线性代数习题.pdf

第二部分第二部分线性代数线性代数 一 填空题 1 A是 5 阶行列式 其中 12 0a 则A按定义的展开式中为零的项至少有 项 2 设行列式 36912 2468 1203 5643 D 则 414244 23AAA 3 设 f xxEA 11121313 21222324 31323334 41424344 xaaaa axaaa aaxaa aaaxa 则 3 x的系数是 4 已知xOy平面上两点 111222 Mx yMxy 则过 12 M M两点直线方程的行列式表达 式为 5 方程 23 1111 1123 11415 1xxx 23 1111 2125 11415 1xxx 23 1111 1248 02512 1xxx 0 则上述方程有解x 6 设 为 3 维列向量 已知行列式4 2 240 则行列式 7 设 4 阶矩阵 234234 2 3 4 2 3 4AB 其中 234 均为 4 维列 向量 且已知行列式2 3AB 则AB 8 设A为 3 阶方阵 且 1 130 2 2 0 A AB A 则B 9 设 1100 1100 0010 0011 A 则 n A 10 设 123 246 369 B 则 n B 11 已知APPB 其中 100 000 001 B 100 210 211 p 则 5 A 12 设 29 1f xxxx 100 001 000 A 则 ff x 13 设 0023 0011 3100 2100 A 则 1 A 14 设 A B C均为 n 阶矩阵 且ABBCCAE 则 222 ABC 15 已知A是 n 阶方阵 且 2 0A 则 1 AE 16 已知n阶矩阵 111 011 001 A 则 11 nn ij ji A 17 设 101 110 114 A 则 1 22AEAE 18 若向量组 123 1 1 1 2 2 3 2 7tt 线性相关 则 t 可取 19 已知 123 线性相关 若 122331 k 线性相关 则k为 20 设 123 1 0 1 2 2 1 2 6 3 1 4 t 4 1 5 10 已知 不能 由 123 线性表示 则t 21 已知向量组 1234 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 7 且向量组 123 与 123 4 等价 则 23 设A是 m n 矩阵 B是 n m 矩阵 E是 n 阶单位矩阵 m n 已知BAE 则A的列向量组线性 24 已知A 125104 27 023 2 132605 aBr AB 则a 25 设 A B均为 n 阶矩阵 如果ABO 且ABE 则 r Ar B 26 设 n 阶方阵A中至少有 2 1nn 个元素为 0 则max r A 27 设 4 阶方阵A的秩为 2 则 r A 28 20022001 010123001 100456010 001789100 29 若线性方程组 1 2 2 3 111 11 11 x x x 无解 则 30 设 122 21 311 A B为 3 阶非零方阵 且满足ABO 则 31 设 1212 01 101 Acc c 且齐次方程组0Ax 的基础解系含有 2 个解向量 则c 32 设 12 222 12 111 12 111 n n nnn n aaa Aaaa aaa 1 2 1 1 1 n x x x x 其中 1 2 ij aaij i jn 则线性方 程组 T A x 的解是 33 若线性方程组 121 232 343 414 xxa xxa xxa xxa 有解 则常数 123 4 应满足条件 34 设 1 1 01 n ijij m n j Aar Anaim 则方程组0Ax 的通解为x 35 设A是n阶不可逆矩阵 已知元素 ij a的代数余子式0 ij A 则0Ax 的通解是 36 矩阵 122 212 221 A 向量 1 1 T k是它的一个特征向量 则k 27 已知 2 是 022 22 22 Ax b 的特征值 其中0b 为任何常数 则x 38 设A是 4 阶可逆矩阵 且 2 20AA 则行列式 2 2AA 39 已知 3 阶矩阵A的特征值为 1 1 2 则5AE 40 设E是n阶单位矩阵 是n维列向量 若2 T 则矩阵 1 2 3 