概率统计课件（复习用）.ppt

例 设A B C表示三个事件 试用A B C的运算表示下列事件 仅A发生 A B C都不发生 A B C都发生 A B C至少有一个发生 A B C恰有一个发生 解 则称n A 为事件A发生的频数 称比值为事件A在n次试验中出现的频率 定义1 如果在n次重复试验中事件A发生了n A 次 记为fn A 即 A发生的频繁程度 稳定值 确定概率的频率方法 1933年 kolmogorov柯尔莫哥洛夫 无限个等可能样本点 有限个等可能样本点 克服等可能观点不易解决的问题 公理化定义 几何定义 频率定义 古典定义 例4 设有100件产品 其中有10件次品 现从中连续取3次 每次不放回地取1件 求第3次才取到次品的概率 则所求概率为 解设Ai 第i次取到的是次品 i 1 2 3 P A1A2 An P A1 P A2 A1 P A3 A1A2 P An A1A2 An 1 乘法公式 设B1 B2 Bn是 的一个分割 且 三 全概率公式 定义若n个事件B1 B2 Bn互不相容 且满足 则称B1 B2 Bn为 的一个分割 或划分 P Bi 0 i 1 2 n 对任一事件A 显然A A 则 A 定理 有 全概 率 公式 全 部概率P A 被分解成了许多部分之和 最简单形式 若0 P B 1 则 知 原因 求 结果 例6对以往数据分析结果表明 当机器调整得良好时 产品的合格率为98 而当机器发生某种故障时 产品的合格率为55 每天早上机器开动时 机器调整良好的概率为95 试求某日早上第一件产品是合格品的概率是多少 解 设A为事件 产品合格 B为事件 机器调整良好 则 0 98 0 55 0 95 0 05 所求的概率为 Bi的先验概率 Bi的后验概率 它是在已知事件A发生的原因 通过计算后验概率来寻找导致A发生的某原因Bi的可能的大小 定理 贝叶斯公式或逆概公式 设B1 B2 Bn是样本空间S的一个分割 且P Bi 0 i 1 2 n 如果P A 0 则 即P Bi A 证明 由条件概率 乘法公式和全概率公式可得 知 结果 求 原因 例6对以往数据分析结果表明 当机器调整得良好时 产品的合格率为98 而当机器发生某种故障时 产品的合格率为55 每天早上机器开动时 机器调整良好的概率为95 试求已知某日早上第一件产品是合格品时 机器调整良好的概率是多少 解 设A为事件 产品合格 B为事件 机器调整良好 则 0 98 0 55 0 95 0 05 所求的概率为 直接计算 作业 古典概型几何概率 条件概率 Bayes公式全概率公式乘法公式 P AB P A P B P AB P A P B A P A 0 等可能性 利用事件的独立性 可以简化事件交的概率计算 在缩减的样本空间里直接计算 用定义 有主从关系的简单条件概率问题 复杂条件概率问题 知 结果 求 原因 求事件交的概率 知 原因 求 结果 推算 概率计算 重要公式 有限个样本点 无限个样本点 且 可度量 常用排列组合公式计算样本点的个数 所有Bi必须构成 分割 P X xi pi i 1 2 3 定义设离散型随机变量X的所有可能取值为x1 x2 xi 且X取这些值的概率分别为 则称 2 1 为离散型随机变量X的概率分布列 简称分布列 2 1 注1分布列也可表示为表格的形式 pk P 1 1 注2分布列的性质 分布律 特征性质 0 1 或 对离散型随机变量 关键是弄清楚它可能取哪些值 以及取这些值的概率 几种常见的离散型随机变量 一 0 1 分布 设随机变量X只可能取0与1两个值 它的分布率为 称X服从 0 1 分布 0 1 分布用来描述只有两个结果的随机试验 三 泊松分布 泊松分布是1837年由法国数学家泊松Poisson首次提出的 其分布列为 泰勒级数 例1设离散随机变量X的分布列为 试求 P X 0 5 P 1 5 X 2 5 并写出X的分布函数 F x 的图形是阶梯状的 在x 1 2 3 解 P X 0 5 P X 1 0 25 P 1 5 X 2 5 P X 2 0 5 0 0 25 0 5 0 75 0 25 0 5 0 25 1 0 25 离散型随机变量的分布函数 1 右连续的阶梯函数 2 其间断点xk为X的可能取值点 3 在间断点xk的跳跃高度是对应的概率值pk 处有跳跃 其跃度分别等于0 25 0 5和0 25 例2一个靶子是半径为2米的圆盘 设击中任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比 并设射击都能中靶 以X表示弹着点与圆心的距离 试求随机变量X的分布函数 解 由条件可知 随机变量X的取值范围为 当x 0时 P 0 当0 x 2时 当x 2时 P S 1 F x P X x F x P X x F x P X x 所以X的分布函数为 分布函数的特征 0 X 2 k为待定常数 4连续型随机变量及其概率密度函数 连续随机变量的一切可能值充满某个区间 a b 因此描述连续随机变量的的概率分布不能再用分布列表示 而要改用概率密度函数表示 定义设随机变量X的分布函数为F x 如果存在实数轴上的一个非负可积函数p x 使得对任意实数x有 4 1 则称X为连续随机变量 称p x 为X的概率密度函数 简称为密度函数 