数学分析与高等代数考研真题详解--苏大卷.pdf

博士家园考研丛书 2010 版 全国重点名校数学专业考研真题及解答 数学分析与高等代数 考研真题详解 苏州大学数学专卷 苏州大学数学专卷 博士家园 编著 博士家园 编著 博士家园系列内部资料 博 士 家 园 数 学 专 业 考 研 丛 书 编委会 这是一本很多数学考研人期待已久的参考书 对于任何一个想通过考取重点院校的研究 生来进一步深造的同学来说 历年的各个院校的真题的重要性是显而易见的 为了帮助广大 同学节约时间进行复习 为了使辅导教师手头有更加详尽的辅导材料 我们从 2004 年开始 大量收集数学专业的考研真题 其中数学分析和高等代数两门专业基础课最为重要 有些试 题还很难收集或者购买 我们通过全新的写作模式 通过博士家园 这个互联网平台 征集到了最新最全面的专业试题 更为令人兴奋和鼓舞的是 有很多的高 校教师 硕博研究生报名参与本丛书的编写工作 他们在工作学习的过程中挤时间 编写审 稿严肃认真 不辞辛苦 这使我们看到了中国数学的推广和科研的进步 离不开这些默默无 闻的广大数学工作者 我们向他们表示最崇高的敬意 国际数学大师陈省身先生提出 要把中国建成 21 世纪的数学大国 每年有上万名数 学专业的学生为了更好的深造而努力考研 但是过程是艰难的 我们为了给广大师生提供更 多更新的信息与资源建立了专业网站 博士家园网站 本站力图成为综合性全国数学信息 交换的门户网站 旨在为科研人员和数学教师服务 提供与数学研究和数学教学有关的一切 有价值的信息和国内外优秀数学资源检索 经过几年的不懈努力 成为国内领先 国际一流 的数学科学信息交流中心之一 由于一般的院校可能提供一些往年试题 但是往往陈旧或者 没有编配解答 很多同学感到复习时没有参照标准 所以本丛书挑选了重点名校数学专业的 试题 由众多编委共同编辑整理成书 在此感谢每一位提供试题的老师 同时感谢各个院校 的教师参与解答 以后我们会继续更新丛书 编入更新的试题及解答 希望您继续关注我们 的丛书系列 也欢迎您到博士家园数学专业网站参加学术讨论 了解考研考博 下载最新试 题 博士家园主页网址 博士数学论坛网址 数学资源库 欢迎投稿 发布试题 对于本书疏漏之处欢迎来信交流 以促改正 www boss www boss 博士家园 二零一零年二月 2 博士家园系列内部资料 数学分析与高等代数考研真题详解数学分析与高等代数考研真题详解 苏州大学考研数学专卷苏州大学考研数学专卷 目录目录 苏州大学考研数学专卷 2 2000 年招收硕士研究生入学考试 高等代数 试题及解答 2001 年招收硕士研究生入学考试 数学分析 试题及解答 2001 年招收硕士研究生入学考试 高等代数 试题及解答 2002 年招收硕士研究生入学考试 高等代数 试题 2002 年招收硕士研究生入学考试 数学分析 试题及解答 2003 年招收硕士研究生入学考试 数学分析 试题 A B 卷 及简单解答 2004 年招收硕士研究生入学考试 数学分析 试题及解答 2004 年招收硕士研究生入学考试 高等代数 试题及解答 2005 年招收硕士研究生入学考试 高等代数 试题 B 卷 2005 年招收硕士研究生入学考试 数学分析 试题及解答 2006 年招收硕士研究生入学考试 高等代数 试题 2006 年招收硕士研究生入学考试 数学分析 试题 2007 年招收硕士研究生入学考试 高等代数 试题及解答 2010 年招收硕士研究生入学考试 高等代数 回忆版 苏州大学考研数学专卷 苏州大学 2000 研究生入学考试 高等代数 1 14 分 设 f x g x h x 都是数域 P 上的一元多项式 并且满足 4 1 1 2 0 xf xxg xxh x xf xxg xxh x 1 4 1 1 2 0 2 证明 能整除 4 1x g x 证明 1 2 1 2 4 0 2 g xh xh xg x 3 将 3 带入 1 中 得到 4 1 1 2 xf xxg x 2 博士家园系列内部资料 44 1 xxxg 1与 互素 x 2 14 分 设 A 是 n r 的矩阵 并且秩 A r B C 是 r m 矩阵 并且 AB AC 证 明 B C 证明 0ABACA BC An rR ArA 是的矩阵 是列满秩的矩阵 即方程0AX 只有零解 0 BCBC 即 3 15 分 求矩阵的最大的特征值 321 222 361 A 0 并且求 A 的属于 0 的特征子空 间的一组基 解 2 24EA 0 2 当 0 2 时 求出线性无关的特征向量为 12 101012 L 构成 的特征子空间 则 120 12 是 0 的特征子空间的一组基 14 分 设 2 3 1是3 3矩阵 的特征值 计算行列式611 n AAE 3 解 2 3 1是3 3矩阵 的特征值 不妨设 123 2 3 1 则矩阵611 n AAE 3 对应的特征值为 123 15 20 16 故61115 20 164800 n AAE 3 14 分 设 A B 都是实数域 R 上的n n 矩阵 证明 AB BA 的特征多项式相等 证明 要证明 AB BA 的特征多项式相等 只需证明 EAEB 利用构造法 设0 令 1 EB H AE 1 1 0 1 0 EB EEB AE AEEAB 两边取行列式得 11 nHEABEA B 3 博士家园系列内部资料 11 0 0 