T AE 必有特征值 41 已知 3 阶矩阵A的特征值为 1 2 3 相应的特征向量分别为 1 1 1 1 2 1 1 0 1 TTT 则A 42 设A是 3 阶可逆矩阵 已知 1 A 有特征值 1 2 3 则 112233 AAA 43 已知 是A的对应于特征值 单根 的特征向量 则 1 P AP 对应于 的一个特征向量是 44 设A是 3 阶矩阵 8A 且满足 2 20AA 则 A的特征值是 45 已知 3 阶矩阵A相似于B A有特征值 2 3 6 则BE 的最大值为 46 已知 1 1 2 A 则 r AEr AE 47 已知 3 3 22 21 A 则 33r AEr AE 48 已知矩阵 123 00 000 Ax 可对角化 则x 49 已知 3 阶矩阵A的特征值是 1 2 5 相应的特征向量依次是 123 x x x 令 132 2 P xxx 则 1 P AP 50 若二次曲面 222 42221xyztxyxz 是椭球面 则t的取值范围是 51 已知 222 123123121323 55266f x x xxxcxx xx xx x 的秩为 2 则参数c 52 二次型 2 1231 12233 f x x xa xa xa x 的对应矩阵是 53 设 123 及 123 是 3 R的两个基 且有关系 11222313 则由基 123 到基 123 的过度矩阵是 54 设 3 维线性空间V上有两组基底 123 和 123 又 112321231 2 V中向量 在基 123 下的坐标是 1 2 2 T 则 在基 123 下的坐标是 55 若实对称矩阵A与矩阵 100 002 020 B 合同 则二次型 T x Ax的规范形是 56 矩阵 1 1 1 A 和 1 1 1 B 是合同矩阵 即存在可逆阵C 使 T C ACB 则C 二 选择题 1 设A是n阶方阵 则0A 的一个必要条件是 A A中必有一行元素 或一列 全为零 B A中必有两行元素成比例 CA中必有一行是其余各行的线性组合 D A中任意一行是其余各行的线性组合 2 设A是mn 矩阵 B是nm 矩阵 则 A当mn 时 必有行列式0AB B当mn 时 必有行列式0AB C当 n m 时 必有行列式0 AB D当 n m 时 必有行列式0AB 3 设 是 n 阶矩阵 且 3 则 21 3 n 2 1 3n C 2 3n n D 1 3n 4 一个值不为零的行列式 经过若干次矩阵的初等变换后 该行列式的值必定 保持不变 保持不为零 C保持相同的正负号 D可以变为任何值 5 已知 均为 n 阶矩阵 则必有 2 22 2B B T TT AB CBO 时 AO 或 BO D行列式0AAB 的充要条件是0A 或0EB 6 设 A B 均为 n 阶方阵 EB 可逆 则EB 也可逆 且 1 EB 等于 A 11 E B 11 EA C 1 EB EABA D B EAB A 7 设 A B 为 n 阶可逆阵 且 2 ABE 则下列命题错误的是 A 2 BAE B 1 AB C 11 BAAB D 1 B 8 设A 是 n 阶方阵 且 3 0 则 不可逆 且EA 不可逆 可逆 但EA 不可逆 C 2 AE 及 2 E 均可逆 D 不可逆 且必有 2 0 9 设矩阵m n 的秩为 m n mE 为 m 阶单位矩阵 则下列结论正确的是 A 的任意 m 个列向量必线性无关 是任意一个 m 阶子式不等于 0 C对任意 m 维列向量 b 方程组Axb 恒有解 D若矩阵B 满足 BAO 则必有BO 10 设矩阵 10 1211 221 1 aaa aaa 其中a是任意常数 则 r A 1 2 3C D与a的取值无关 11 设 均为 n 阶方阵 且 O 则必有 若 r An 则 BO B若 O 则 BO C或者 AO 或者BO 0D AB 12 设 n 阶方阵 与B 等价 则 A AB BAB CAB D若0 A 则必有0B 13 设 A 11121314 21222324 31323334 41424344 aaaa aaaa aaaa aaaa B 14131211 24232221 34333231 44434241 aaaa aaaa aaaa aaaa 1P 0001 0100 0010 1000 2P 1000 0010 0100 