一道高三调研试题的命制历程.pdf

2 0 1 4 年4 月 一道高三调研试题的命制历程 江苏省东海县教师进修学校徐 明 文1 对由笔者命制的一道高三调研试题作了深层次 的解题探究 旨在扩展试题的数学功能与教育功能 读 完自感作为试题的命题人 有必要把此题的命制过程也 呈现给大家 让数学同仁从命题与解题两个角度审视这 道试题 也许这样更能为我们的数学解题教学与命题研 究提供一些启示 题目 江苏省连云港市2 0 1 2 2 0 1 3 学年度第一学期 2 工 高三期末考试试题 已知椭圆c 之 缶 1 口 6 o 的上 旷b 顶点为A 左 右焦点分别为R R 且椭圆C 过点 A J P i 0 以A 助直径的圆恰好过右焦点见 jj I 求椭圆C 的方程 I I 若动直线Z 与椭圆C 有 且只有一个公共点 试问 在戈轴 上是否存在两定点 使其到直 线f 的距离之积为1 7 若存在 请 求出两定点的坐标 若不存在 谓 说明理由 一 命制历程 1 矿 厂斟 乡j 图1 1 命题设想 纵观近几年江苏高考命题的发展趋势 由于 考试 说明 降低了双曲线与抛物线等圆锥曲线的考查力度 解答题中涉及解析几何的试题基本稳定在考查圆或椭 圆的概念 标准方程和简单几何性质上 一般情况下 这 类试题既包含对圆或椭圆基本量的定量计算 又包含对 圆或椭圆几何性质的定性研究 基于此 我们结合本次 命题的内容和题型的双向细目表 确定了本次高三调研 考试解析几何解答题的命题立意 以椭圆为知识载体 主要考查椭圆的标准方程 几何性质以及直线方程等基 础知识 考查运算求解能力与推理论证能力 进而确定 了试题的命题方向 试题设置为两个层次递进式的小问 题 第一问由椭圆基本量的关系求椭圆的标准方程 第 二问通过直线与椭圆的关系研究椭圆的某一几何性质 首先 需要确立研究椭圆几何性质的方向 因为椭 圆的性质与其方程是否有相关性 一定程度上制约着第 坛 线 一问所求方程的数据设置 分析2 0 1 0 2 0 1 2 年三年的高考 试题 发现江苏卷已经通过直线与椭圆的相交 考查了 直线过定点 两直线垂直 两线段和为定值等定性问题 再者江苏高考不涉及一元二次方程根与系数的关系在 解题中的运用 这些都是现在必须要回避的 而笔者在 研究2 0 1 2 年全国各地的高考试题时 曾经发现四道命题 背景相同的解析几何解答题 它们都以直线与圆锥曲线 相切情形下的圆锥曲线某一性质为试题的 生长点 详 见文2 因此 最终选择直线与椭圆相切时的如下性质 也就是文1 中探究所得的结论1 作为命题的理论支撑 性质 椭圆的两个焦点到椭圆上任意一点处的切线 的距离之积为椭圆短半轴长的平方 其次 需要确定以什么样的形式求解椭圆的标准方 程 在椭圆的几何性质中 其基本量无非涉及椭圆的长 短 轴 焦点和离心率等 考虑到焦点三角形在椭圆中 的重要地位 初步设想借助焦点三角形给出相关基本 量 求椭圆的标准方程于是得到试题的雏形 雏形 如图2 点只 既分别是 椭圆c 等 吾 1 n 6 o 的左 右焦点 A 为上顶点 直线AF 2 与 椭圆G 交于点B 连接邪 有 A E 上B 一 且A A F l B 的面积为6 J 1 滁 刿二 I 求椭圆C 的方程 图2 若直线Z 是椭圆C 的任意一条切线 只 R 到切线 Z 的距离分别为d d 2 求d d 2 的值 2 命题打磨 1 题设条件的打磨 在命题打磨阶段 首先对题设条件进行了打磨 先 看第一问的解答过程 解 I 设I B R I X 贝1 l B F l l 2 a x 因为A E 上B 月 所以L 4 R 2 旧月1 2 I A B l 2 即口2 知叫 2 批 解得省 竽 3 由 4 l B 的面积为6 得 0 譬 6 解得昭3 j 在R t A A F l B 中 c o s 蹦日 高中版 