2019_2020学年高中数学第一章常用逻辑术语1.2充分条件与必要条件1.2.2充要条件讲义新人教A版选修2.docVIP

12.2充要条件充要条件(1)充要条件一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件(2)常见的四种条件与命题真假的关系如果原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四种情形：原命题逆命题p与q的关系真真p是q的充要条件q是p的充要条件真假p是q的充分不必要条件q是p的必要不充分条件假真p是q的必要不充分条件q是p的充分不必要条件假假p是q的既不充分也不必要条件q是p的既不充分也不必要条件1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立()(2)逻辑联结符号“”具有传递性()(3)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件()答案(1)(2)(3) 2做一做(1)(教材改编P12练习T2)设a，bR，则“ab2”是“a1且b1”的 ()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)“x21”的充要条件是_(3)“x210”是“|x|10”的_条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)(4)如果不等式xm成立的充分不必要条件是1x2，则m的最小值为_答案(1)B(2)1x2，而a2 a1且b1.而a1且b1ab2.故选B. 探究1充要条件的判断例1下列各小题中，p是q的充要条件的是()p：m6，q：yx2mxm3有两个不同的零点；p：1，q：yf(x)为偶函数；p：coscos，q：tantan；p：ABA，q：UBUA.A B C D解析q：yx2mxm3有两个不同零点m24(m3)0m6p.f(x)0时，qp.若，k(kZ)，此时有coscos，但没有tantan.p：ABAABq：UAUB，中，p是q的充要条件答案D拓展提升判断p是q的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：验证由p能否推出q，由q能否推出p，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断pq及qp的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的【跟踪训练1】已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：(1)p是r的什么条件？(2)s是q的什么条件？(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？解作出“”图，如右图所示，可知：pq，rq，qs，sr.(1)pqsr，且rq，q能否推出p未知，p是r的充分条件(2)srq，qs，s是q的充要条件(3)共有三对充要条件，qs；sr；rq.探究2充要条件的证明例2设a，b，c是ABC的三个内角A，B，C所对的边求证：a2b(bc)的充要条件是A2B.证明充分性：A2B，ABB，则sin(AB)sinB，则sinAcosBcosAsinBsinB，结合正弦、余弦定理得abb，化简整理得a2b(bc)；必要性：由余弦定理a2b2c22bccosA，且a2b(bc)，得b2bcb2c22bccosA，12cosA，即sinB2sinBcosAsinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，sinBsinAcosBcosAsinBsin(AB)，由于A，B均为三角形的内角，故必有BAB，即A2B.综上，知a2b(bc)的充要条件是A2B.结论探究如果把例2中问题改为“求证A，B，C成等差数列的充要条件是B60”，怎样解答？证明充分性：在ABC中，ABC180，又B60，AC120.AC2B.A，B，C成等差数列必要性：A，B，C成等差数列，AC2B.又ABC180，即3B180，B60.综上得A，B，C成等差数列的充要条件是B60.拓展提升充要条件的证明证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件尽管证明充要条件问题中前者是后者的充分条件，也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”即qp；证明必要性时则以p为“已知条件”，即pq.【跟踪训练2】求证：关于x的方程ax2bxc0(a0)，有一正根和一负根的充要条件是ac0，x1x20，ac0.充分性：由ac0及x1x20，方程ax2bxc0有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax2bxc0有一正根和一负根综上可知，关于x的方程ax2bxc0(a0)有一正根和一负根的充要条件是ac0.探究3求充要条件例3求关于x的方程ax22x10至少有一个负实根的充要条件解当a0时，符合要求当a0时，显然方程没有零根，若方程有两个异号的实根，则由根与系数的关系可知a0；若方程有两个负实根，则解得0a1.综上所述，若方程ax22x10至少有一个负实根，则a1.反之，若a1，则方程ax22x10至少有一个负实根因此，关于x的方程ax22x10至少有一个负实根的充要条件是a1.拓展提升探求充要条件的两种方法(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证【跟踪训练3】圆x2y21与直线ykx2没有公共点的充要条件是_答案k解析当圆x2y21与