0001 其中A 可逆 则 1 B 等于 1 12 A A P P 1 12B P A P 1 12C P P A 1 21D P A P 14 设 A B 均为 n 阶可逆矩阵 则 A ABBA B存在可逆矩阵 P 使 1 PAPB C存在可逆矩阵 C 使 1 CACB D存在可逆矩阵P 和 Q 使PAQB 15 设 12121 nn AB 则 r Ar B 是 n 能用B 的列向量线 性表示的 A充分但非必要条件 B必要但非充分条件 C充分必要条件 D既非充分也非必要条件 16 已知向量组 1234 线性无关 则向量组 124243423123 2 2 的秩是 1 A 2 B 3 C 4 D 17 已知 n 维向量组 1212 ss 的秩均为r 则必有 1122 ss A rr B若 1122 ss rr 则 与 等价 C若 1212 ss rr 则 与 等价 D若 1212 1 ss rr 则 中仅有一个向量不能由 线性表示 18 向 量 组 12 s 其 秩 为 1 r向 量 组 12 s 其 秩 为 2 r 且 1 2 i is 均可由向量组 线性表出 则必有 1122 ss A 的秩为 12 rr 1122 ss B 的秩为 12 rr 1212 ss C 的秩为 12 rr 1212 SS D 的秩 为 1 r 19 已知 n 维向量的向量组 12 s 线性无关 则向量组 12 s 可能线性相关的 是 1 2 i Ais 是 1 2 i is 中第一个分量改为 0 的向量 1 2 i Bis 是 1 2 i is 中第二个分量都加上第一个分量得到的向量 C 1 2 i is 是 1 2 i is 中第一个分量改变成其相反数的向量 D 1 2 i is 是 1 2 i is 中第 n 个分量后再增添一个分量的向量 20 设 n 维向量组 12 m m n 线性无关 则 n 维向量组 12 m 线性无关的 充要条件为 A向量组 12 m 可由向量组 12 m 线性表出 B向量组 12 m 可由向量组 12 m 线性表出 C向量组 12 m 与向量组 12 m 等价 D矩阵 12 m A 与矩阵 12 m B 等价 21 设xoy平面上 n 个不同的点为 1 2 3 iii Mx yin n 记 11 22 1 1 1 nn xy xy A xy 则 12 n M MM 共线的充要条件是 r A 1 A 2 B 3 C D4 22 设点 i P 1 2 4 iii x y zis s 矩阵 111 222 1 1 1 sss xyz xyz A xyz 则 s 点共面的充要条件是 1 A r A 2 B r A 3 C r A 13 Dr A 23 设 1123212331234123 TTTT a a ab b bc c cd dd 则三个平面 1111 2222 3333 a xb yc zd a xb yc zd a xb yc zd 相交成一条直线的充要条件是 A 123 1r r 1234 2 B 123 r r 1234 2 C 123 r 2 1234 3r D 123 r 1234 3r 24 设A 为m n 矩阵 奇次线性方程组AxO 仅有零解的充分条件是 A A 的列向量组线性无关 B A 的列向量组线性相关 CA 的行向量组线性无关 DA 行向量组线性相关 25 设A 是 n 阶矩阵 若奇次线性方程组AxO 又非零解 那么对任何 n 维向量b 非奇次 线性方程组 T A xb 必满足 A有无穷多解 B无唯一解 C没有无穷多解 D可能有唯一解 可能无解 26 设 123 是AxO 的基础解系 则该方程组的基础解系还可表成 A 123 的一个等价向量组 B 123 的一个等秩向量组 C 122331 D 122331 27 已知线性方程组4 4Axo 有基础解系 123 1 2 3 0 2 1 0 1 1 0 2 1 TTT 则该方程组的一个特解是 A 1 5 3 7 T B 0 4 9 1 T C 1 2 3 1 T D 2 1 2 0 T 28 若 123 1 1 4 2 1 5 7 2 10 2 TTT aaa 是奇次方程组AxO 的基础解系 则a的取值范围是 A0a B1a C1a 且9a D9a 29 设A 为m n 矩阵 则 m n 是是奇次线性方程组 