E 1 EBEBA AE B AEE 两边取行列式得 11 nHEBAEB A 由 两式得 1 nEAB 1 nEBA EABEBA 上述等式是假设了0 但是 式两边均为 的 n 次多项式 有无穷多个值使它们成 立 0 从而一定是恒等式 注 此题可扩展为 是矩阵 是nm n m 矩阵 的特征多项式有如下关系 nm m EABEBA n 这个等式也称为薛尔佛斯特 Sylvester 公式 14 分 设 A 是实对称矩阵 证明 n n 2 57 n AAE 是一个正定矩阵 证明 A 是实对称矩阵 则 的特征值均为实数 设 为 的任意特征值 则 2 57 n AAE 的特征值为 22 53 57 24 0 故 2 57 n AAE 是一个正定矩阵 15 分 设 A 是数域 P 上的 n 维线性空间 V 的一个线性变换 设 1 n VA 使0 但是 n A 0 其中n 1 证明 2 n AAA 1 是 的一组基 并且求线性变换 在 此基下的矩阵 以及 的核的维数 证明 令 1nn AA 0 0 1 011 0 n n llAlA 0 用左乘 式两边 得到 1n A 1 0 n lA 由于 1n A 0 0 0l 带入 得 1 11 0 n n lAlA 再用左乘 式两端 可得 2n A 1 0l 这样继续下去 可得到 011 0 n lll 2 n AAA 1 线性无关 4 博士家园系列内部资料 21 n AAAA 21 n AAA 0000 1000 0100 0010 在此基下的矩阵为 0000 1000 0100 0010 可见 1R An dimker 1 1Ann 即 A 的核的维数为 1 苏州大学苏州大学 2001 年数学分析试题及解答年数学分析试题及解答 1 15 1lim 2 lim lim lim 2 x x xx f xa f xf xa f xaf x f xf xA A MxMf xA x xMxxf xf x 设在上连续 若存在且有极限 证明 在上一致连续 若在上一致连续 存在吗 回答并说明理由 证明 1 由于存在且有极限 设有限 所以存在当时 有 且则 22 lim lim xx f xAf xA f xMf x f xa a f xx 从而在上一致连续 由在 a M 上一致连续 所以在上一致连续 2 不一定 例如 f x x 显然f x 在上一致连续 但不存在 5 博士家园系列内部资料 000 00 00 2 10 0 0 0 fa bfa ba b xa bf xx a b fa ba bfa b f aa f bb F af aaF bf bb xa bx f xx 设 是上的连续函数 且 证明 存在使得 证明 令F x f x x F x 在上连续 由于且 在上连续 则 因此 从而由连续函数的介值定理知 存在使得F 即 1 11 1 111 1 3 15 1 1 1111 1 1 1 11ln x n xaax nn x n xxx nnn S x n ab a nnnn n n nnn 证明函数在 内无穷可微 证明 且a n 1 k a b 有 令 而收敛x a b 因此 收敛 从而在 a b 上一致收敛 由a b的任意性知 在 内连续可微 k 0 S x a b 有 1 1 ln 1 1 1 k a k k x n n a n n x n k 用上所证 S在 上一致收敛 从而S x 在 内无穷可微 6 博士家园系列内部资料 222 222 4 10 0 2 2222 0 S V S Ix dydzy dzdxz dxdyS zh h zh S x dydzy dzdxz dxdyxyzdxdydzxyzdxdydz rh 1 222 1 1 S 求曲面积分其中 为锥面zxy 在 部分的下侧 22 xy 解 令S且方向向上 取向上为正 则令S 他方向向外并且封闭 由高斯公式得 x rc 令 y rsin 2 224 000 22224 22222244 02 22sincos 2 22 hr S xyzdxdydzddrrrzrdzh x dydzy dzdxz dxdyh dxdyh 4 Ix dydzy dzdxz dxdyx dydzy dzdxz dxdyhhh 1 11 1 S SS S os 2 1 1 0 1 2 0 2 1 2 1 2 2 1 1 5 15 01 2 2 3 4 2cos 14 cos 3 0 0 1 14 1cos 3 1 6 n n n n n n f x dx an xdx n f xn x n xf n x n n 2 2 0 2 在 上把f x x 1 展成余弦级数并且求 解 把进行周期延拓 偶延拓 a x 1 x 1 从而 令则 7 博士家园系列内部资料 2 11 2 11 1 1 6 10 11 2 11 12 11 x x y y f x yRdxf x y dy x xyx y yxy f x y dx 2 1 设是上的连续函数 试交换累次积分的积分次序 解 从而 从而交换后的累次积分为dy 3 2 5 2 1 5 1 0 5 0 5 3 2 1123 y g x y f x g x x 1 f x x2 1 8 博士家园系列内部资料 3 7 15 1 2 1 00 0 21 3 2 0 333 f xxbxc bc f x f xf x b f xbb f xb b