圆C 的方程为等 普 1 士 o 存在常数A 2 使得意l 志2 2 k 3 2 一般化探究 第2 问是一道有关3 条直线斜率等量关 系的存在性探索题 怎样透过现象看本质揭 示问题的一般性规律 拉普拉斯曾说过 在 数学中 我们发现真理的主要工具是归纳和 模拟 波利亚也曾经说过 先猜 后证 这是大多数的发现之道 观察题设和结论中 的几何元素点P 右焦点F 直线z 与椭圆C 阊的关系我们发现 点P 1 苦 和右焦点F 1 o 的横坐标相同 即点P 在z 轴上的射 影是焦点F 或者说点P 是过右焦点F 的通 径的上端点 直线l z 4 是椭圆的右准线 笔者根据这些重要信息寻根探源将问题进行 一般化探究得到 探索题已知点F 和直线z 分别是椭圆 2Z C x 2 y 蹈 1 口 6 O 的右焦点和右准线 点 P 是椭圆上一点 它在X 轴上的射影是焦点 F 过点F 的直线交椭圆于A B 两点交直线Z 于M 点 记P A P B P M 的斜率分别为k 尼2 志s 问 是否存在常数A 使得志 忌2 A k 若 存在 求A 的值 若不存在 说明理由 探究把z c 代人椭圆方程得Y 啦L 2 鲁 不妨设点P 的坐标为 c 鲁 i 当A B 为椭圆长轴时 点M 的坐标 2 为M o 不妨设A a o B a o 则 芝 k 3 志删一 鼍 2 一詈 C 一一 f k 1 志2 k e A 志P B 万方数据 6 2 数学教学研究第3 3 卷第1 期2 0 1 4 年1 月 芝芝 了芊i i 生一一i 2 c a f 1 nf口 所以志1 是2 2 k 3 故当A B 为椭圆长轴时 存在常数A 2 使得k 矗2 2 k 这一特例不仅给我们继 续探究的信心 同时也预示了探究的结果指 明了探究的方向 i i 当A B 不为椭圆长轴时 设直线 A B 的方程为 z 删 f 1 又右准线方程为 z 竺 2 解 1 2 得点M 的坐标为 譬 蓑 所以 竺一生 k 3 一 志肌2 学卫一署 u 了一c 将 1 代入椭圆方程整理得 口2 彬矿 扩 2 m c b 2 y 一6 4 o 因为y A 蛐是此方程的两个根 由根与系数 关系得 2 m c b 2 肌十如 一万丽 6 l Y A Y B a z m 2 b z 由于点A 在直线z 哪 c 上 所以 X A 蛳 c 忌1 业 6 2炉 鉴 监 三 卫 一 一 一 一 3 9 A C m y a m a m y A 同理志 去一之豪 所以 I 2b 2b 2 愚1 忌2 三 ma m y A 口7 n 如 鱼一垡 逝 塑2 优 a m y A y n 2b 22 m c b 2 一 一 优d 砚6 4 22 f2 a 2 m c 一 mn口仇 故J l k 2 2 k 3 综合 i 知 存在常数A 2 使得 是1 是2 2 k 3 由此对于椭圆我们有如下性质 性质1 已知点F 和直线Z 分别是椭圆 22 c 5 q 吾 1 n 6 o 的右焦点和右准线 点P 是椭圆上一点它在z 轴上的射影是焦 点F 过点F 的直线交椭圆于A B 两点交直 线Z 于M 点 记P A P B P M 的斜率分别为 志1 夤2 k a 则是1 志2 2 k 3 3 类比探究 对于椭圆我们有性质1 那么对于双曲 线是否也有同样的性质呢 回答是肯定的 证明与椭圆性质1 的探究基本相同 只需将 椭圆性质探究过程中的胪换成一炉即可 有 关结论如下 性质2 已知点F 和直线z 分别是双曲 2 2 线C x 2 一Y I 口 o 6 o 的右焦点和右 准线 点P 是曲线C 上一点且它在z 轴上的 射影是焦点F 过点F 的直线交曲线于A B 两点交直线z 于M 点 记P A P B P M 的斜 率分别为k 1 k 2 k 3 则k 1 是2 2 k 3 类比有心曲线的上述性质 我们通过探 究发现无心曲线抛物线也有此性质 结论与 证明如下 性质3已知点F 和直线f 