T A AxO 有非零解的 A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充分必要条件 D既不充分也非必要条件 30 n 元线性方程组Axb 有无穷多解的充要条件是 A增广矩阵的秩 r An 二次型的标准形为 二次型正定的充 要条件是 二次型正定的充要条件是 存在可逆阵使得 1AP E BD AD D CQ T n 存在 阶矩阵使得 存在正交阵使得 1 1 Q AQ Q AQ T n 12 1 0 1 2 0 1 2 0 47 AA A A B A B A 0 A B A B 48 A A T T ni T in DxxxxxinxAx B CxAx D n rsBrs Cr s 其 中 对 任 何其 中使 得 下 列 结 论 中 不 正 确 的 是 为 正 定 矩 阵 则也 是 正 定 矩 阵 若都 是 正 定 矩 阵 则也 是 正 定 矩 阵 若 二 次 型半 正 定 则 若都 是 正 定 矩 阵 则也 是 正 定 矩 阵 设是阶 实 对 称 阵 秩 为 r 符 号 差 为 s 则 必 有 是 奇 数是 偶 数是 偶 数是 奇 数 Dr s均 为 偶 数 不 能 是 奇 数或 均 为 偶 数 或 均 为 奇 数 110 49 A 100 001 100100100100 A010010010010 001001001001 50 AB ABC TT BCD fx AxxCyfy By D 下列矩阵中与合同的矩阵是 设二次型经非奇异线性变换化为则 与 必定 相等相似合同具有相同的特征值 11 22 33 1 44 55 66 2 0000 0000 0000 1 0000 0000 0000 1 2 23 ab ab ab D ba ba ba xxxx xxxx Dxxxx xxxxn 三 计算与证明题 1 计算下列行列式 3 2 1121 2 2122 4 2 12 12 222 12 5 222 12 12 000 100 0100 3 000 0001 1 1 4 1 111 4 n n nnn n n nnn n nnn n abab abab ab D abab ab xx xx x x xxx x D x xx xx xxx xxx D xxx xxx 2 已知 12345 22211 A 31245 11122 43150 3132333435 1 A A A2 A A求 3 指出多项式 f x 111213 212223 313233 axaxax axaxax axaxax 是 x 的几次多项式 并具体写出该多项 式 4 已知 n n 3 阶实矩阵 A ij n n a 满足条件 1 ij a ij A 1 2 i jn 2 11 0a 求A 5 求通过不在一直线上的三点 111222333 Mx yMxyMx y的圆的方程的行列 式表示式 6 证明三个平面 32 0 xaya za 32 0 xbyb zb 32 0 xcyc zc 其 中 a b c 互异 交于一点的充要条件是0abc 7 设 123 246 369 A 求 n A 8 设 211 121 112 B 且已知 3 BaBbE 求 a b 9 设 100 101 010 A 1 证明当3n 时 有 22nn AAAE 2 求 100 A 10 设 AB M OD 可逆 其中 A D 皆为方阵 证明 A 和 D 可逆 并求 M 11 设 T AE 其中 12 0 T n a aa 证明 1 2 1 T AA 2 当1 T 时 A 是不可逆矩阵 12 设 11 2 T EC B AC 其中 E 是 4 阶单位矩阵 求 A 其中 1231 0123 0012 0001 B 1201 0120 0012 0001 C 13 设 A B 是 n 阶方阵 且满足 2 22 AA B BABAB 证明ABBA 14 设 A B 是 n 阶方阵 满足ABAB 证明ABBA 15 设 22 ABE 且0AB 证明 A B 是不可逆矩阵 16 设 A B 是 n 阶方阵 B 及EAB 也可逆 并求 1 EAB 17 设 001 120 121 A 矩阵 B 满足 48A BABAE 求 B 18 已知 A 是 3 阶可逆矩阵 010 120 003 B 若 