金融工程习题和答案(,求好评).pdf

金融工程金融工程 作业 作业 1 1 假设和分别是同一商品的期货价格 期限分别为和 其中 证明当 假设和分别是同一商品的期货价格 期限分别为和 其中 证明当 1 F 2 F 1 t 2 t 12 tt r是利率 假设为常数 且不存在储藏成本的情况下有下式成立 是利率 假设为常数 且不存在储藏成本的情况下有下式成立 12 12 ttr eFF 在本题中 假设期货合约和远期合约是相同的 在本题中 假设期货合约和远期合约是相同的 答 如果 投资者可以通过如下组合来获得无风险利润 12 12 ttr eFF 1 做多到期日为的期货 1 t 2 做空到期日为的期货 2 t 当 1 到期时 借入买入资产 当 2 到期时 以的价格迈出资产 并偿还借款本息 因此有正的利润 在市场的套利驱使下 这种套利机 会将会消失 因此 1 F 2 F 1 12 ttr eF 12 12 ttr eFF 2 通过分析投资于资产现货并卖出该资产的期货的策略证明方程式 成立 假设资产的所有收入都被再投资到该资产上 使用教材 通过分析投资于资产现货并卖出该资产的期货的策略证明方程式 成立 假设资产的所有收入都被再投资到该资产上 使用教材 46 48 页的方法 说明如果等式不成立 套利者会怎样做 页的方法 说明如果等式不成立 套利者会怎样做 Tqr eSF 00 Tqr eSF 00 答 qT eS 0 Tqr eS 0 qT eS 0 T S 0 T SF 0 0T 该策略为 1 借入资金买入份股票 由于资产收入再投资 因此 期末资产 qT e 为 1 份股票 2 签订空头远期合约 以的价格卖出一份股票 0 F 收益如上所示 无套利结果导致成立 Tqr eSF 00 如果 投资者可以 Tqr eSF 00 1 借入资金买入份股票 由于资产收入再投资 因此 期末为 1 份股票 qT e 2 签订空头远期合约 以的价格卖出一份股票 0 F 3 现在是现在是 1 月月 30 日 你管理一个价值日 你管理一个价值 6 000 000 美元的债券组合 该债券组合美元的债券组合 该债券组合 6 个月后的平均久期为个月后的平均久期为 8 2 年 年 9 月份长期国债期货当前价格为月份长期国债期货当前价格为 108 15 最便 宜交割债券在 最便 宜交割债券在 9 月份的久期为月份的久期为 7 6 年 对接下来年 对接下来 6 个月的利率变化 你应如 何进行套期保值 个月的利率变化 你应如 何进行套期保值 答 合约价值为 108 46875 1 000 108 468 75 因此 所需做空做空的合约数为 60 7 59 6 7 2 8 75 468 108 000 000 6 4 假设长期国债期货价格为 假设长期国债期货价格为 101 12 下面四种债券哪一种为最便宜的交割债券 下面四种债券哪一种为最便宜的交割债券 债券债券 价格价格 转换因子转换因子 1 125 05 1 2131 2 142 15 1 3792 3 115 31 1 1149 4 144 02 1 4026 最便宜交割债券必须使得如下结果最小 市场价格 期货价格 转换因子 债券 1 125 15625 101 375 1 2131 2 178 债券 2 142 46875 101 375 1 3792 2 652 债券 3 115 96875 101 375 1 1149 2 946 债券债券 4 144 06250 101 375 1 4026 1 874 5 一份货币互换协议距离到期日还有 一份货币互换协议距离到期日还有 15 个月 涉及按本金个月 涉及按本金 2000 万英镑 利率万英镑 利率 14 计算的利息与按本金计算的利息与按本金 3000 万美元 利率万美元 利率 10 计算的利息之间的交换 每年交换一次 英国和美国的利率期限结构均是平坦的 如果现在签订互换 协议 互换的美元利率为 计算的利息之间的交换 每年交换一次 英国和美国的利率期限结构均是平坦的 如果现在签订互换 协议 互换的美元利率为 8 英镑利率为 英镑利率为 11 所有的利率均按年计复利 当前的汇率 英镑 所有的利率均按年计复利 当前的汇率 英镑 美元 是美元 是 1 6500 对于英镑的支付方而言 互换的价值为 多少 对于美元的支付方呢 对于英镑的支付方而言 互换的价值为 多少 对于美元的支付方呢 答 该互换包含以下现金流的交换 英镑利息 