f x bbb fc fbc f 00 2 22 0 设和 为参数 求出有极值的充要条件 根据与的草图 求出有三个相异零点的充要条件 解 1 f x 3x 要有极值 则f x3x3x 即有极值的充要条件为 由 知道有极值 且极值点为 4 333 6 0 0 3333 0 0 33 24 00 3333 42 0 3333 b bc bbbb fxx ff bb f xff bb bcbc bb bcbb 0 m minf x x 证明 1f x dx 证明 由希瓦兹不等式知 即 f x dx 下证f x dx 由 11 00 1111 0000 11 00 00 0 2 1 4 f xmf xM f xm Mf x F xF x f x mM f x mM dx f x mMmM dxdxdxdx f xf x mMdxdx f x dx f x 2 于 构造 展开有 M m f x 两边积分 M m dxf x 即有 M m f x f x 从而 M m f x 即有f x dx 2 4 mM mM 11 00 苏州大学苏州大学 2001 年硕士研究生入学考试年硕士研究生入学考试 高等代数 试题 高等代数 试题 1 15 分 设A 11111 01111 00111 00011 00001 10 博士家园系列内部资料 1231 01221 00132 00012 00001 nn nn nn B 都是n n 矩阵 解矩阵方程AXB 2 20 分 设 143 253 442 A A是否相似于对角矩阵 如果相似于对角矩阵 求可逆矩阵C 使得是一个对角矩阵 1 C AC 3 10 分 设都是非负整数 设 k m r s 23 1f xxxx 441424 kmrs g xxxxx 3 证明 f x整除 g x 4 10 分 设A B都是矩阵 G是n n n m 矩阵 并且G的秩是 证明 如果 则 n AGBG AB 5 10 分 设A是n矩阵 并且n A是可逆的 证明 如果A与的所有的元素都 是整数 则 1 A A的行列式是 1或1 6 10 分 设A是n反对称矩阵 证明 n 2 A 是半正定的 7 15 分 设A是矩阵 如果n n 2 n AE 并且 n AE 的秩是 rA是否相似于 一个对角矩阵 如果是 求这个对角矩阵 8 10 分 设V是有理数域上的线性空间 V的维数是 nA与B是V的线性变 换 其中B可对角化 并且ABBAA 证明 存在正整数 使得是零变换 m m A 苏州大学 2001 年硕士研究生入学考试 苏州大学 2001 年硕士研究生入学考试 高等代数 试题解答 11 博士家园系列内部资料 1 解解 根据初等变换 可知 1 11000 01100 00100 00011 00001 A 则 1 110001231 0110001221 0010000132 0001100012 0000100001 nn nn nn XA B 11111 01111 00111 00011 00001 A 2 解解 143 25313 44 EA 2 故A相似于对角矩阵 1 3 2 当 1 1 时 得到的特征向量为 1 0 3 4 当 2 3 时 得到的特征向量为 2 1 1 0 当 3 2 时 得到的特征向量为 3 5 1 1 3 令 123 011 311 5 40 3 C 12 博士家园系列内部资料 则 1 1 3 2 C AC 3 证明证明 显然 f x是三次多项式 且 f x的根也是 4 1x 的根 不妨设 f x的三个根分别为 123 则 444 123 1 将 123 带入中 得到 441424 kmrs g xxxxx 3 1 kmrs iiiiiiii g 441424323 1 2 3i 可见 f x的根也是 g x的根 故 fx g x 4 证明 证明 0 AGBGAB G G 是的矩阵 n m R Gn 可见nm G 是行满秩的矩阵 即方程0XG 只有零解 0 AB 即AB 5 证明证明 1 AAE 11 1AAA AE 1 A A 的所有元素都是整数 1 AA 都是整数 A 的行列式只能为或 1 1 6 证明证明 A是阶反对称矩阵 则nA的特征值 i 为 0 或纯虚数 1 2 in 事实上 A是反对称矩阵 是它的一个特征值 又是相应的特征向量 那么Axx AAAaA 另一方面 A 由 得 设abi 由 得 0a bi 即 为 或纯虚数 2 A 的特征值 2 ii 显然 1 2 in 2 0 i 故是半正定的 2 A 解 解 利用 Jordon 矩阵 2 AE A 的特征值必为 不妨设A相似于一个 Jordon 矩阵 则J 1 APJP 13 博士家园系列内部资料 A 11 11 AEPJPEP JE P AEPJPEP JE P 22 0AEAEAEP JE P 1 2 JE A可对角化 1 1 1 1 1Adiag 其中有个 rnr 个 证明证明 B 可对角化 B 有个线性无关的特征向量 n 不妨设B的任一特征值为 对应线性无关的特征向量为x ABBAA ABBA xAx Bxx 带入 得到 1BAxAx 可见是AxB的特征向量 同理可知 2 n x Ax A xA x 都是B的特征向量 与B有个线性无关的特征向量矛盾 n 故存在正整数 使得 其中m0 m A mn 苏州大学 2002 高等代数 1 15 分 解矩阵方程 