7 歆喈 一万方数据 数坛 在线 2 0 1 4 年4 月 在 AE R 中 由余弦定理 得1 只疋1 2 ME 1 2 L 4 疋1 2 2 M E I x l A F 2 1 c o s A F c t B 即4 c 2 9 9 一芸 解得c 2 二 5 所以6 2 矛一c 2 竺 5 故椭圆c 的方程为百X 2 鼍 1 从严格意义上讲 这是一道好题 试题的求解既涉 及椭圆的定义 还涉及余弦定理的运用 有一定的综合 性 但问题也恰好出现在这个 综合性 上 作为高三期末 考试 它有别于高考那样的选拔性考试 作为一种发展 性测试 高三期末考试重在调查研究学生对所学高中数 学知识和技能的掌握情况 命题应面向全体学生 重视 考查学生的数学基础知识和基本技能 控制试题的难 度 力求低起点 让不同层次的学生都有发挥的余地 发 挥试题的激励功能 让学生学有所得 增强信心 而现在的命题设置 凸显两大缺点 一是综合性较 强 特别是解三角形的问题 需要借助 肼B 运用 算两 次 的方法 才能求得C 的值 这种处理方法对多数学生 而言是不适应的 如果第一问就拦住很多学生 显然是 不合适的 二是解析的味道不足 作为解析几何问题 解 题的基本方法应该是用代数方法研究几何问题 将椭圆 与解三角形综合 势必淡化了解析几何的基本思想方 法 这样的命题设置与本题的立意相背 于是针对发现 的问题 作了如下修改 磨题1 如图3 已知椭圆C 冬 旷 吾 1 6 o 的上顶点为A 左 右焦点分别为一 尼 且椭圆C 过点 P 号 了1 A 2 上腿 T 求椭圆C 的方程 j k P 乡j 图3 若直线z 是椭圆C 的任意一条切线 一 R 到直线 Z 的距离分别为d d 2 求d d 2 的值 相比雏形题 磨题1 的题设保留了直角三角形的构 成要件 对构图布局与数据信息作了一些调整 其中 将 直角顶点从E 移到R 第四象限的点曰换成第一象限的点 P 使构图更加简洁 将直角三角形的面积换成椭圆过点 P 则能体现曲线与方程关系的运用 磨题1 的题设条件充分体现了解析法的特质 点的坐 标是对应方程的解 两直线垂直对应斜率乘积等于一1 一十 7 囊吁高中版 f 堕 上 1 学生很容易根据题设条件列出方程组 9 a 2 9 b 2 但 6 c 4 3 c 解方程组又产生了新的问题 由于初中降低了解方程组 的教学要求 对于学生而言 求解此处的三元四次方程 组是困难的 势必形成新的不必要的解题障碍 这同样 是我们不愿看到的 于是作了第二次修改 磨题2 如图4 已知椭圆C 冬 矿 丢 1 a b o 的上顶点为A 左 右焦点分别为E R 且椭圆C 过点 P 号 以A 助直径的圆恰好 过右焦点凡 I 求椭圆C 的方程 A 夕 门N P 弋乡 图4 若直线f 是椭圆C 的任意一条切线 E 足到直线 z 的距离分别为d d 2 求d d 的值 1 磨题2 的修改比较清晰 点P 的坐标由 i 11 变为 jj L f 1 虽然数式结构不太协调 但大大降低了解方 jj 程组的难度 而将条件 4 R j 巩 改为 以A P 为直径的 圆恰好过右焦点R 则彰显了文字语言表述的艺术性 在考查几何特征转化的同时 也使构图更具美感 2 设问方式的打磨 最后是对第二问设问方式的打磨 鉴于第一问难度 的降低 第二问若仍保留原设问方式 则难度稍显不足 因此设想把试题改造成具有探究性的试题 2 上 磨题3 已知椭圆c 冬 缶 l a b o 的上顶点为 旷6 AL A 左 右焦点分别为F l R 且椭圆c 过点P 以 jj A 助直径的圆恰好过右焦点R I 求椭圆C 的方程 I I 若动直线Z 与椭圆C 有且只有一个公共点 E 尼到直线z 的距离分别为d d 2 试问d d 提否为定值 并说 明理由 磨题3 作了两点修改 