分别是抛物线 C y 2 2 p x p O 的焦 点和准线 点P 是抛物 线上一点且它在z 轴上 的射影是焦点F 过点F 的直线交抛物线于A B 两点交直线z 于M 点 记P A P B P M 的斜率 图2 分别为愚1 k 2 志3 则k 1 志2 2 k 3 证明把z f 代人抛物线方程得了 万方数据 第3 3 卷第1 期2 0 1 4 年1 月数学教学研究 6 3 土p 不妨设点P 的坐标为 等 户 设直线 A B 的方程为 T m y 等 3 又准线Z 的程为 z 一一要 4 解 3 4 得点M 一号 一暑 所以 铲是蹦一篇一盎p q P 一上r n 扎 z P z M ptp 将 3 代入抛物线方程整理得 夕 2 m p y p 2 一o 因为y A Y e 是此方程的两个根 由根与系数 关系得 y a y R 2 m p Y A y B 一声2 又因为点A 在直线z m y 等上 所以 T A m y A 等 k 1 龙P 业 蟛 z 4 一z P z A 一罢 丛二坌 土一 L m y A仇m y a 同理走z 一寺 磊 故 n m V R k 占 呈一 L j L1 志2 三一上一上 鱼一卫 出 塑 m优 Y y 口 一2 由 2 m 声L 一 L 优m P 2 一呈 2 仇 综上得k l 是2 2 k 3 有趣的是 当直线A B 趋向于z 轴时 直 A B 与准线的交点为M 一号 o 与抛物 线只有一个交点A 就是坐标原点0 设想另 一个交点B 在z 轴的正半轴的无穷远处 此 时直线P B 与z 轴平行其斜率为0 即k z 0 k l 志A P 惫 专 2 2 如咄矿E 左面爿 2 2 所以k 尼 2 k 结论也正确 4 深入探究 波利亚说 类比是伟大的引路人 在上 述性质中我们发现 抛物线的焦点和准线 椭 圆 双曲线中的右焦点和右准线都是圆锥曲 线中的一对特殊的极点与极线 由此提出类 比探究 上述命题中其他条件不变 当极点F 是由圆锥曲线上异于顶点的一点P 在工轴 上的射影时 上述性质是否成立 我们经过 探究三斜率等式仍然成立 性质及证明如下 性质4 已知点P 是抛物线上C y 2 2 p x p O 异于顶点的一点 且点P 在z 轴 上的射影是点F 点F 和直线z 是抛物线的 一对极点和极线 过点F 的直线交抛物线于 A B 两点交直线z 于M 点 记P A P B P M 的斜率分别为k 乜 k 则k 矗2 2 k 证明设点P 的坐标为 荔 z 则点F 的坐标为 毛 o 由文 1 知点F 对应的极 线 的方程为 2 z 2 一荔 5 设直线A B 的方程为 2 z 优y 鲁 6 z 3 优 历 6 解 5 6 得点M 一荔 篆 所以 豫 笠 k 3 矗朋 必 掣 蛐 z Pz M 生7 7 z 2 户 将 5 代人抛物线方程整理得 Y 2 2 m 户j 一 2 O 因为Y A 如是此方程的两个根 由根与系数 万方数据 6 4 数学教学研究第3 3 卷第1 期2 0 1 4 年1 月 关系得 y A 一y B 2 r a p Y A Y 日 p 2 又因为点A 在直线z 砌 丢上 所以 翱一m M 磊 岛剐旷糕一舞 z 一芏P 一p 一些二之 上一 L m y mm y a 同理忌z 磊1 一彘 所以 2挖以 k l J v k 2 磊一m j y L A m y L B m 一鱼一旦 出 池 呈 丝之 丝2 m r l 综上可得k 1 五2 2 k 3 一2 2 性质5 已知点v c 参 蕾2 1 口 6 o 上异于顶点的一点 且点P 在X 轴上的射影是点F 点F 和直线l 是椭圆的 一对极点和极线 过点F 的直线交椭圆于 A B 两点交直线z 于M 点 记P A P B P M 的斜率分别为k 1 k 2 k 3 则k l 志2 2 k 3 证明设点P a c o s 口 b s i n 孑 则其射影 F a c