111790123 011450456 001003789 X 2 15 分 设 222 254 245 A A是否相似与对角矩阵 如果相似于对角矩阵 求可 逆矩阵C 使得是一个对角矩阵 1 C AC 3 10 分 设 p x q x都是有理数域Q上不可约的多项式 证明 如果与的 最大公因式不是一个非零常数 则存在一个非零常数 使得 p x q x c p xcq x 4 17 分 设A是数域上的n矩阵 Pn 3n 并且A的秩是2n 设 W B是 上的矩阵 P 2n 0AB 1 证明 W关于矩阵通常的加与数量乘积是上的一个线性空间 P 2 求W的维数 5 18 分 设A是复数域上秩为r的Cm n 矩阵 求矩阵方程AXAA 的一般解 6 15 分 设V是一个n维欧氏空间 2 37 g xxxA 是V的一个对称变换 证明 14 博士家园系列内部资料 对于 V 的任意非零向量 都有 g A 大于 0 7 10 分 设 1 0 0 1 1 n i ii n i VR xa x aR in 是实数域R上的 维线性空间 设 n A是V的线性变换 使得对于任意 g xV A g xg xgx 其中 是的维商 gx g x 1 试求A在基 21 1 2 1 n xx x n 下的矩阵 2 在V中共有多少个A不变子空间 并且证明你的结论 苏 州 大 学 2002 年攻读硕士学位研究生入学考试试题及解答 考试科目 数学分析 1 12 分 计算 a 222 2 1 lim12 1 n nnnn n 2 11 1 2222 2 0 11 2 222 000 11 limlim1 1 1cos2 cossincos 24 nn nn kk k nkx dx nnn x xdxxdxdx 解 原式 b 2 2 cos lim cos2 x n x x 22 0 2cos2cos lnlimln cos2cos2 0 222 000 222 000 0 lim 2cos2cos2 coscos2 limlnlimln 11 lim cos2cos2cos2 2232 lim coscos2 lim 2sinsin lim23 2222 lim x xx xx xx x xxx xxx x ee 3 xxx xxxxxx xxx x xx xxx 解 原式 考虑 从而 x 2 2 3 cos cos2 x x e x 15 博士家园系列内部资料 2 10 分 设是方程组 000 xy z 22 1 zxy xyz 的解 证明 222 000 95 395 3xyz 000 22222 22 22 22 000 11 000 1 220 220 20 0 10 1313 23 22 13 2 x y z u zxy zxy xyz xyzxyz F x y z uxyzu xyzxyz Fxux Fyuy Fzu Fxyz Fxyz yz 证明 由于 是的解 从而 令 令 解得x 或x 222 000 13 23 2 95 395 3 yz xyz 所以 3 10 分 设 222 xvw yuw zuv f x y zF u v w 证明 xyzuvw xfyfzfuFvFwF 16 博士家园系列内部资料 222 0 22 0 22 0 22 22 22 uxyzyz vxyzxz wxy xvw yuw zuv xxwxv uvxwx ywyyu uyvwy zvzuz uzvzw xyzwv Ffffff uuuyz xyzwu Ffffff vvvxz xy Ffff ww 证明 由 则 所以 222 22 222222 zxy uvwyzxzxy yzx uvxyz zvu ff wxy wvwuvu FvFwFuffvffwff yzxzxy uwuvwv fff yzx xvw yuw zuv FvFwFxfyfzf 从而u 由 从而u 4 12 分 设其中 1 1 2 nnn ypxqxn pq 设收敛 不妨设 当时 有 即 又 所以 即 p 1 11212 12 12 112 1 0 1 1 1 max n N n n n N n n q pp pqn qq p q xLMMMM q MxL M qpp q NN N nNxLMM x N 时 其中 取 当时 有 即收敛 5 14 分 设函数f义在 a上有定义 并且在每一个有限区间 内有界 a b a证 明 如 果 lim1 x f xf x 证 明 lim x f x x b 举出反例说明当 lim1 x f xf x 时 未必 成立 lim x f x x 6 12 分 设 f x是以 T 为周期的周期函数 且 0 1 T f x dxC T 18 博士家园系列内部资料 证明 2 lim nn f x ndxC x 7 15 分 设函数 f x在整个实数轴有连续的三阶导函数 证明 存在实数 使a 0f afafafa 8 15 分 设半径为 的球面 S 的球心在半径为常数a的定球面上 试证明 当 r 4 3 r a时 S 位于定球面内部部分的面积最大 见苏州大学数学分析 2004 年第 7 题 苏州大学苏州大学 2003 年数学分析解答年数学分析解答 A 卷卷 2 4 0 2 1 1 1 24 sin arctan 1 lim 1 2 2 1 1 x n n k k n k k xxx x f xxx f x