其实质都是叙述方式的改变 对问题的解答没有任何影响 难度也没有变化 至于将 直线Z 是椭圆C 的任意一条切线 改为 动直线Z 与椭圆C 有且只有 个公共点 主要是出于表述规范性的考虑 因 为苏教版教材上没有出现直线与圆锥曲线相切的定义 如何增加试题的探究性呢 在 定值 与 定点 间徘 徊之际 头脑里产生这样的念头 既然两焦点到椭圆动 切线的距离之积是定值 那么到动切线距离之积为定值 万方数据 2 0 1 4 年4 月圈囤固圈 的两个定点一定会是焦点吗 由于存在性已知 这种探 究显然是有意义的 考虑到运算的复杂性 最后决定指 明探究方向 仅在戈轴上探究两个定点的存在性 2 土 磨题4 已知椭圆c 之 妥 1 a b o 的上顶点为 口 b 一 1A A 左 右焦点分别为F t F 2 且椭圆c 过点P q l 以 jj A 助直径的圆恰好过右焦点R I 求椭圆C 的方程 若动直线f 与椭圆C 有且只有一个公共点 试 问 在戈轴上是否存在两定点 使其到直线f 的距离之积 为定值 若存在 请求出两定点坐标及其定值 若不存 在 请说明理由 磨题4 与最后呈现在考生面前的试题仅有一处不 同 即将 积为定值 修改为 积为1 这同样是出于降低 试题难度的考量 因为多字母的代数式运算 始终是学 生的一个弱点 而在本题的解题过程中 涉及四个字母 量的复杂变形 足可以实现加大考生运算能力与推理论 证能力考查力度的意图 二 几点思考 命制数学试题 是一项严肃而辛苦的工作 一道好 试题是学生与数学的一次无声对话 一道好试题是教学 与评价的有效抓手 一道富有创意 多样化 高质量的试 题 能为教学作出正确的指引 能促使教师反思自身教 学的缺陷和不足 有助于教师的专业成长 1 好试题要强调原创性 当下快捷的网络技术 使教师与学生拥有海量的试 题资源 作为地市级的调研考试 试题的来源直接影响 着考试的信度和评价的真实性 一份试卷中如果出现陈 题 或者照搬照抄别人的考题 就会在考生中造成不公 平现象 作为命题者 必须处理好传统与创新的关系 追 求试题的原创性 当然 让试题百分百的原创是有困难 的 无论是何种类型的考试命题 受时间和精力的限制 不可能所有的试题都是命题者创造性地编制出来的 应 该看到大部分试题是来源于对已有问题的改编 命题者 必须具备较强的改编试题的能力 只有这样才有可能编 制出创新题 就本题而言 严格意义上讲也只是一道改 编的新题 只不过我们将原素材 指命题设想中涉及的 椭圆性质 在形式上 考查功能上都作了根本性的改变 所谓生于斯 而不止于斯 2 好试题要重视层次性 好的试题是考生与数学的一次无声对话 让考生看 不懂的试题不是好试题 考生都不会做的试题也不是好 试题 好试题应该重视测试的层次性 要让考生可读 可 坛 线 解 有成功才会有信心 实际上 本题打磨的大部分时间 都是用来降低试题的上手难度 使试题更具层次感 为 问题的分解和解决提供认知的客观物质基础 降低解题 门坎 让大多数考生都能 走进来 只有 走进来 才 能有机会 欣赏 后面更美丽的 风景 愉悦考生的身 心 只有层次分明 才能使试题的难度结构更合理 使试 题具有更高的区分度 3 好试题要突出探究性 数学试题除了考查学生的空间想象 抽象概括 推 理论证 运算求解与数据处理等五大数学基本能力 还 要着重考查学生分析问题 解决问题的能力 考查学生 在解决问题过程中的创新意识 因此 好试题一定是以 能力立意的 通过对特定数学问题的探索与求解 考查 学生是否善于发现问题 能否选择有效的方法和手段收 集信息 联系相关知识 提出解决问题的思路 建立恰当 的数学模型 进而尝试解决问题 在这次命题打磨阶段 设问方式打磨的最终目标就是完成了试题从 知识立 意 到 能力立意 的嬗变 原试题仅侧重于运算求解能 力与推理论证能力的考查 而修改后的