20 0 14 2 8 百万 美元利息 30 0 1 3 百万 对于货币互换 期末还有本金的交换 在该互换下 英镑债券的价值为 74 22 11 1 8 22 11 1 8 2 25 125 0 百万英镑 美元债券的价值为 92 32 08 1 33 08 1 3 25 125 0 百万美元 因此 对英镑付方而言 互换的价值为 32 92 22 74 1 65 4 60百万美元 对美元支付方而言价值为4 60百万美元 6 一家金融机构与公司 一家金融机构与公司 Y 签订一份签订一份 10 年期的货币互换协议 根据互换条款 年期的货币互换协议 根据互换条款 金融机构按年利率金融机构按年利率 3 收取瑞士法朗利息 并按年利率收取瑞士法朗利息 并按年利率 8 支付美元利息 利息交换每年进行一次 本金分别为 支付美元利息 利息交换每年进行一次 本金分别为 700 万美元和万美元和 1000 万瑞士法朗 假设 在第 万瑞士法朗 假设 在第 6 年末公司宣布破产 当时的汇率为年末公司宣布破产 当时的汇率为 0 8 美元美元 瑞士法郎 金融机构的损 失是多少 假设在第 瑞士法郎 金融机构的损 失是多少 假设在第 6 年年末 对所有期限而言瑞士法郎的利率均为年年末 对所有期限而言瑞士法郎的利率均为 3 美元利率均为 美元利率均为 8 所有利率按年计复利 所有利率按年计复利 答 远期汇率与即期汇率之间的关系为 T f r r SF 1 1 在本题中 08 0 r03 0 f r 那么在第六年底 我们有 spot 0 8000 1 yr forward 0 8300 2 yr forward 0 8796 3 yr forward 0 9223 4 yr forward 0 9670 现金流如下 年 USD付款 CHF收款 远期汇率 CHF等价的USD 现金流 6 560 000 300 000 0 8000 240 000 320 000 7 560 000 300 000 0 8300 251 600 308 400 8 560 000 300 000 0 8796 263 900 296 100 9 560 000 300 000 0 9223 276 700 283 300 10 7 560 000 10 300 000 0 9670 9 960 100 2 400 100 840 679 81 100 400 2 81 300 283 81 100 296 81 400 308 000 320 432 所以 当公司在第6年破产时 其损失为679 840美元 证明 对于美式期权有 证明 对于美式期权有 XDcSPXeC rT 0 SXecP rT 由于在无红利情形下 所以 Cc 0 SPXeC rT 对于右边的不等式 可以通过构造组合 1 欧式看涨期权 现金流XD 2 美式看跌期权 1份股票 此处 期权的到期日和执行价格相同 对于组合 1 在到期日T 其价值为 1 max 0 max rTrT T rT T eXDeXSeXDXS 对于组合 2 若期权没有被提前执行 则在到期日T 其价值为 rT T DeXS max 若期权被提前之行 假设在时刻 被执行 则其价值为 r DeX 在无套利条件下 我们可以得到 XDcSP 0 金融工程作业 金融工程作业 2 1 用看涨 看跌平价关系解释使用欧式看跌期权和使用欧式看涨期权构建蝶式 价差的成本是相同的 用看涨 看跌平价关系解释使用欧式看跌期权和使用欧式看涨期权构建蝶式 价差的成本是相同的 答 定义分别为执行价格为的看涨期权的价格 分 别为执行价格为的看涨期权的价格 321 ccc 321 XXX 321 ppp 321 XXX 由平价关系得到 SpeXc rT 111 SpeXc rT 222 SpeXc rT 333 因此 231231231 2 2 2pppeXXXccc rT 02 231 XXX 得到 231231 22pppccc 2 盒式价差期权 盒式价差期权 box spread 是执行价格为和的牛市看涨价差期权和相 同执行价格的熊市看跌价差期权的组合 所有期权的到期日相同 盒式价差 期权有什么样的特征 是执行价格为和的牛市看涨价差期权和相 同执行价格的熊市看跌价差期权的组合 所有期权的到期日相同 盒式价差 期权有什么样的特征 1 K 2 K 答 Bull spread 2211 KcKc Bear spread 2211 