n f x n 1 求 方法 泰勒公式展开 答案 设在有限开区间 a b 上连续 x 证明存在 a b 使得f 方法 取m为f x 最小值 M为最大值 mf x MmM 用介值定理 19 博士家园系列内部资料 2 2 2 2 1 2 18 1 0 1 2 11 1 1 0 1 1 0 1 k kk n f x nn fk xf x nx xx x f k 设是 上无穷可微函数 f 求 解 令 通过在 处的泰勒展开 把 用 替换 结果 3 222 2 1 222 2 3 222 2 3 18 4 3 S S xdydzydzdxzdxdy ISS xyz xdydzydzdxzdxdy dxyz xyz S S 若 为简单封闭曲面 分别计算曲面积分 当原点在 之内和在 之外的值 其中 取外侧 解 由于 从而若原点在 之外 则I 0 若原点在 之内 则取单位球体 使原点落于球体内部 设球体体积V 则有I V 0I V S 2 2 0 0 0 coscos 4 15 0 coscos coscossin sin sin b a b a axbx dx ba x axbx axbxxy dxdxdy xx xy dx x xy Idydx x 0 b b a a 0 试用积分号下积分法和积分号下微分法求I 解 由于xsinxydy cosxy 替换 化为二重积分 一致收敛 交换积分顺序 I 由于 20 博士家园系列内部资料 0 1 1 0 2222 5 18 lim0 1 1 1 2 1 lim lim0 0 0 0 0 11111111 0 0 0 0 22 11 0 2 x n n n n n x f x f x x f n a fa an f x ff x ffffofo nnnnnn nff n n 设二次连续可微 且证明 绝对收敛 若数列 a满足则存在 证明 1 由 当时 2 2 11 132 121 1 1 1 1 1 111 0 2 111 21 1 1 1 1 21 11 1 1 1 1 21 1 lnlnln 1 1 1 1 ln 1 nn nn nn n n n i n i n ff nn aaaa ffff anaaan a fff an aaf i f i nf i 收敛绝对收敛 累乘得 两边取对数 由 知道 时 1 11 ln 1 lnlim n i A nn n ff ii aAae 绝对收敛 极限存在 设为 1 0101 1 00 18 1 0 0 10010 1 01001 1 n n n nn An nAEA An nP EAPPP E 00 1 1 0 0 设 为实对称 证明 若 为 的最小特征值 则 是正定阵 证明 为实对称存在正交P A P P 0 n A 的特征值都大于 所以正定 6 21 博士家园系列内部资料 52 7 21 36 PV WVV 设 为数域 V为P上n维线性空间 为 的一个线性变换 令 证明 若则 为 的核与W的直核 证明 常规证法 1212 12 1 12 8 18 01 01 0 0 01 0 0 1 nn n nii i nij f xfxfxf xfxfx C CCC f x f xfxfxf x fx dx x 1 0 设 为 上的连续函数 称 在 上线性相关 若存在不全为 的常数 使 证明 在 上线性相关det 证明 常规证法 一步步写出来 可能有点烦 苏州大学苏州大学 2003 年数学分析年数学分析 高等代数 高等代数 B 卷 卷 0 00 1 24 11 1 lim 1 1 2 2 x x xe fa bfa ba ba b f xx F xf xx 0 求 解 原式 设 为上的连续函数 且证明 存在x 使 证明 令 1 1 2 15 1 1 n n n a an a 设为正数数列 证明n 的上极限 大于等于 22 博士家园系列内部资料 2 3 18 1 1 22 11 1 1 n n n x n nn n n x n nx xe x x 讨论级数的收敛性与一致收敛性 证明 当一致收敛 发散 222 222 18 1 0 0 0 0 0 0 0 22 xyz L abc xzac xyzLb ac L 4 求曲线积分 ydx zdy xdz 其中 为曲线 方向从 到 2 1 5 18 0 62 1 0 1 2 1 1 1 122 1 x dx x ne x Idx x e n I n n 已知求 解 令 1 6 18 0 00 00 0 0 r n r An nAn n E Q BQ E Bnr AB 设 为矩阵且 的秩为r r n 证明 存在一个秩为n r的矩阵B 使AB 0 证明 存在可逆的矩阵P Q使A P 令 秩 23 博士家园系列内部资料 7 12 0 0 0 0 0 r r r r PV X 00 0 0000 设 为一个数域 为P上n维线性空间 为V的一个线性变换 r为正整数 证明 若 的核不为 则 为 的一个特征值 其中E为V的一个 恒等变换 证明 有非零解 为 的一个特征值 1 1 8 18 0 0 0 0 0 n i n n A Bn n Ax x xP AP Bx x R P AP 设为两个的实对称矩阵 B正定 证明G x 在的最大特征值与最小特征值之间 其中P 为某个可逆阵 表示中的内积 证明 B正定存在可逆阵P使P BP E P AP仍为实对称矩阵存在正交阵Q 