1 AEBE Q 求 1 A 19 设 A为 3 阶可逆方阵 A 的伴随矩阵 且 1 101 020 004 A 求 1 A 20 设 A 是 n 阶可逆方阵 将 A 的第 i 行和第 j 列对换后得到的矩阵记为 B 1 证明 B 可逆 2 求 1 AB 21 设 010 0 1 0 2 Aac b 1 a b c 满足什么条件是 r A 3 2 选择 a b c 使 A 为正交阵 22 设 A 是正交矩阵 且1A 证明AE 不可逆 23 已 知 向 量 组 121 1 m m 线 性 无 关 向 量 组 12 m 可 表 示 为 1 1 2 iim tim 其中 1 2 i t im 是数 证明向量组 12 m 线 性无关 24 设 n 维 向量 123 满 足 123 230 对于 任意 向量 组 向量 组 111222333 lll 都线性相关 则参数 123 l l l满足什么关系 25 设 A 是nm 矩阵 B 是mn 矩阵 其中nm1 的秩为 r 12m ii 1 2 im 证明 向量 12 m 的秩为 r 33 设 A 为mn r Brsm 矩阵 其秩为 r 从 A 中任取 s 行 作为一个sn 矩阵 B 证明 r Brsm r 01 1 nAn r Ar An A 当 时 当时 当r n 1时 34 证明 r ABr A Br Ar B 35 设 ij n n Aa 2n 证明 r 01 1 nAn r Ar An A 当时 当时 当r n 1时 36 设 A B 都是 n 阶方阵 满足 1 ABA B 证明 r nEABr EAB 37 设 A 是 n 阶矩阵 B 为nm 矩阵 若 r Bn 且ABO 证明AO 38 设 A 是mn 矩阵 m n r Am 证明 存在nm 矩阵 B 使得ABE 39 设 A 是 n 阶矩阵 B 为nm 矩阵 若 r Bn 则当ABB 时 证明 AE 40 设 A 是 n 阶矩阵 证明 12nnn r Ar Ar A 41 设方程组 123 123 123 220 20 30 xxx xxx xxx 的系数矩阵为 A 且 3 阶非零方阵 B 满足ABO 1 求 2 证明0B 42 设 A 为mn 矩阵 若对任意 n 维列向量 x 都有AxO 证明 1234 AO 43 已知 4 元 2 个方程的齐次线性方程组的通解为 12 1 0 2 30 1 1 1 TT xkk 求原 方程组 44 设 A 与 B 是两个 n 阶方阵 证明 r ABr B 的充要条件是方程组 0AB x 与 0Bx 油完全相同的解 45 设 1234 是 某 齐 次 线 性 方 程 组 的 基 础 解 系 又 112 12345 12345 2345 12345 0 3130 2260 54430 xxxxx xxxxx xxxx xxxxx 223 334 441 问 1234 是否也可以作该方程的基础解系 为什么 46 给定矩阵 12100 12010 12320 56001 B 其行向量都是齐次线性方程组 12345 12345 2345 12345 0 3130 2260 54430 xxxxx xxxxx xxxx xxxxx 的解向量 问 B 的 4 个行向量是否构成方程组 的基础解系 若不能 不用解方程组 的方法 试求 的一个基础解系 47 设 A 是mn 矩阵 r Am B 是 nnm 矩阵 r Bnm 且满足关系 ABO 证明若 是其次方程组0Ax 的解 则必存在唯一的 使得B 48 设方程组 14 24 34 1 22 1 xx xx xx 有解 证明 方程组 1112121 1122 0 0 nm nnmnm b ya ya y a ya yay 的任一解 1 T m yy 必满足方程 11 0 mm b yb y 49 设方程xAB 其中 111 110 201 A 11 40 02 a Bb c 问 a b c 为何值时 方程有解 50 已知方程组 是同解方程组 试确定方程组 中的系数 a b c 其中 1234 1234 1234 251 4 32 xxaxx xxxbx xxxxc 14 24 34 1 22 1 xx xx xx 51 设 A 是 m 行 n 列矩阵 b 为 m 维列向量 0 0 0 1 T b n 1 维列向量 证明Ab 