KpKp 收益如下表 Stock price Bull spread Bear spread Total 2 KST 12 KK 0 12 KK 21 KSK T 1 KST T SK 2 12 KK 1 KST 0 12 KK 12 KK 因此 盒式价差期权的价值为 12 KK 的现值 3 计算 计算 5 个月的欧式看跌期货期权的价值 期货价格为个月的欧式看跌期货期权的价值 期货价格为 19 美元 执行价格为美元 执行价格为 20 美元 无风险利率为年美元 无风险利率为年 12 期货价格波动率为年 期货价格波动率为年 20 答 此处 19 0 F20 X12 0 r 20 0 4167 0 T 欧式看跌期货期权的价格为 4167 012 0 1 4167 012 0 2 19 20 edNedN 其中 3327 0 4167 0 2 0 4167 0 204 0 2019ln 1 d 4618 04167 02 0 12 dd 50 1 6303 0 196778 0 20 3327 0 19 4618 0 20 4167 012 0 4167 012 0 e NNe 4 一家金融机构在场外期权市场上持有如下英镑期权组合 一家金融机构在场外期权市场上持有如下英镑期权组合 参数参数 头寸头寸 期权期权 Delta 期权期权 Gamma期权期权 Vega 看涨期权看涨期权 1000 0 50 2 2 1 8 看涨期权看涨期权 500 0 80 0 6 0 2 看跌期权看跌期权 2000 0 40 1 3 0 7 看涨期权看涨期权 500 0 70 1 8 1 4 某种可交易期权的某种可交易期权的 Delta 为为 0 6 Gamma 为为 1 5 Vega 为为 0 8 A 持有何种可交易期权及英镑头寸可以使得组合同时达到持有何种可交易期权及英镑头寸可以使得组合同时达到 Gamma 中性和中性和 Delta 中性状态 中性状态 B 持有何种可交易期权及英镑头寸可以使得组合同时达到持有何种可交易期权及英镑头寸可以使得组合同时达到 Vega 中性和中性和 Delta 中性状态 中性状态 答 组合的为 Delta 45070 0500 40 0 200080 05005 01000 组合的Gamma为 60008 15003 1200060 05002 21000 组合的Vega为 40004 15007 020002 05008 11000 A 为使达到中性需要买入Gamma4000 5 1 6000 份可交易期权 此时为 450 4000 0 6 1950 Delta 所以 为了达到中性需要卖出 1950 英镑 Delta B 为使达到Vega中性需要买入5000 8 0 4000 份可交易期权 此时为 450 5000 0 6 2250 Delta 所以 为了达到中性需要卖出 2250 英镑 Delta 5 一家银行向投资者提供一种存款工具 它保证投资者在一家银行向投资者提供一种存款工具 它保证投资者在 6 个月中获得的收 益率将为 个月中获得的收 益率将为 0 和市场指数收益率的和市场指数收益率的 40 中较大的一个 一名投资者计划在该工具 上投资 中较大的一个 一名投资者计划在该工具 上投资 100000 美元 将此头寸看作指数期权 描述其收益 假设年无风险利率 为 美元 将此头寸看作指数期权 描述其收益 假设年无风险利率 为 8 指数收益率为 指数收益率为 3 指数年波动率为 指数年波动率为 25 这一交易对于投资者而言是 否有利呢 这一交易对于投资者而言是 否有利呢 答 设投资 A 本题中 A 100000 美元 则收益为 0max 4 0 4 0 0 max 0 00 0 SS S A S SS AV T T 则该投资的收益相当于 0 4 0 S A 份执行价格为的期权 0 S 对于收益为的看涨期权 其价值为 0max 0 SST 2010 dNeSdNeSc rTqT 其中 2298 0 5 025 0 5 0 2 0625 0 03 008 0 2 ln 2 00 1 T TqrSS d 0530 05 025 02296 0 12 Tdd 0 5 0 08 05 0 03 0 0 0814 0 0530 0 2298 0 SNeNeSc 所以该存款产品的期权价值为 0 4 0 0814A 0 0326A 投资者进行投资时便获得该期权 也即 在时刻 0 的投入