o s 口 o 由文 1 知点F 所对应的极线 方程为 z z 一三西a 7 i 当A B 为椭圆长轴时 点M 的坐标 为 b o 不妨设A a 0 B 口 o 则 愚3 尼胪 焉b s i n 0 一 担c o S 拶一 二 k 1 忌2 尼A P 愚印 一幽翌旦上垒曼i 翌旦 a C O s0 口 a c o s 目一n b c o s0 口s i n 0 2 b e o s0 2 一面a S l I 1 甘 即k 1 k 2 2 k 3 i i 当A B 不为椭圆长轴时 设直线 A B 的方程为 z m y 口c o s0 8 解 7 8 得点M c 而 a s i n Z 鲁 所以 k 3 一点雕 a s i n z0 6 s i n0 m C O S0 1 1 j L n c o s0 C O S0 土一丝业 i r n a s i a 0 将 8 代人椭圆方程整理得 n 2 m 2 b 2 y 2 2 口仇炉c o 的 Y 一以2 b 2 s i n z0 0 因为肌 如是此方程的两个根 由根与系数 关系得 一 2 m a b 2 C O S 0 Y A Y B 2 一了千磊可 n 2 b 2s i i 1 20 Y A Y B 2 一 a Z m 2 b 2 又因为点A 在直线z 一矾y a c o s0 上 所以 X A 2 m 蛳 a c o s0 铲 鬻 揣 一出二垒墅里旦一上 幽 m y a m m y A 同理愚z 磊1 一笔警 所以 忌 志 景一忌z 1b s i n0b s i n0 一 一 m m y A m y B 一呈一垒塑翌丛出 塑2 一 m m y a Y 日 2b s i n02 a r a b 2 C O S0 2 一m 一 F 1 a 瓦 再万m 纩S l mB s i n0 综上可得k 1 k z 2 k 3 综合 H 知 k 1 志2 2 k 3 篓可 班 行一m m 2 一m 一 万方数据 第3 3 卷第1 期2 0 1 4 年1 月 数学教学研究 6 5 同理可证双曲线有如下结论 2 2 性质6 已知点P 是双盐线c 素一告 一1 盘 o 6 o 异于顶点的一点 且点P 在 z 轴上的射影是点F 点F 和直线Z 是双曲 线的一对极点和极线 过点F 的直线交双曲 线于A B 两点交直线z 于M 点 记P A P B 尸M 的斜率分别为惫 走2 k 3 则壶1 忌2 2 k 3 欲穷千里目 更上一层楼 圆锥曲线的极点 与极线给我们研究圆锥曲线的性质搭建了一个 很好的平台 它可以让我们站在一个更高的高 度来审视问题 使我们的视野更加开阔 目光看 得更远 研究更深入更全面 结果更趋完美 圆 锥曲线的极点与极线让我们对圆锥曲线有关问 题的研究走得更远 参考文献 1 邹生书 圆锥曲线极点与极线的一组性质 J 中学数学教学 2 0 1 0 4 2 3 邹生书 用圆锥曲线极点与极线的性质解题 J 河北理科教学研究 2 0 t l 1 3 邹生书 对2 0 1 2 年高考福建卷理科解析几何 题的研究 J 教学教学 2 0 1 3 1 收稿日期 2 0 1 3 0 8 1 5 上接第5 7 页 M 2 2 詈 2 鲁 4 即M 2 当口 6 f 1 时取等号 i i 当f 1 时 O 三 幻 9 当且仅当z 1 9 z 2 1 z 2 2 3 z 4 2 5 9 且X 3 3 2 4 9 即有3 5 3 9 时取 再由z d 1 知3 C 3 2 4 9 故有X 3 3 2 4 9 从而z 4 1 3 C 5 9 即z 1 z z 工3 z 4 z 5 依次 为9 1 9 1 9 n n 3 元函数值域与最值问题近来频 繁出现 解答方法和想法也是日新月异 没有 什么固定的套路 对学生确实要求较高的分 析问题和解决问题的能力 对这类问题的研 究 有助于提高学生的思维能力和创新能力 多元函数值域与最值问题的求解方法和 策