有解的充要条件是 0T B xb 无解 其中 BA b 52 取何值时 方程组 123 123 123 21 2 4551 xxx xxx xxx 有唯一解 无解 有无穷多解 并在有解时 求出方程组的全部解 53 设有线性方程组 12345 12345 2345 12345 1 323 2263 5433 xxxxx xxxxxa xxxx xxxxxb 1 当 a b 为何值时 此方程组有解 2 在有解的情况下 写出方程组的一般解 3 写出对应齐次线性方程组的一个基础解系 54 已 知 3 的 两 个 基 分 别 为 1 1 1 1 T 2 1 0 1 T 3 1 0 1 T 和 1 1 2 1 T 2 2 3 4 T 3 3 4 3 T 求由基 123 到基 123 的过渡矩 阵 55 在 3 维向量空间 3 中给定一组基 1 1 0 0 T e 2 0 1 0 T e 3 0 0 1 T e 又设 1 1 2 3 T 2 1 1 2 T 3 1 0 1 T 1 问向量组 123 是否是一组基 并说明理由 2 若向量 123 2 求 在基底 123 e e e下的坐标 56 设 3 中的坐标变换为 1123 yxxx 212 2yxx 313 2yxx 求基变换公式 57 设 1234 1234 1234 1234 aaaa aaaa A aaaa aaaa i 0 1 2 3 4ai 求 A 的特征值及特征向量 58 设 001 1 100 Axy 有 3 个线性无关的特征向量 求 x 和 y 应满足的条件 59 设 011 n a aa 为 n 个实数 01222 1 01000 00100 00001 n n n C aaaaa 1 若 是 C 的特征根 证明 21 1 T n 是对应于的特征向量 2 若 C 的特征根 12 n 两两互异且已知 求可逆阵 使 1CP 为对角阵 60 设 3 阶方阵 A 满足特征值 2 1 1 相应的特征向量分别为 123 方阵 2 23 求 1 的特征值与相应的特征向量 61 设 122 212 221 求 1 和 的特征值 62 设 4 阶方阵 A 满足30 2 且 A 的特征值全大于 0 求 的一个 特征值 63 设 A 使 3 阶实矩阵 123 是 A 的 3 个不同的特征值 123 是 3 个对应的 特征向量 证明当 23 0 时 向量组 1 12 2 123 线性无关 64 设 12 x x分别是矩阵 A 对应于 12 的特征向量 且 12 证明 对任意实数 1 0k 2 0k 1 122 k xk x 不是 A 的特征向量 65 若任何 n 维非零列向量都是 n 阶方阵 A 的特征向量 证明 A 为数量矩阵 66 设 A B 是 n 阶方阵 证明 AB BA有相同特征值 67 设 n 阶矩阵 A 有 n 个互不相同的特征值 证明 A 的特征向量也是 B 的特征向量的充要 条件是ABBA 68 已知 6 3 3 是 3 阶实对称矩阵 A 的 3 个特征值 是属于特征值 6 的一个特征向量 1 求出属于特征值 3 的两个线性无关的特征向量 2 求出矩阵 A 69 设 A 是n阶方阵 1 2 n 是n维列向量 已知 A 1 2 A 2 3 A 1 n n A n 0 且 n 0 1 证明 1 2 n 线性无关 2 求线性方程组0 Ax的通解 3 求出 A 的全部特征值与特征向量 并证明 A 不可对角化 70 设 3 阶方阵 A 的特征值为 1 1 1 相应的特征向量分别为 1 T 1 1 1 2 T 1 0 1 3 T 4 2 1 求 100 A 71 设 3 阶方阵 A 的特征值为 1 2 3 方阵 B 2 A 7A 5E 求 B 72 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 8 2 3 2 对应于 1 的特征向量为 T k 1 1 1 对应于 2 3 的一个特征向量为 T 0 1 1 2 试求参数 k 及 2 3 时 的另一个特征向量和矩阵 A 73 设矩阵 A 11 1 11 与 B 200 010 000 相似 1 求 2 求一正交阵 P 使 1 BAPP 74 设 A 为 n 阶非零方阵 存在某正整数 m m2 使0 m A 证明 A 不与对角阵 相似 75