使Q P APQ 是的特征值 令PQ T T AT T 1 2 1 2 1 0 0 n ii nx Ty n i m yy y Ax xx Axy T ATy Bx xx Bxy T BTyy Ey y M BT E G x G x 1 20 24 博士家园系列内部资料 22 4 0 22 2 43 00 2 2 2 3225 00 22 225 00 arctan 1lim arcsin 1 22 arctan arctan 1 limlim 4 1 262 2 1 2 arctan 1 limlim 4 1 1220 26 1 28 limlim 1 1220 x xx xx xx xx x xx xx x xx x xxx x xxxx xxx xxx 求极限 解 原式 24 223 2 23 0 6 1 1220 8682 lim 1 1220 123 x x xxx x xx 1 1 12 2 1 01 lim 1 0 10 1 10 01 01 1 210 01 01 01 nn n nn nn nxxx f xxxx ffnx f x fxnxnxxx f x nn 证明对任意自然数 方程 在区间 上总有 唯一实根x 并求x 证明 令 则 因此在 上有零点 又 所以在 上单调 从而f x 在 上存在唯一的零点 1 1 1 01 1 1 lim1lim 12 nn nn nnn n nn n xxx xxx x n x n n 也即方程 在区间 上总有 唯一实根x 因此 两边令则有x 2 20 25 博士家园系列内部资料 12 12 12 12 1 1 sin00 1 1111 limsin1limsin0 2 2 2 1 sin0 111 0 24 2 2 111 444 1 sin nn a x a xx nxx n x xx n n xxN nnn x 0 证明函数在区间 上不一致连续 但是对于任意 在 上一致连续 证明 法一 取则 从而在区间 上不一致连续 法二 取 则取 取 2 12 1212 2 121212 2 12 1 sin1 1 sin0 0 0 111111 sinsin 11 sinsin 1 sin x x a xx xxxx xxxxx xa a xx a x 2 证明不等式 证明 由于x均大于0 不等式变为tanxsinx x 即要证明 令 222 2222 22 2 sin 2cos2sincos2cos4 sin sin 0 2 2cos2sincos2cos4sin 22coscoscos xx xxxxxxx xx x fxxxxxxx xxxxx 2 由于x 事实上 令g x x sinx g x 1 cosx 0 g x 单调递增 g 0 0 从而g x 0 即x sinx 因此4xsinx 4sin 即 0 0 0 0 0 0 0 fxffx f xff x 从而单调递增 从而单调递增 即证所要结论 27 博士家园系列内部资料 1 1 1 1 1 1 4 20 1 1 0 1 111 2 lnln 2 3 2ln23ln3ln 1 n n n n n n nk n k k f x f x dxLf an n nn a af x dx af x dxf x dx n k 1 n k 1 nn k 1k 1 设在 上非负递减 证明n 时 f k 有极限L 且 设 证明数列收敛 证明 令f k 则f k f k 1 1 2 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 2 ln n n nn n n nn n k kkf n a aaf nf x dxf nf f xf nf a afanLf xx af k nn 1 k 1k 1 1 f k f k 所以有下界 又其中 n n 1 由于在 上非负递减 所以 从而 单调递减 因此收敛且a两边令有 令f x 0 1 1 10 1 1 11 10 1 1 1 1 1 11 00 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln 1 11 0 1 ln 1 1 1 1 nn nn k n n k n n k f x dxf kf xdx f kf xdxf xdx f kf xdx f xdxdx xx xxxx xx 有 知道收敛 又令g x 可以知道 是g x 的瑕点 x0时 而 1 0 1 1 ln 1 n dxdx xx a 1 0 收敛 所以收敛 因此收敛 28 博士家园系列内部资料 2 2 2 22 2 2 2 2 5 20 2 arctan 1sin cos 1 sin 2 cos u x u x y y x uuxuyuu yxrxrr y x uuu xxrr 2 2 设u x y 在平面上二次连续可微 x rcos y rsin r0 1 用u关于r 的偏导数表示 用u关于r 的一 二阶偏导数表示 解 1 r x x 22 2 22 22 22222 2 222 sin cos 11sin cos sin sincossinsinsincos cos22 uu r rxrxr uuruur rxrxrxrx uuuu rrrrrrrx 2 u x 2 2 21 22 3 6 15 0 1 1 1 11 1 