4 若p x 在点x处连续 则有 密度函数的基本性质 1 非负性 2 正则性 概率密度 由于随机变量X的分布函数为F x 是密度函数p x 的积分 所以 就是阴影部分的面积 密度函数 p x 连续随机变量与离散随机变量的性质差别 1 离散随机变量的分布函数F x 总是右连续的阶梯函数 而连续随机变量的分布函数F x 一定是整个数轴上的连续函数 2 离散随机变量X在其可能取值的点x1 x2 上的概率一般不为0 而连续随机变量X在 上任一点a的概率恒为0 即 3 由于连续随机变量X仅取一点的概率恒为0 所以 而离散随机变量不具有此性质 计算概率时必须 点点计较 证 对任意有 则称X服从区间 a b 上的均匀分布 记为X U a b 其分布函数为 一 若随机变量X的密度函数为 几种常见的连续型随机变量 正态分布N 2 的分布函数为 三 4 10 为位置参数 如果固定 改变 的值 则图形沿x轴平移 但形状不变 为尺度参数 如果固定 改变 的值 则 越小 曲线呈高而瘦 越大 曲线呈矮而胖 由于标准正态分布的分布函数不含有任何未知参数 故其值 u P U u 完全可以计算出来 附表2 第439页 对u 0给出了 u 的值 定义设连续随机变量X的分布函数为F x 密度函数为p x 对任意 0 1 称满足条件 的z 为此分布的上 分位点 数 上分位数z 是把密度函数下的面积分为两块 右侧面积恰好为 对标准正态分布有 分布函数 离散随机变量的概率分布列 连续随机变量的密度函数 随机变量X 随机事件 数值化 P X x 随机变量及其分布函数 非负 单调不减 右连续且F 0 F 1 连续函数 右连续阶梯函数 用X的取值 范围 表示事件 p xi F xi F xi 0 求导 联合分布列 定义如果二维随机变量 X Y 只取有限个或可列个数对 xi yi 则称 X Y 为二维离散随机变量 称 为 X Y 的联合分布列 也可用表格来记联合分布列 二维离散型随机变量及其分布列 二维离散型随机变量 X Y 的概率分布列 一维离散型随机变量 X的概率分布列 分布列 X和Y的联合分布列 可表示为表格形式 类比 非负性 规范性 X和Y的联合分布函数 X的分布函数 若G为平面上的一个区域 则 1 3 X Y 是二维连续型随机变量 二维连续型随机变量 X是 一维 连续型随机变量 类比 F 非负性 规范性 x 随机变量X的分布函数F x f x 是X的概率密度 二维随机变量 X Y 的分布函数F x y f x y 是X和Y的联合概率密度 P 0 X 1 0 Y 2 例2 设 X Y 的联合密度函数为 常数C 分布函数F x y P 0Y 解 由规范性知 C 6 记为G G G P X Y 试求 或称边缘分布 3 2边缘分布 解 p x y 的非零区域为图中的阴影部分 求pX x 当x 0或x 1时 当0 x 1时 所以 X的边际密度函数为 因此 求pY y 当y 1或y 1时 当 1 y 0时 所以 Y的边际密度函数为 当0 y 1时 因此 问X与Y是否独立 解 p x y 的非零区域为图中的阴影部分 求pX x 当x1时 当0 x 1时 所以 X的边际密度函数为 求pY y 当y1时 当0 y 1时 所以 Y的边际密度函数为 显然 所以 X与Y不独立 7 若X Y相互独立 且 由此可知 证明 由卷积公式有 因为 则被积函数的非零区域为 求出密度函数 被积函数 的非零区域是关键 作业 数学期望简称期望 又称均值 定义 第四章随机变量的数字特征 1数学期望 定义 偏差平方的期望 2方差 方差的性质 表1几种常见分布的均值与方差 数学期望方差 分布率或密度函数 分布 定理 切比雪夫不等式 设随机变量X的数学期望和方差都存在 则对任意的常数 0 有 或 证明 不妨设X是一个连续随机变量 其密度函数为p x 记 E X 则 事件 X E X 被称为大偏差 切比雪夫不等式给出了大偏差发生概率的上界 相关系数的性质 4矩 协方差矩阵 5 2中心极限定理 Th5 独立同分布随机变量之和 其标准化随机变量的极限分布为标准正态分布 例1 掷一颗色子100次 记第i次掷出的点数为Xi i 1 2 100 点数之平均为试求概率P 3 Y 4 解 由题意知X1 X2 X100是独立同分布的 其共同分布为 所以 所以 二项分布的正态近似 则 Xi 是相互独立的同分布序列 其共同分布为b 1 p 并且 i 1 2 证明 记 所以 因此 由定理四知定理五成立 服从二项分布的随机变量 其标准化随机变量的极限分布为标准正态分布 五 例2 设某工厂有400台同类机器 各台机器发生故障的概率都是0 02 各台机器工作是相互独立的 试求机器出故障的台数不小于2的概率 作业 简单随机抽样 1 样本具有随机性 即要求总体中的每一个个体都有同等机会被选入样本 2 样本具有独立性 这便意味着X1 X2 Xn相互独立 这便意味着每个样品Xi与总体X有相同的分布 即要求样本中的每个样品的取值不影响其他样品的取值 对无限总体 独立性容易实现 对有限总体 只要总体所包含的个体数很大 则独立性也可得到满足 常用统计量 设 X1 X2 Xn 为取自总体X的样本 当 为自然数n时 有 定理二设X1 X2 Xn是来自正态总体N 2 的样本 其样本均值 和样本方