1 11 n n nn n n a a f xn xf x f xf x n xg xg xnx xx g xx h xh xx xx x h xg x xx xxx g xf x xx n 1 n 1 n 1n 1 n 1 设求级数的和 解 设的收敛区间为 1 1 令则 令则 则 从而 3 2 3 3 11 1 1 1 11 1 1 1 1 1 n na aa f aaa a 2 a n 1 29 博士家园系列内部资料 2 2 2 22 2 4 4 2 2 r r r OF AB AD OBOF ABAD OBa r BDABAD a r DEr a S 2 2 7 20 设半径为r的球面s的球心在半径为常数a的定球面上 问 r为何值时 s位于定球面内部部分面积最大 解 设s位于定球面内部部分面积为S S为一球冠 则S 2 rh 其中h为球冠的高 如图 ED h BE r AB r 作OFAB 则OF a a 所以 因此2 rh 2 r 2 23 2 44 33 2 2 34 40 3 6 4 40 4 3 rara r rrr aa Srrra a Sr a raS 令 所以当时 最大 10 8 6 4 2 2 4 r 10 5510 a D F A O B E 30 博士家园系列内部资料 4 224 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 E B O D A 31 博士家园系列内部资料 110 10 1 1 l lim lim x xx g x fxf x AAA g xg x xxCauchyxx f A xx g xg xg f xg xg g xg x im 0 1 x 令 则由 g x 知道 使有 于是 f x f x 所以 32 博士家园系列内部资料 1 1 1 1 15 101 12101 021 35010 102 1252 3531 201 101 111 021 222 102 101 101 1210152101 021 3501031010 102 X X X 一 求满足下列条件的 解 1 101 021 102 411 511 222 15 12 12i 12 二 设P是一个数域 p x 是P x 中次数大于0的多项式 证明 如果对于任何多项式f x g x 由p x f x g x 可以推出p x f x 或 p x g x 那么p x 是不可约多项式 证明 假设p x 是可约多项式 则存在p x p x 使得p x p x p x 且 p x 六设为两个 阶方阵其中 齐次线性方程组AX 0与BX 0同解 证明 A 的非零列与B 的非零列的非零 列成比例 其中A B 分别是A B的伴随矩阵 证明 since AB 的列向量是AX 0的解 的列向量是BX 0的解 For AX 0与BX 0同解 设 是A 的非零列 是B 的非零列 k 0 0 1 V VV andV 七 15 设 是n维欧式空间V的线性变换 对任意都有 证明的核等于 的值域的正交补 证明 ker so 0 ker 0 0 0 2 1 2 V AccordingandWeCanSee V ker ker ker 37 博士家园系列内部资料 12 1122 11111 11 2 15 1 1 0 0 0 1 0 0 0 2 MPnnf x g xP xf x g x Af MBg M W W WABXAXBX c WW Af MABf M g Mg M f M WWW WW W because 12 八设是数域 上的 阶方阵且 分别是方程组的解 空间 证明 证明 同样 WW 1 1 0 0 0 0 0 0 3 sin dim dim 0 dim f x g xsou x v xP x u x f xv x g xu M f Mv M g ME ABf Mg M u M f Mv M g ME ceW soW Also 12 12 12 12 121 WW WW WW WW WWW dim dim dim dim dim 1 dim dim dim dim dim dim W Still r Ar Bnr AB nnnnW W 212 12 12 12 WWW WW WW WW 2 1 2 dim dim dim 0 0 Fromand W 12 12 12 WW also WW WW 38 博士家园系列内部资料 1 10 1 2 n V n in 2 iii i iiii 九设 是数域P 上的n维线性空间 是V的线性变换 有n个互异 的特征值 证明 与 可交换的充分必要条件是 是E 的 线性组合 其中E是恒等变换 证明 因为 设 是 的 个互异的特征值 是属于 的特征向量 则也是 的特征向量 事实上 对于每个有 22 2 1 1 2 1 2 iii nn VVin uVuuin ii iiii ii i i 1 2 11 n 1 从而由于 互异 所以dim 故也是 的特征向量 从而使 于是有 2 1 1 1 1 12 12 12 1 nn n n n u u u n n n xxxu xxxu xxxu 1 2 1 n 考虑方程组 111 222 nnn 由于系数行列式 i 1 1 2 1 1 12 1 12 1 12 1 0 1 1 2 n n iji ij n n n n nii n inii aauin aau aa 1 方阵 A 中的所有元素均为 1 B 中除元素为 1 外 其余的元素均为零 问 A B 是否等价 是否合同 是否相似 为什么 11 b 2 20 分 设 A 设 102 1035 401 0 是 A 的最大的特征值 求 A 的属于 0 的特征子空 间的基 3 20 分 设 f x是一个整系数多项式 证明 如果存在一个偶数 m 和一个奇数 n 使得 f m和 f n都是奇数 则 f x没有整数根 4 20分 设A是一个矩阵 证明 如果对于任意的22nn 2n 2 矩阵B 矩阵方程AXB 都有解 则 A 是可逆的 5 20 分 证明实系数线性方程组AXB 有解的充要条件是用它的常数项依次构成的列 向量 与所对应的齐次线性方程组0AX 的解空间正交 6 20 分 设 A B 是实对称矩阵 且 A B E E 为单位矩阵 证明下列结论等价 1 AB 0 0 为零矩阵 n n 2 秩 A 秩 B n 7 20 分 设 V 是复数域上的 n 维线性空间 是 V 上的两个可对角化的线性变换 且 证明 1 如果 是 的特征值 那么V 是 的不变子空间 2 存在一组基使得 在这组基下的矩阵都是对角矩阵 8 10 分 设 A B C 分别是矩阵 mm nn mn mn 且 AC CB C 的秩为 r 证明 A 和 B 至少有 r 个相同的特征值 m m n n m n mn 苏州大学苏州大学 2005 年数学分析解答年数学分析解答 40 博士家园系列内部资料 1 20 1 lim 0 2 limlim2 lim 11 2 lim 0 0 nnn n nnnnnnn nnnn nn nnn n xa abab babb bbb abb fafa f xf axa fa xa fafa x R 000 设是 上的周期函数 满足 证明 1 f x 在R上可以取到最大值 最小值 2 max 证明 1 由知 取x当时 有xx 取 0 2 22 00 0 2 0 2 2 1 0 0 2 0 2 f xf L f xf x f xR f x f x dxff x dx f x M0 0M0M0M0M0M M0 0MM0M00MM0 从而由 a max b 当xx 时 由f x 的周期性 得 2 f xxf xxf xxxxxx 当x x 时 由f x 的周期性 得 2 f xxf xxf xxxxxx cf xL x R b 知道max 4 160 1 cossin 1 sincos 11 cos sincos sin cossin uu xy yx uuu xrr uuu yrr uuuuuu xyrr yxrrrr 将方程变为以极坐标r 为自变量的形式 其中极坐标 变换为x rcos y rsin r0 解 因此 0 0 u 所以方程化简为 42 博士家园系列内部资料 1 1 1 11 5 20 11 2 lim 1 1lim 0 lim1 1 12 011 n n n x n n nn n nn nnn nnn n n n n aL a x x f xL a aLL a aLaLaaa aaaA La x a x n n 1 n 1n 1 n 0n 1 在 上有定义 若L 0 则 当时 当 所以L 0时f x 在 上有定义 2 f x xf x 11 11 1 1 1111111 1 m lim lim nn nn x n nnnnn n x a xaxa x a xaaxaaaaaaL n 1n 1 n 1n 1 43 博士家园系列内部资料 22222 22 2 2 3 6 20 0 22 220 222 1 202 0 20 2 48 2 2 33 3 2 zxyxyzaa a zxy zazaa xyzaa aaaor a aa a a 时 即0 a2 f x x 44 博士家园系列内部资料 5 4 3 2 1 1 4 2246 a 2 f x x 3 2 5 2 1 5 1 0 5 0 5 3 2 1123 0 a 1 45 博士家园系列内部资料 5 4 3 2 1 1 2 4 2246 1 a 2 2 0 0 000 0 4 7 18 0 4 1 21 0 111 sin sin sin 2211 sin sinsin 42 n x f xFourier x n f x bf xnx dxf xnx dxf xnx d f xnx dxnxdxnx n 由 在 的二阶泰勒公式有 由于 正定 所以对任何 恒有 123 123123123123 222 123123 01230 0 0 0 222222222 123 0 2 1 0 xxxqPxxxqxxx u xx xxU x f x xxf xxxqxxxoxxxxxxqo f x 因此 存在一个与无关的正数使得 从而对于充分小的只要就有 即在 123123 0 0 0 0 222 123123123 222222 1 2 min min T miMi T mM T x f x xxf xxxxxx Qxxxoxxx Q xyzx y z Q x y zxyz x y z x y z Q 处取到最小值 2 由于 因为 正定 设 有 且当 为 的特征向量时 222 222 123123 0 T M T x y zxyz Qaaaa a a f xx 由于 是Q对应于 的单位特征